基于多分辨率和自適應分數(shù)階的Active Demons算法

張桂梅 郭黎娟 熊邦書 儲 珺

1(南昌航空大學計算機視覺研究所 南昌 330063) 2(南昌航空大學信息工程學院 南昌 330063)

數(shù)字圖像配準[1]是指在不同時段、不同視角和不同傳感器下拍攝的2幅或者多幅圖像間的幾何變換關(guān)系的處理技術(shù).圖像配準技術(shù)廣泛應用于環(huán)境監(jiān)測、物體或者場景識別、醫(yī)學影像分析等與人類息息相關(guān)的各個方面.根據(jù)待配準目標的類型可以將圖像配準分為剛性配準和非剛性配準.剛性配準方法適用于剛性目標或者不存在變形的圖像配準，但在自然場景中目標大多是非剛性的，所以需要采用非剛性圖像配準方法來解決非剛性圖像配準問題.非剛性圖像配準方法主要可以分為基于空間變換的配準方法和基于物理模型的配準方法兩大類[2]：1)基于空間變換的非剛性配準方法，采用圖像的空間變換來擬合圖像的變形.常用方法有多項式法[3]、小波基函數(shù)[4]、B樣條[5]等.2)基于物理模型的配準方法是將待配準圖像到參考圖像的形變過程視為一個物理變形，通過選擇合適的物理模型來擬合這種形變以達到配準的目的.常用的模型有基于彈性力學理論的模型[6]、基于粘性流體的模型[7]以及基于光流場理論的模型[8-11].其中，基于光流場模型的非剛性配準方法由于其較高的檢測精度和較好的穩(wěn)健性得到越來越多的重視.Thirion[8]提出基于光流場理論的Demons算法，該算法的基本思想是利用參考圖像梯度驅(qū)動浮動圖像中的每一個像素向參考圖像對應的像素點移動.但是該算法只采用了參考圖像的梯度信息來驅(qū)動浮動圖像發(fā)生形變，當梯度信息不足時容易產(chǎn)生誤配準.He等人[9]根據(jù)作用力和反作用力原理對Demons算法進行改進，提出了允許參考圖像和浮動圖像的梯度共同驅(qū)動像素點向著對方對應的像素點移動的Active Demons配準算法.Vercauteren等人[10]為了保證形變場的拓撲性，提出了微分同胚Log Demons算法，其基本思想是將基于圖像灰度的Demons算法的配準過程看成能量優(yōu)化過程.Lorenzi等人[11]提出基于局部互相關(guān)相似性測度的微分同胚LCC Demons算法，該算法可以削弱灰度偏差對醫(yī)學圖像配準的影響，具有更高的配準精度.在臨床實際應用中，準確、有效和魯棒的圖像配準可以避免醫(yī)學圖像中各種偏差引起的影響.由于存在的非剛性配準算法對嚴重扭曲變形的圖像配準精度和效率都比較低，張桂梅等人[12]提出基于Nystr?m低階近似和譜特征的圖像非剛性配準算法，同時為了提高配準精度，在該模型中加入了小波變換的多分辨率策略.Tang等人[13]在Active Demons中引入平衡系數(shù)，將與彈性系數(shù)共同調(diào)節(jié)驅(qū)動力的強度，在引入平衡系數(shù)的同時加入了多分辨率策略，既提高了配準精度，也提高了收斂速度.但是以上這些方法的驅(qū)動力都只是來源于圖像的灰度信息，這對于灰度均勻、弱邊緣和弱紋理的圖像配準優(yōu)化容易陷入局部最小，從而降低配準的精度.

分數(shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣，它不僅拓寬了階次的運算范圍、豐富了微積分理論，而且比整數(shù)階微積分更靈活.在圖像處理領(lǐng)域，微積分理論已經(jīng)取得了初步的應用.如Pu等人[14]和Chen等人[15]針對傳統(tǒng)的整數(shù)階微分去噪方法很容易導致邊緣和紋理細節(jié)模糊，提出了將分數(shù)階微積分理論運用于圖像去噪，實驗結(jié)果表明，基于分數(shù)階的圖像去噪算法提高了圖像的信噪比，而且對紋理的保持效果也有所提升.張桂梅等人[16]針對原始和各種擴展的Demons算法對灰度均勻和弱紋理區(qū)域無效的問題，將R-L分數(shù)階梯度應用到Demons算法中，該算法驗證了R-L分數(shù)階微分能夠增強圖像灰度變化較大的梯度信息，提高了配準精度和配準速度.但是分數(shù)階主動Demons算法尋求圖像配準效果最佳的階次時，通常需要多次實驗人工選取，費時費力，缺乏階次自適應.Li等人[17-18]根據(jù)整幅圖像的動態(tài)梯度特征調(diào)整分數(shù)階，用于圖像的增強和去噪，實驗證明了該模型的有效性.張桂梅等人[19]針對RSF活動輪廓模型在分割弱紋理、弱邊緣圖像時，優(yōu)化易陷入局部極小導致曲線演化速度緩慢和局部擬合項的高斯核函數(shù)會導致目標的邊界模糊的問題，提出了一種基于自適應分數(shù)階的活動輪廓模型，實驗表明，該方法的分割精度與分割效率都有較大的提高.

針對上述問題，本文在文獻[16]的基礎(chǔ)上做了一些新的工作：1)構(gòu)建了自適應分數(shù)階階次的數(shù)學模型.由于文獻[16]的最佳階次需要通過多次實驗人工選取，費時費力.本文根據(jù)圖像的局部特征(圖像梯度模值和信息熵)，構(gòu)建了自適應分數(shù)階階次的數(shù)學模型.該模型以反正切函數(shù)為原型，以圖像的梯度模值和信息熵為自變量，建立了微分階次與圖像局部信息之間的關(guān)系，從而可以根據(jù)圖像的局部信息特征自動計算圖像中各個像素點的最佳階次，并將該模型應用在Active Demons算法的圖像配準中.2)為了提高配準的效率，引入了多分辨率策略.采用下采樣將圖像進行分層，先在最低分辨率層應用較少的時間進行粗配準，并將其配準結(jié)果作為更高分辨率層的初始參數(shù)，再在高分辨率下利用較多的時間來進行精配準；逐層細化，按照由粗到精的方式執(zhí)行，從而提高圖像配準精度和效率.

1 相關(guān)理論

1.1 Demons算法

為了補償時序圖像的2幅連續(xù)幀之間物體和視點的相對運動，光流的概念被引入到了計算機視覺中.Thirion[8]提出基于光流場理論的Demons非剛性配準算法，該算法的基本思想是將參考圖像S和浮動圖像M看成是連續(xù)運動的圖像序列中的2幀，要完成圖像配準的過程，即要找到1個驅(qū)動力F，利用驅(qū)動力驅(qū)動浮動圖像中的每一個像素向參考圖像對應的像素點移動.假設(shè)圖像在運動過程中亮度保持恒定，根據(jù)光流場方程可以得到空間任意一點p(x,y)的形變向量u：

(1)

但是，當參考圖像為灰度均勻圖像時，參考圖像的灰度梯度就可能為0，此時容易造成u很不穩(wěn)定.基于此，在式(1)中添加1個外力，則有：

(2)

1.2 Active Demons算法

原始Demons算法只采用了參考圖像的梯度信息來驅(qū)動浮動圖像發(fā)生形變，但是當圖像中灰度均勻、梯度信息不足時，易產(chǎn)生誤配準，并且原始的Demons算法只適用于處理小形變圖像，對大形變圖像配準效果較差.于是，He等人[9]根據(jù)牛頓第三定律，同時用參考圖像和浮動圖像的梯度信息來驅(qū)動形變，其中浮動圖像的梯度信息作為一種正內(nèi)力，參考圖像的信息作為一種負內(nèi)力.于是就有：

(3)

由于引入了正內(nèi)力后，參考圖像和浮動圖像的梯度則共同驅(qū)動著對方對應的像素點移動，所以可以有效地配準大形變圖像.為了方便調(diào)整驅(qū)動力強度，在式(3)上加入了均化系數(shù)β，于是有：

(4)

這樣可以通過改變β的值控制形變向量的大小，選擇合適的β值，既可以提高配準的精確度，也可以加快收斂速度.

1.3 分數(shù)階的Active Demons算法

原始和各種擴展的Demons算法的驅(qū)動力都只是來源于圖像的灰度信息，這對于灰度均勻、弱邊緣和弱紋理的圖像配準無效或者優(yōu)化容易陷入極小.然而，分數(shù)階微分既可以增強圖像的紋理細節(jié)，又可以保留圖像的平滑區(qū)域信息.所以，文獻[16]將分數(shù)階梯度代替了圖像的梯度，于是有：

(5)

其中，Hx(x,y,α)和Hy(x,y,α)是二維圖像x軸方向的分數(shù)階微分掩模和y軸方向的分數(shù)階微分掩模.

分數(shù)階的Active Demons算法既提高了配準精度，也加快了圖像配準的速度.

2 本文算法

2.1 分數(shù)階微分對信號的作用

以連續(xù)函數(shù)整數(shù)階的經(jīng)典定義為基礎(chǔ)，將微積分的階次由整數(shù)擴展到分數(shù).對于任意一個平方可積分的信號f(t)∈2，其傅里葉變換為

(6)

將整數(shù)階信號擴展到分數(shù)階，則有階次為α的分數(shù)階微積分形式：

(7)

當α>0時，Dα表示α階微分乘性算子；當α<0時，Dα表示α階積分乘性算子.其傅里葉變換為

(8)

其中:

(9)

根據(jù)式(9)繪制分數(shù)階微積分幅頻曲線圖，如圖1所示.當α<0時，高頻信號有極大的衰減；同時，低頻信號有一定程度的增強.當0<α<1時，中高頻信號得到了增強，其中中頻信號得到了較大的增強，低頻信號沒有極大的衰減，而是進行了非線性的保留.當1<α<2時，高頻信號得到了極大的增強，然而低頻信號卻得到了極大的衰減.在圖像處理中，圖像的平滑區(qū)域?qū)儆诘皖l信號，圖像的紋理細節(jié)屬于中頻信號，圖像的邊緣和噪聲屬于高頻信號.本文的目的是要解決灰度均勻、弱邊緣和弱紋理的圖像配準問題，即既需要增強中頻信號，又需要保留低頻信號，同時結(jié)合幅頻特性可知，本文的分數(shù)階階次宜選在0～1之間.分數(shù)階階次的選定將為自適應分數(shù)階微分模型的構(gòu)建提供理論基礎(chǔ).

Fig. 1 The amplitude-frequency curve of fractional differentiator圖1 幅頻特性曲線圖

2.2 構(gòu)造R-L分數(shù)階微分掩模

假設(shè)信號f(t)(t∈[a,b],a

(10)

其中:

(11)

將R-L分數(shù)階微分進行一階求導有：

(12)

根據(jù)卷積定理，R-L分數(shù)階微分定義可改寫為

(13)

將R-L分數(shù)階微分的卷積形式進行一階求導，于是有：

(14)

(15)

對h(x,y,α)進行x和y方向一階求導，則可以得到二維圖像x軸方向的分數(shù)階微分掩模Hx(x,y,α)和y軸方向的分數(shù)階微分掩模Hy(x,y,α)：

(16)

實際上，圖像是數(shù)值有限的數(shù)字量，而且圖像灰度變化發(fā)生在最短距離的相鄰像素之間，所以需要將Hx(x,y,α)和Hy(x,y,α)進行離散化：

(17)

其中,xM=-K,-K+1,…,K-1,K,yM=-L,-L+1,…,L-1,L.Hx(x,y,α)和Hy(x,y,α)是(2K+1)×(2L+1)的微分掩模算子.將Hx(x,y,α)，Hy(x,y,α)分別與圖像進行卷積可以得到沿x軸和y軸方向的分數(shù)階梯度，最終可以得到x軸和y軸方向的形變向量.

2.3 自適應分數(shù)階微分模型的構(gòu)造

2.3.1 相關(guān)特性的選擇

由于本文是要解決灰度均勻、弱邊緣和弱紋理的圖像配準問題，由圖1可知，當選定階次在0～1之間時，當分數(shù)階階次越小，低頻信號的增強程度越大，也即低頻信號的保留程度較大，所以在低頻區(qū)域應該選取較小的分數(shù)階階次；當分數(shù)階階次越大，中高頻信號的增強強度就越大，尤其是中頻信號，所以在高頻區(qū)域應該選取較大的分數(shù)階階次.由于一幅圖像中通常都包含不同的頻率段，所以在選擇分數(shù)階階次時，不應該是整幅圖像都選用同一個固定階次，而是應該根據(jù)圖像的相關(guān)特性選擇不同的分數(shù)階階次.圖像梯度和信息熵都可以反映圖像紋理信息的豐富情況，所以本文根據(jù)圖像梯度和圖像信息熵構(gòu)造自適應模型，以此實現(xiàn)自動為每個像素點都選取一個最佳的分數(shù)階階次.

在圖像邊緣和紋理區(qū)域，圖像梯度較大；在圖像平滑區(qū)域，圖像梯度較小.圖像f是一個二維離散函數(shù)，圖像梯度是對這個二維函數(shù)在點(x,y)處進行求導，于是有：

(18)

其中，I為圖像的灰度，圖像的梯度模值為

(19)

圖像信息熵是信息量的一種度量方式，反映了圖像紋理豐富情況.在圖像邊緣和紋理區(qū)域，圖像信息熵較大；在圖像平滑區(qū)域，圖像信息熵較小.其定義為

(20)

其中,C為圖像信息熵，(i,j)為像素坐標，Ii j為灰度值，ω為模板，Pi j為在模板內(nèi)相同灰度值的概率.

2.3.2 構(gòu)造自適應分數(shù)階微分模型

在構(gòu)造自適應分數(shù)階函數(shù)時，為了保證分數(shù)階階次在0～1之間，將圖像的梯度模值和信息熵進行歸一化，即0≤|G|≤1,0≤|C|≤1.然后將歸一化的圖像梯度模值和信息熵進行融合，有：

f(G,S)=m|G|+n|C|, 0≤f≤1,

(21)

其中,m，n為權(quán)值，根據(jù)多次實驗本文選取m=n=0.5.

由2.3.1節(jié)定義可知，當f值越大，對中高頻區(qū)域的增強程度應該較大；當f值越小，那么對低頻區(qū)域的保留程度應該較大.又由幅頻特性可知，階次在0～1之間，隨著分數(shù)階階次的增大，中高頻信號的增強強度越來越大，低頻信號呈現(xiàn)非線性衰減；隨著分數(shù)階階次的減小，中高頻信號呈現(xiàn)急速衰減，然而低頻信號卻得到了有效的非線性的保留.所以，對于中高頻區(qū)域，應該選取較大的分數(shù)階階次；對于低頻區(qū)域，應該選取較小的分數(shù)階階次.也即f值越大，所選取的分數(shù)階階次應該較大；f值越小，所選取的分數(shù)階階次應該較小.為了保證分數(shù)階階次的選擇在0～1之間，本文選用反正切函數(shù)為原型函數(shù).自適應函數(shù)定義為

α=k×arctanf+b,

(22)

其中，α為分數(shù)階階次;k，b為待定系數(shù).由于f=1時，該像素點一定位于中高頻區(qū)域，此時應該選取較大的分數(shù)階階次，即α=1；f=0時，該像素點一定位于低頻區(qū)域，此時應該選取較小的分數(shù)階階次，即α=0.于是就有：

(23)

所以自適應分數(shù)階微分模型為

(24)

2.3.3 驗證自適應分數(shù)階微分模型的有效性

為了驗證自適應分數(shù)階微分模型的有效性，本節(jié)采用醫(yī)學圖像進行實驗，如圖2所示，其中圖2(a)為參考圖像，圖2(b)為浮動圖像.選用均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)評價配準的精度，MSE越小、PSNR越大，配準精度越高.將本文模型與分數(shù)階Active Demons算法進行了比較，其實驗結(jié)果如圖3、圖4和表1所示，其中圖3和圖4分別為均方誤差(MSE)與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖、峰值信噪比(PSNR)與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖，實驗中分數(shù)階Active Demons算法的分數(shù)階階次選取3個效果較好階次即0.1，0.5，0.9.從圖3和圖4的實驗結(jié)果可以看出，自適應分數(shù)階Active Demons算法的配準曲線收斂速度更快，并且均方誤差和峰值信噪比在迭代100次的時候開始收斂，而分數(shù)階Active Demons算法的均方誤差和峰值信噪比在迭代200次時仍然沒有收斂，即本文方法比分數(shù)階Active Demons算法的效率更高.從表1中可以得出，自適應分數(shù)階Active Demons算法的配準精度高于分數(shù)階Active Demons算法.這是因為本文的模型是根據(jù)圖像的局部特征自適應計算圖像中每個像素點的最佳階次，也即能確保在圖像的每個像素點上都取到最佳階次，且基于最佳階次構(gòu)造分數(shù)階微分動態(tài)模板，階次的選取更合理，所以配準精度和配準效率均能得到有效的提高.

Fig. 2 Medical image圖2 醫(yī)學圖像

Fig. 3 The relation curve between MSE and iteration number圖3 均方誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖

Fig. 4 The relation curve between PSNR to noise ratio and iteration number圖4 峰值信噪比與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖

Table 1 Comparison of Registration Accuracy BetweenTwo Algorithms

2.4 基于多分辨率策略的圖像配準

由于分數(shù)階微分模板較整數(shù)階的計算更復雜，并且本文得到微分模板是基于最佳階次的動態(tài)模板，所以構(gòu)造了自適應分數(shù)階微分模型的配準時間相比于固定分數(shù)階階次的配準時間會有所增加.因此可以將多分辨率的分層配準策略應用到自適應分數(shù)階Active Demons配準過程中，提高算法的運行速度和避免局部極值.配準按照由粗到精的方式運行，在低分辨率下利用較少的時間進行粗配準，在高分辨率下花銷較多的時間進行精配準.

文獻[13]提出了多分辨率策略的圖像配準算法，下采樣與小波變換相比，下采樣能夠提高信號的信噪比，它對信號進行隔點采樣，將信息進行了壓縮存儲，從而提高了圖像配準的速度和精度.本文考慮利用下采樣將實驗圖像進行2層分解，先在最低分辨率圖像上進行配準，然后將當層的配準結(jié)果作為更高一級分辨率圖像配準的初始參數(shù)，直至配準到最高分辨率圖像(原始圖像).

Fig. 5 Flow chart of our algorithm圖5 本文算法流程圖

2.5 本文模型的配準算法步驟

算法1. 基于多分辨率和自適應分數(shù)階的Active Demons算法.

Step1. 輸入?yún)⒖紙D像和浮動圖像；

Step2. 用下采樣將參考圖像和浮動圖像進行2層分解；

Step3. 選取相同層的浮動圖像和參考圖像；

Step4. 根據(jù)圖像梯度模值和信息熵構(gòu)建自適應分數(shù)階微分模型α=4/π×arctanf；

Step5. 根據(jù)式(24)計算每個像素點的最佳階次，基于此，再根據(jù)式(17)計算每個像素點的R-L分數(shù)階微分動態(tài)掩模；

Step6. 根據(jù)式(5)求得形變向量u；

Step7. 用高斯濾波器平滑配準后的變形場，主要是因為配準后的變形場不能滿足平滑性要求；

Step8. 判斷是否到最后一層，如果不是，返回Step3，進入下一層圖像配準；否則配準結(jié)束.

其算法步驟流程圖如圖5所示.

3 仿真實驗

3.1 實驗環(huán)境和評價準則

Fig. 6 The result of Lena image registration圖6 Lena圖像配準結(jié)果圖

本文實驗所采用的計算機實驗環(huán)境為：計算機配置為Pentium?Dual-Core CPU E6700 @3.20 GHz，內(nèi)存2.00 GB，32 b的Widows 7.0版本操作系統(tǒng)，程序采用R2010a版Matlab實現(xiàn).圖像配準中常用的評價標準有客觀評價和主觀評價，其中主觀評價就是我們用肉眼觀察到配準后圖像與參考圖像的相似程度，客觀評價就是用相似性度量來判斷配準結(jié)果的好壞，常用的相似性度量有均方誤差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)、互相關(guān)系數(shù)(CC)、圖像信息熵(C)等.本文主要采用主觀評價、均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)來評價配準結(jié)果的好壞.

3.2 實驗結(jié)果和分析

為驗證本文算法的有效性，本文采用Lena圖像、Brain圖像和變形Baboon圖像進行實驗，由于本文算法是在分數(shù)階Active Demons算法上進行改進的，所以將本文算法與分數(shù)階Active Demons算法實驗效果較好的2個固定階次進行比較.又由于分數(shù)階Active Demons算法是在Active Demons算法上改進的，所以也將本文算法與Active Demons算法進行比較.

3.2.1 Lena圖像實驗

本次實驗采用圖6(a)所示的Lena圖像作為參考圖像，圖6(b)作為浮動圖像，參考圖像和浮動圖像最大的差別就是Lena的臉部和帽子發(fā)生了變形.然后分別用本文算法、分數(shù)階Active Demons算法和Active Demons算法進行實驗，其實驗結(jié)果如圖6所示.其中圖6(c)為Active Demons算法配準結(jié)果圖，圖6(d)和圖6(e)分別為分數(shù)階Active Demons算法在2個較佳階次α分別為0.4和0.8的配準結(jié)果圖，圖6(f)為本文算法配準結(jié)果圖.從圖6可以看出，圖6(c)的眉毛和帽檐的變形沒有得到有效矯正，圖6(d)和圖6(e)的配準結(jié)果差不多，雖然帽子和眉毛處的配準很成功，但是圖像最底部和頭發(fā)部分出現(xiàn)了信息丟失現(xiàn)象.從圖6(f)來看，其配準結(jié)果很理想，既矯正了變形，也沒有出現(xiàn)信息丟失的情況.為了進一步驗證本文算法的有效性，本文也進行了定量分析，實驗結(jié)果如表2所示.從表2可以看出，本文算法的效果最好，這是因為本文首先根據(jù)圖像的局部特征構(gòu)造了自適應分數(shù)階階次的數(shù)學模型，使得在圖像中每個像素點均能獲得最佳階次；其次引入了多分辨率的配準策略，即在低分辨率下進行了粗配準，將其得到的結(jié)果作為更高分辨率圖像配準的輸入，在高分辨率下進行精配準，所以本文的算法在圖像配準的精度和效率都具有一定的優(yōu)勢.

Table 2 Comparison of Registration Accuracy BetweenDifferent Algorithms

3.2.2 醫(yī)學圖像實驗

本次實驗采用圖7(a)所示的Brain圖像作為參考圖像，圖7(b)作為浮動圖像，參考圖像和浮動圖像最大差別的地方就是中間部位和最底部(圖7中矩形及圓圈標記處)，參考圖像最底部沒有1個小黑點，而浮動圖像最底部明顯有1個小黑點.其中圖7(c)為Active Demons算法配準結(jié)果圖，圖7(d)和圖7(e)分別為分數(shù)階Active Demons算法在2個較佳階次α分別為0.5和0.9的配準結(jié)果圖，圖7(f)為本文算法配準結(jié)果圖.從圖7可以看出，圖7(c)中間部位與浮動圖像的中間部位差不多，并且配準圖像的最底部與浮動圖像一樣還有1個小黑點，這并不接近參考圖像；圖7(d)中間黑色部位得到了加深，中上黑色部位有所擴大，中下部分那黑色的2點不再是連著的，比較接近參考圖像，但是2個小黑點上方部位有一黑色橫條，而參考圖像中并沒有這一黑色橫條，而且配準圖像的最底部也有1個小黑點；圖7(e)中間部位相對于浮動圖像來說，黑色部位有所擴大，但是還并沒有接近參考圖像，而且圖像最底部仍然有1個小黑點；圖7(f)中間黑色部位顏色就沒有那么深，黑色部位形狀也比較接近參考圖像，中下部位也沒有多出黑色橫條，而且配準圖像最底部沒有了小黑點，所以本文算法配準的結(jié)果較好.為了進一步驗證本文算法的有效性，本文比較了各種方法的均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)，如表3所示.從表3可以看出，由本文算法配準后的圖像，其均方誤差和峰值信噪比都比較理想，這是因為本文算法在每個像素點上都獲得了最佳的階次，在圖像的高頻區(qū)域，選取了較大的分數(shù)階階次，在低頻區(qū)域，選取了較小的分數(shù)階階次，故本文算法的配準效果比較理想.

Fig. 7 The result of Brain image registration圖7 Brain圖像配準結(jié)果圖

Table 3 Comparison of Registration Accuracy BetweenDifferent Algorithms

3.2.3 變形Baboon圖像實驗

本次實驗采用紋理比較豐富的變形Baboon圖像進行實驗，其中圖8(a)為參考圖像，圖8(b)為浮動圖像，浮動圖像相對于參考圖像是Baboon圖像大部分部位發(fā)生了變形，而且圖像周圍出現(xiàn)了波浪變形.分別用本文算法、分數(shù)階Active Demons算法和Active Demons算法進行實驗，其實驗結(jié)果如圖8所示.其中圖8(c)為Active Demons算法配準結(jié)果圖，圖8(d)和圖8(e)分別為分數(shù)階Active Demons算法在2個較佳階次α分別為0.4和0.7的配準結(jié)果圖，圖8(f)為本文算法配準結(jié)果圖.從圖8可以看出，圖8(c)的中間部位基本不存在變形了，但是其周圍的波浪變形還沒有完全矯正，而且圖像變亮；圖8(d)基本上沒有變形區(qū)域了，只是圖像底部的波浪變形的矯正還有所欠缺；而圖8(e)的配準結(jié)果相比前2個有所改善，所有的變形都得到了較有效的矯正；從圖8(f)可知，圖像得到了更好的矯正，但是圖像變得稍微模糊，這主要是因為本文算法中加入了多分辨率配準策略，該策略會丟失某部分信息，所以圖8(f)的結(jié)果會相對模糊.同理我們計算了各種算法配準結(jié)果的均方誤差和峰值信噪比，其結(jié)果如表4所示.

從表4可以看出，本文算法的MSE和PSNR并不是最好的，但它與最好的結(jié)果相差不大，與未配準的MSE和PSNR相比，本文的MSE和PSNR還是得到了很大的提高.總之，本文算法的配準結(jié)果比較理想.

Fig. 8 The result of Baboon image registration圖8 Baboon圖像配準結(jié)果圖

Table 4 Comparison of Registration Accuracy BetweenDifferent Algorithms

3.2.4 配準效率實驗

本文從收斂速度和配準時間2方面對配準的效率進行評價，分別使用了Lena圖像、Brain圖像和變形Baboon圖像進行了實驗.其中圖9、圖10和圖11分別是Lena圖像、Brain圖像和變形Baboon圖像的均方誤差與迭代次數(shù)的曲線圖，從曲線圖可看出，本文算法的結(jié)果在迭代20次時就開始收斂，其他算法最少在迭代60次時才開始收斂，即本文算法的收斂速度是最快的.

Fig. 9 Iterative curve of Lena image圖9 Lena圖像迭代曲線圖

由于尋找分數(shù)階Active Demons算法的最佳階次比較費時費力，所以本文在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了自適應分數(shù)階微分模型.本部分將對分數(shù)階Active Demons

Fig. 10 Iterative curve of Brain image圖10 Brain圖像迭代曲線圖

Fig. 11 Iterative curve of Baboon image圖11 變形Baboon圖像迭代曲線圖

算法和本文算法的配準時間進行比較，本次實驗圖像仍然為Lena圖像、Brain圖像和變形Baboon圖像.本實驗的目的主要是測試本文算法在配準時間上是否具有優(yōu)越性，其結(jié)果如表5所示.從表5可以看出，本文算法的配準時間是最多的，這是因為本文算法中加入了自適應分數(shù)階微分模型，計算了圖像中每個像素點的最佳階次，隨之構(gòu)造了動態(tài)的R-L分數(shù)階微分掩模；而基于分數(shù)階的Active Demons算法人工選取了1個固定的分數(shù)階階次，整幅圖像也只對應1個R-L分數(shù)階微分模板；所以，本文算法的配準時間會比固定1個分數(shù)階階次的配準時間要更多.但是運用分數(shù)階的Active Demons算法來尋找1個較好階次的過程中，需要通過多次實驗尋找最佳階次，即每次都需要更換1個分數(shù)階階次重復進行實驗.假設(shè)階次從0.1～0.9需要做9次實驗，這樣加起來的總時間會比本文算法的配準時間多很多.綜上所述，本文算法在配準時間上具有一定的優(yōu)越性，且不需要通過多次實驗不停地尋找最佳階次，實現(xiàn)了分數(shù)階階次的最適應計算.

Table 5 Time Comparison of Two Methods表5 2種算法的時間對比 s

4 結(jié) 論

將自適應R-L分數(shù)階微分引入到圖像配準中，能解決灰度均勻和弱紋理區(qū)域的圖像配準.本文基于圖像的梯度模值和信息熵，以反正切函數(shù)為原型，構(gòu)造了自適應分數(shù)階階次的數(shù)學模型，自動自適應計算整幅圖像中各個像素點的階次，該方法可以根據(jù)圖像中每個像素點的局部特征信息自適應調(diào)節(jié)算子模板系數(shù)，對每個像素點分別應用相應的模板進行處理，有效地解決人工尋求最佳分數(shù)階階次的費時費力問題；此外，將多分辨率策略引入到自適應分數(shù)階Active Demons算法中，從而提高了圖像配準的精度和效率.本文的方法可以用于灰度均勻和弱紋理區(qū)域的非剛性圖像配準,并能提高配準的精度和效率，是Active Demons算法應用的重要延伸.不足之處是本文自適應數(shù)學模型的建立僅考慮了圖像的梯度模值和信息熵，所以該模型并不是最優(yōu)的模型.今后的研究工作將進一步優(yōu)化自適應數(shù)學模型，提高計算速度，進而提高配準效率.