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    泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例

    2018-12-20 11:29:59遠巧針三門峽職業(yè)技術(shù)學院公共教學部
    數(shù)碼世界 2018年12期
    關鍵詞:舉例泰勒公式

    遠巧針 三門峽職業(yè)技術(shù)學院 公共教學部

    泰勒公式主要是指以函數(shù)的形式描述某點信息及其附近取值的數(shù)學公式,若函數(shù)足夠平滑,則在函數(shù)已知及其某點導數(shù)各階數(shù)值已知情況下,運用泰勒公式可以將各階數(shù)值作為系數(shù)建立多項式,在此多項式加持下得到某點近似函數(shù)鄰域值,除得出函數(shù)值外,運用泰勒公式還能得出實際函數(shù)值與多項式之間的偏差。泰勒公式于1712年由布魯克 泰勒(英國數(shù)學家)提出,當前該公式作為高等數(shù)學重要教學內(nèi)容之一,可以提升學生數(shù)學素養(yǎng),激活學生數(shù)學思維,充分發(fā)揮數(shù)學教學實踐能效,達到提高高等學校育人綜合質(zhì)量的目的?;诖?,為落實泰勒公式教學目標,教師應立足新課改背景,采用應用舉例教學法,探析泰勒公式在高等數(shù)學解題中的教學方略顯得尤為重要。

    1. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學要點

    1.1 學生。泰勒公式若想在應用舉例教學法加持下得以被學生所理解,需教師從學生視角出發(fā),依據(jù)學生理解能力、社會閱歷、實踐經(jīng)驗、學習興趣等個性化學習因素,編設學生可以接受的應用舉例教學方案,確保學生在相關案例指引下可以獨立思考、自主學習、分析運算,將自己的思想與泰勒公式交織在一起,為學生深入理解該公式,有效落實高等數(shù)學教學目標奠定基礎。

    1.2 教材。教材是教師教學實踐行為的出發(fā)點與歸屬點,為此教師需深入分析教材,在充分掌握泰勒公式內(nèi)涵基礎上,將相關知識滲透在應用舉例內(nèi)容中,以應用舉例教學法為橋梁,拉近學生與泰勒公式及相關數(shù)學知識的距離,引導學生進入高等數(shù)學知識的世界,削減高等數(shù)學教學阻力,提高高等數(shù)學教學質(zhì)量,達到有效落實泰勒公式教學目標的目的。

    1.3 課標。新時代課程標準隨之發(fā)生變化,依據(jù)教學大綱完成教學任務的單一化課程標準悄然推出歷史舞臺,取而代之的是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為導向的課程標準,這就需要教師在利用應用舉例教學法講述泰勒公式及相關數(shù)學知識同時,還需培養(yǎng)學生核心素養(yǎng),如獨立思考能力、運算能力、建模能力、邏輯推理能力、分析理解等能力,使學生在高等數(shù)學講堂上有更多收獲,繼而有效提高高等數(shù)學教學質(zhì)量,充分發(fā)揮應用舉例教學法育人能效。

    2. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學原則

    2.1 以人為本。泰勒公式作為求解高階導數(shù)某點數(shù)值,針對某點數(shù)值判斷函數(shù)極限及相關運算的數(shù)學知識,對于學生群體來講有一定學習難度,既要求學生掌握一定的數(shù)學基礎知識,如極限、函數(shù)等,還需學生掌握一定的數(shù)學素養(yǎng),如運算、邏輯推理、判斷能力等,徒增學生泰勒公式學習及相關數(shù)學知識學習難度,為此教師在應用舉例教學過程中需秉持以人為本理念,從學生數(shù)學綜合學習實況出發(fā),列舉學生可以通過自主思考與運算有效解決的數(shù)學案例,避免出現(xiàn)“應用舉例有余,教學引導不足”消極現(xiàn)象,旨在發(fā)揮應用舉例引導教學能效,使學生得以積極參與到泰勒公式學習活動中,在掌握該公式及相關數(shù)學知識同時,達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育目的。

    2.2 創(chuàng)新爭優(yōu)。為避免教師陷入“模式論”、“經(jīng)驗論”教學誤區(qū),教師需秉持創(chuàng)新爭優(yōu)原則,在累積應用舉例教學經(jīng)驗基礎上,積極整合新型教學手段,充分運用現(xiàn)有教學資源,創(chuàng)新應用舉例教學模式,為更好滲透泰勒公式及相關數(shù)學知識奠定基礎,這就需要教師不斷學習創(chuàng)新型教學手段,依據(jù)學生數(shù)學知識學習實況及泰勒公式應用情況,靈活調(diào)整教學手段,為數(shù)學講堂注入無盡動力,繼而推動高等數(shù)學教育事業(yè)良性發(fā)展。

    2.3 反思自省。為有效落實泰勒公式教育目標,發(fā)揮應用舉例教學法育人能效,教師需秉持反思自省原則,不斷反觀自身泰勒公式教學歷程,通過分析學生泰勒公式相關應用案例解析成效,明晰自身泰勒公式教學要點、弱點、難點及重點,以此為由持續(xù)完善泰勒公式應用舉例教學體系,在落實高等數(shù)學教學目標同時,達到培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教育目的。

    3. 泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用舉例教學方略

    3.1 明確應用舉例教學目標。教師需率先整合與泰勒公式教學相關教育資源,明確泰勒公式在高等數(shù)學解題中應用舉例教學目標,圍繞該目標制定教案,確保教師可以順利完成數(shù)學教學任務。

    3.2 規(guī)設泰勒公式應用舉例層級。為突出學生數(shù)學教學主體地位,滿足學生個性化學習訴求,引導學生自主學習,教師需在因材施教教育理念加持下,規(guī)設泰勒公式應用舉例層級,為打造系統(tǒng)性、多元性、生本性數(shù)學教學體系奠定基礎。

    3.3 做好及時評價工作。雖然應用舉例教學主體是學生,但教師仍需以“引導者”身份參與到高等數(shù)學教學實踐進程中,幫助學生解決學習困難,助其深入掌握泰勒公式及相關數(shù)學知識,為此教師需在應用案例教學過程中,用過程性評價代替結(jié)果性評價,使學生明確自主學習方向,助其樹立數(shù)學學習自信心,引導學生攻克泰勒公式學習難關,使應用舉例教學目標得以有效落實。

    4. 分析幾例泰勒公式在高等數(shù)學解題中的應用實例

    若在點x0上的函數(shù)f(x)某開區(qū)間有n+1階導數(shù),其中該 開 區(qū) 間 為(a,b),則 任 意 x ∈(a,b),f(x)=f(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)2+...+f(n)(x0)/n(x-x0)n+f(n+1)(ζ)/(n+1)?。▁+x0)n-1,在該公式中ζ屬于x0--x間某個值,此為泰勒公式,在明晰泰勒公式表現(xiàn)形式基礎上,運用應用舉例教學法,引導學生學習相關數(shù)學知識,旨在通過對幾例泰勒公式應用實例進行分析,落實高等數(shù)學教學目標。

    4.1 極限應用舉例。在高等數(shù)學知識中,極限知識既常見又很重要,作為學生學習數(shù)學知識的重要工具,若其在求解過程中選擇的運算方式不佳,將徒增求解難度,增加其運算量,影響運算精準度,為此教師可以引導學生利用泰勒公式解答極限問題。如題: ex2-1-x2cosx/sinx4求解其極限。基于該算是分母為sinx4-x4(x→0),教師在引導學生解答該問題時,只需將x2cosx與ex2帶入麥克勞林公式(四階)中,表示為ex2=1+x2+x4/2+0(x4),經(jīng)計算求得 ex2-1-x2cosx/sinx4= x4+0(x4)/x4=1,此類函數(shù)極限問題運用泰勒公式予以解答,可以有效簡化解答步驟,降低解題難度,相較于洛必達法,此種計算方法簡單程度可見一斑。學生在解答該問題時,容易在公式套用時產(chǎn)生疑惑,為此教師需在應用舉例教學前,采用概念圖教學法,引導學生以極限為核心,建立數(shù)學知識網(wǎng)絡,將與極限相關數(shù)學知識納入其中,為將極限知識與泰勒公式關聯(lián)在一起奠定基礎,繼而引導學生自主完成實例論證學習任務。

    4.2 求近似值。在許多專業(yè)中均涉及到近似計算知識,掌握近似計算技能,可以幫助學生更好開展學習與生活實踐活動,為此教師可以將“求近似值”設為應用舉例核心,以此為由設計如下問題:ex=1+x2/2!+...xn/n!+eθx/(n+1)!xn+1(0 <θ< 1),在 x=1 情況下,e=1+1+1/2!+...+1/n!+eθ/(n+1)!,Rn(x)=eθ/(n+1)! < 3/(n+1)?。?.001。在n=6時此算式成立,繼而得出運算結(jié)果,若學生遇到存在連續(xù)性的導數(shù)函數(shù),則可以運用泰勒公式予以解答,提高學生運算效率及精準度。

    4.3 證明不等式。在高等數(shù)學教學內(nèi)容中,不等式證明相關知識的講解與滲透,可以有效培養(yǎng)學生邏輯推理能力、運算能力,使學生數(shù)學思維更為嚴謹,思考及解決問題的能力得以有效提高,同時證明多階性導函數(shù)亦可以運用泰勒公式予以解答。這就需要學生需率先掌握證明方法,可以有效分析不等式,為有效運用泰勒公式解決相關數(shù)學問題奠定基礎。如題:在[0,1]上設f(x)有二階連續(xù)導數(shù),該導數(shù)為 f(1)=0,在 x∈(0,1)時,則有 |f''(x)|≤2,嘗試證明|f'(x)|≤1。證明過程如下:基于 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(θ)/2!(x-x0)2,且θ在x與x0范圍內(nèi),在x取值為0,x0取值為x時,則所得泰勒 公 式 為:f(0)=f(x)+f'(x)(0-X)+f''(θ1)/2!(0-x)2(1)。當θ1在0與x范圍內(nèi),且x取值為1,x0取值為x時,運用泰勒公式可得到如下算式:f(1)=f(x)+f'(x)(1-X)+f''(θ2)/2!(1-x)2(2),在該算式中θ2處于x到1之間,基于(1)、(2)可知,f'(x)=f(1)-f(0)+1/2![f''(θ1)x2-f(θ2)(1-x)2]=1/2 ![f''(θ1)x2-f''(θ2)(1-x)2],|f'(x)|≤|f''(x)|/2![x2+(1-x)2]=2x2-2x+1,基于 0≤x≤1情況下,2x2-2x+1≤1,則|f'(x)|≤1,至此證明完成。通過對該應用舉例進行解析可知,在不等式解答過程中運用泰勒公式,可以降低解答難度,提高證明效率,簡化證明過程,為提高學生證明過程中泰勒公式應用能力,教師可以將證明問題編設主導權(quán)交給學生,繼而激活學生數(shù)學思維,賦予學生反推、論證、創(chuàng)新及嚴謹?shù)臄?shù)學思維等數(shù)學能力,同時凸顯學生高等數(shù)學教學主體地位,在落實應用舉例教學目標同時,達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育目的。

    結(jié)束語:綜上所述,為提高泰勒公式及相關數(shù)學知識講解質(zhì)量,教師在新課改背景下,積極采用應用舉例教學法,旨在有效落實高等數(shù)學教學目標,引導學生有效應用相關知識解決實際問題,并在完成高等數(shù)學教學任務同時培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

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