考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性優(yōu)化研究

沈文艷，孟燕萍，林國龍

（上海海事大學 物流研究中心，上海 201306)

0 引言

近年來，地震、臺風等自然災(zāi)害頻發(fā)，給人們的生命財產(chǎn)帶來巨大損失。災(zāi)后的路網(wǎng)中斷更是阻礙了救援物資的及時送達，加重了災(zāi)害帶來的人員傷亡。為緩解災(zāi)難給人們帶來的傷害，需要加強基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，建立穩(wěn)固可靠的道路網(wǎng)絡(luò)，做好災(zāi)前預(yù)防工作。國外已經(jīng)意識到提高路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性的重要意義，開始了以城市道路規(guī)劃、建設(shè)和管理方法為研究內(nèi)容的初步應(yīng)用實踐。例如，瑞典從2004年起，對全國的運輸網(wǎng)絡(luò)進行了災(zāi)害條件下路段相對整體路網(wǎng)系統(tǒng)功能重要度、薄弱性、風險臨界值分析，并優(yōu)先分配資源給薄弱路段進行維護搶修[1]。

我國對路網(wǎng)可靠性的研究起步較晚，大部分文獻局限于對其定義及度量方法的探討。吳六三、王倩等[2-3]認為路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性是當自然災(zāi)害或突發(fā)因素導(dǎo)致某些路段受損時，網(wǎng)絡(luò)依舊保持連通狀態(tài)，并且持續(xù)滿足救援物資需求的概率。Asakura[4]提出路網(wǎng)可靠性的度量可以分為連通可靠性和性能可靠性2個角度，性能可靠性又可以進一步分為運輸時間可靠性和交通容量可靠性。目前，大多是偏重于這3種可靠性中的某一個指標對路網(wǎng)可靠性進行研究。在路網(wǎng)可靠性的優(yōu)化改進方面，劉海旭等[5]根據(jù)出行者在災(zāi)害前后的路徑選擇行為來確定關(guān)鍵路段，并以路網(wǎng)凈經(jīng)濟效益相關(guān)的可靠性最高為目標，建立資源約束的數(shù)學模型對路網(wǎng)進行改進。Peeda等[6]在投資約束下，以最大化災(zāi)后路網(wǎng)連通性和最小化遍歷時間為目標，建立了由單OD對向多OD對拓展的兩階段隨機規(guī)劃，求解應(yīng)對地震災(zāi)害的路網(wǎng)改進方法。然而，應(yīng)急救援是一個包含道路網(wǎng)絡(luò)、救災(zāi)物資、車輛設(shè)備和災(zāi)民的復(fù)雜行為，路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性的衡量應(yīng)基于應(yīng)急救援的實際效果，從單一的時間或連通可靠性角度衡量會缺乏客觀性、全面性。同時，應(yīng)急響應(yīng)具有弱經(jīng)濟性的特點，上述優(yōu)化改進方法并未考慮災(zāi)后區(qū)域間應(yīng)急響應(yīng)的公平性，通過這些方法改進后的路網(wǎng)在進行應(yīng)急救援時，可能會造成交通便利的地區(qū)物資過剩，而偏僻地區(qū)的災(zāi)民得不到救助的情況。因此，基于應(yīng)急救援的實際效果，考慮各區(qū)域間獲救人數(shù)比例的公平性因素，對衡量及優(yōu)化路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)的可靠性具有重要意義。

1 考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性優(yōu)化

1.1 問題描述

一個地區(qū)由若干個區(qū)域及各區(qū)域之間的物流線路組成，每個區(qū)域有一定的應(yīng)急物資儲備。當該地區(qū)發(fā)生地震災(zāi)害時，外部的應(yīng)急救災(zāi)物資無法迅速到達災(zāi)區(qū)。此外，物資存在歸屬性的問題[7]，需要地區(qū)內(nèi)部各區(qū)域間的自救和互救，在第一時間內(nèi)降低傷亡損失。災(zāi)害發(fā)生后，各個路段可能出現(xiàn)中斷，災(zāi)后路網(wǎng)具有不確定性。因此，從地理結(jié)構(gòu)及社會特征、應(yīng)急響應(yīng)機制、災(zāi)后路網(wǎng)結(jié)構(gòu)的角度去考慮應(yīng)急物資的供需關(guān)系和路段毀壞后的區(qū)域間運輸時間，使得路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)的評估效果，以及衡量路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性更具有說服力和合理性。

（1）地理結(jié)構(gòu)及社會特征。根據(jù)行政管理、應(yīng)急儲備倉庫輻射范圍等劃分依據(jù)，一個地區(qū)可以劃分為若干個區(qū)域l (l ∈ L)。定義目標地區(qū)的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)為G (V，A)，其中V為路網(wǎng)節(jié)點的集合，簡化為每個區(qū)域的中心；A為區(qū)域間主干道路的集合，如國道、高速公路。在區(qū)域l內(nèi)，定義其人口數(shù)量為pl，地震發(fā)生時預(yù)計傷亡人口比例為ql，可以根據(jù)社會人口統(tǒng)計情況(人口密度、老幼比例)、地質(zhì)情況、建筑物抗震等級等指標確定[8]。預(yù)計傷亡人數(shù)為bl= pl×ql，bl間接反映不同區(qū)域發(fā)生地震時后果的嚴重程度。

（2）應(yīng)急響應(yīng)機制。應(yīng)急響應(yīng)時，應(yīng)急物資需要在區(qū)域間進行調(diào)撥，為方便區(qū)分，定義提供物資的區(qū)域集合為K，接收物資的區(qū)域集合為L。在區(qū)域k內(nèi)，應(yīng)急儲備物資記為wk，由區(qū)域k送往區(qū)域l的救災(zāi)物資總數(shù)記為xk,l。救災(zāi)物資的計數(shù)單位為可以獲救的人數(shù)。例如，某區(qū)域k有一些藥物、食品、帳篷棉被運往區(qū)域l，這些物資可以供100人使用，xk,l即為100。由于應(yīng)急物流具有強時效性，運輸?shù)乃俣葲Q定救援工作的效率，因而引入存活率函數(shù)S (t) = aebtc[9]，如圖1所示。存活率函數(shù)表示在災(zāi)害發(fā)生之初，有比例a的人存活，隨著時間的推移，存活率不斷下降。

圖 1 存活率函數(shù) S (t) = aebtc(0＜a＜1，b＜0，c＞0)Fig.1 Survival function S (t) = aebtc (0 ＜ a ＜ 1, b ＜ 0, c ＞ 0)

（3）災(zāi)后路網(wǎng)結(jié)構(gòu)。災(zāi)害發(fā)生后會導(dǎo)致隨機的道路中斷、節(jié)點癱瘓，路網(wǎng)結(jié)構(gòu)的變化情況會隨著路段數(shù)量呈指數(shù)形式增長，因而災(zāi)害發(fā)生后的道路狀況是一個NP完全問題[10]。假設(shè)路網(wǎng)中的各個路段具有相互獨立的毀壞概率，路段(i，j) ∈ A的毀壞率為Qij，災(zāi)后每個路段分為被損壞或正常運行2種狀態(tài)，路網(wǎng)狀態(tài)集為M (m ∈ M)。在資源約束下，需要選擇關(guān)鍵路段和路段改進強度以構(gòu)建更穩(wěn)健的路網(wǎng)。定義路段(i，j)的改進強度yij為[0，1]的連續(xù)變量，0表示不改進該路段，1表示完全改進該路段。路段(i，j)的完全改進成本記為Cij，總預(yù)算為B，也稱為路網(wǎng)改進資源約束，表示當?shù)卣蚪M織用以改進路網(wǎng)可靠性的投資約束。

1.2 模型構(gòu)建

1.2.1 路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型

災(zāi)害發(fā)生后，路網(wǎng)受到破壞，各個區(qū)域的救災(zāi)物資需要以最快的速度實現(xiàn)流通互助，盡可能多地救助受災(zāi)者，因而引入路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型如下。

公式⑴表示在路網(wǎng)狀態(tài)m下，為使獲救人數(shù)最大化，救災(zāi)物資應(yīng)盡快地足量送達災(zāi)區(qū)，Em為在m網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)下，災(zāi)后應(yīng)急響應(yīng)的獲救總?cè)藬?shù)；公式 ⑵ 表示區(qū)域k配送出去的物資受其應(yīng)急儲備約束；公式 ⑶ 表示區(qū)域l獲得的救災(zāi)物資不得超過需求量；公式 ⑷ 為配送數(shù)量非負約束。

1.2.2 考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型

路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型是以獲救總?cè)藬?shù)最多為目標，但這種求獲救總?cè)藬?shù)的方法未考慮區(qū)域間公平性，可能導(dǎo)致交通便利區(qū)域的災(zāi)民全部獲救，而偏僻區(qū)域的災(zāi)民得不到救助，進而造成地區(qū)間的矛盾。因此，在路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型的基礎(chǔ)上增加約束 ⑹—⑼，求得考慮公平性約束下的獲救總?cè)藬?shù)，引入考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型如下。

公式 ⑸ 表示任意2個區(qū)域間獲救人數(shù)比例的差值的最大值最小，以體現(xiàn)公平性；公式⑹用和表示任意2個區(qū)域間獲救人數(shù)比例的差值；公式⑺表示對獲救人數(shù)比例的差值最大值smax的定義；公式 ⑻ 表示需要滿足其中一個為0的約束；公式 ⑼ 表示非負約束。

考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型是一個多目標規(guī)劃問題，為簡化問題，令smax為定值λ(0≤λ≤1)，即要求任意2個區(qū)域間獲救人數(shù)比例的差值不大于λ，因而該多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題。

1.3 路網(wǎng)可靠性優(yōu)化

1.3.1 評估路網(wǎng)可靠性與確定路段重要值

以獲救總?cè)藬?shù)為衡量標準評價路網(wǎng)可靠性R (θ)時，R (θ)即可表示為災(zāi)后路網(wǎng)退化時應(yīng)急響應(yīng)獲救總?cè)藬?shù)與災(zāi)后路網(wǎng)完好時應(yīng)急響應(yīng)獲救總?cè)藬?shù)之比大于一定比例θ的概率，計算公式為

式中：Em0為災(zāi)后路網(wǎng)完好時應(yīng)急響應(yīng)獲救總?cè)藬?shù)；R (θ)越大，路網(wǎng)越可靠，0≤R (θ)≤1；θ作為一個衡量指標，由投資決策者決定，θ越大，表示對路網(wǎng)可靠性的要求越高。

由于預(yù)算約束，有必要選擇被破壞后對應(yīng)急響應(yīng)影響最大的路段集即重要性高的路段加以改進，以體現(xiàn)災(zāi)害對路網(wǎng)的影響程度。定義災(zāi)后路網(wǎng)狀態(tài)樣本集M分為2個子集，其中子集1表示路段(i，j)有效時的路網(wǎng)狀態(tài)集合，可靠性為R+ij；子集2表示路段(i，j)無效時的路網(wǎng)狀態(tài)集合，可靠性為R-ij。路段重要值Iij(i，j ∈ A)為路段(i，j)有效時的路網(wǎng)可靠性和失效時的路網(wǎng)可靠性之差，計算公式為

1.3.2 改進優(yōu)化路網(wǎng)

路段重要值是規(guī)劃路網(wǎng)優(yōu)化方案的重要依據(jù)，但花費大量資源去修復(fù)一些重要程度高而毀壞可能性低的路段具有不合理性。因此，引入路網(wǎng)改進計劃模型如下。

公式 ⑿ 表示優(yōu)先修復(fù)重要值高且容易破壞的路段，路段的關(guān)鍵程度不同，改進優(yōu)化的程度也不同；公式 ⒀ 為資源約束；公式 ⒁ 表示路段(i，j)的改進強度yij為[0，1]的連續(xù)變量，yij為0時，表示不改進該路段；yij為1時，表示完全改進該路段。

1.3.3 驗證路網(wǎng)可靠性優(yōu)化的有效性

獲救總?cè)藬?shù)是衡量路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)效率最直接的指標，由于災(zāi)后的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有隨機性，對于不同的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，獲救總?cè)藬?shù)不同。因此，采用加權(quán)平均的方法求得獲救總?cè)藬?shù)的期望值，可以綜合評價某地區(qū)路網(wǎng)發(fā)生地震災(zāi)害后的平均獲救總?cè)藬?shù)，計算公式為

式中：Prm表示災(zāi)后路網(wǎng)狀態(tài)m出現(xiàn)的可能性。

通過比較路網(wǎng)可靠性優(yōu)化前后獲救總?cè)藬?shù)的期望值，可以直觀地反映路網(wǎng)可靠性優(yōu)化帶來的實際效益。

1.4 算法設(shè)計

災(zāi)害在一定程度上隨機地影響路網(wǎng)的狀態(tài)，假設(shè)某個路網(wǎng)包含| A |個路段，災(zāi)后的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)則有2|A|種可能性。對于每一種可能結(jié)構(gòu)，均需要利用應(yīng)急響應(yīng)機制模型計算獲救總?cè)藬?shù)。為降低計算復(fù)雜度，定義集合C?M，集合C中路段中斷個數(shù)最大為q，1≤q≤| A |。C中包含的狀態(tài)個數(shù)為

當路段的毀壞率較低時，q值的設(shè)定可以大大降低計算的復(fù)雜度。假設(shè)在一個包含10條路段的路網(wǎng)中，每條路段的毀壞率為0.1，通過概率計算路段毀壞個數(shù)超過2的概率僅為0.07，路網(wǎng)狀態(tài)個數(shù)由210降低為56。為提高路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性，在資源約束下規(guī)劃路網(wǎng)改進方案步驟如下。

（1）通過Floyd算法估計每個路網(wǎng)狀態(tài)下的區(qū)域間運輸時間。當?shù)缆肪W(wǎng)絡(luò)較大時，僅考慮C?M的情況。

（2）將已經(jīng)求得的區(qū)域間運輸時間分別代入路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型和考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)機制模型，計算每個路網(wǎng)狀態(tài)下的最大獲救總?cè)藬?shù)Em和Em'。

（3）給定路網(wǎng)可靠性判斷標準θ，計算路網(wǎng)可靠性R (θ)和確定每個路段的重要值Iij。

（4）通過路網(wǎng)改進計劃模型評估各個路段的改進強度，優(yōu)化路網(wǎng)改進方案，得出各個路段的改進強度yij。

（5）更新路段毀壞率。利用步驟（4）求得的yij，計算改進后的路段毀壞率計算公式為

（6）驗證路網(wǎng)改進方案的可靠性優(yōu)化效果，如獲救總?cè)藬?shù)期望值、路網(wǎng)可靠性等指標。

2 案例分析

假設(shè)四川省某市為提高路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)效率，減少地震造成的人員傷亡，需要在災(zāi)前預(yù)防階段對處于地震帶的地區(qū)進行道路鞏固。該市各區(qū)域間國道網(wǎng)絡(luò)簡化圖如圖2所示，每個區(qū)域都設(shè)有應(yīng)急儲備倉庫，各區(qū)域相關(guān)參數(shù)和各路段相關(guān)參數(shù)分別如表1和表2所示。生存率函數(shù)設(shè)為S (t) = 0.8e-0.0001t2，路網(wǎng)改進資源約束B為300萬元。

圖2 區(qū)域間國道網(wǎng)絡(luò)簡化圖Fig.2 Brief network diagram of national highway between districts

表1 各區(qū)域相關(guān)參數(shù)Tab.1 The relevant parameters of each district

表2 區(qū)域間各路段參數(shù)Tab.2 Link parameters between districts

采用MATLAB 7.11.0對算例進行求解，經(jīng)計算得到毀壞路段數(shù)同時大于2的概率較低，概率值為0.17，共37種道路網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)。通過Floyd算法估計每個路網(wǎng)狀態(tài)下的區(qū)域間運輸時間，分別計算相應(yīng)路網(wǎng)狀態(tài)下應(yīng)急響應(yīng)不考慮區(qū)域公平性和考慮區(qū)域公平性的最大獲救總?cè)藬?shù)。取λ=0.2，即要求任意2個區(qū)域間獲救人數(shù)比例的差值不大于0.2。為評估路網(wǎng)可靠性和確定路段重要值，設(shè)定θ值為0.95，災(zāi)后路網(wǎng)退化時應(yīng)急響應(yīng)獲救總?cè)藬?shù)與災(zāi)后路網(wǎng)完好時應(yīng)急響應(yīng)獲救總?cè)藬?shù)之比大于0.95，即認為路網(wǎng)狀態(tài)m可靠。

通過計算災(zāi)后路網(wǎng)可能狀態(tài)的概率及獲救總?cè)藬?shù)，得到不考慮區(qū)域公平性時，路網(wǎng)可靠性R (θ=0.95) = 0.764，8條路段的重要值分別為(0.28，0.18，0.41，0.28，0.37，0.28，0.31，0.28)；考慮區(qū)域公平性時，路網(wǎng)可靠性R (θ= 0.95) = 0.551，8條路段的重要值分別為(0.21，0.21，0.48，0.38，0.38，0.48，0.38，0.48)。對路段重要值進行歸一化處理，得到路段重要值對比表如表3所示。

由表3可知，路段6、路段7、路段8的相對重要值顯著提高，表示當區(qū)域f的本地應(yīng)急儲備無法滿足受災(zāi)人數(shù)且物資從外地輸入時間長、效率低時，在考慮公平性后，應(yīng)急響應(yīng)機制會把物資從區(qū)域c和區(qū)域d輸入?yún)^(qū)域f，從而滿足區(qū)域間的公平性約束。

由路網(wǎng)改進計劃模型，求得改進強度分別為(1，1，0，1，0，0，0.5，1)，此時的資源利用率最高，能夠有效改進路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性，改進后的路段毀壞率為(0，0，0.1，0，0.1，0.1，0.15，0)。為驗證路網(wǎng)改進計劃的有效性，對比分析改進前后的路網(wǎng)衡量指標，可得改進前的獲救總?cè)藬?shù)期望值E-為15.93萬人，改進后的獲救總?cè)藬?shù)期望值E-為18.77萬人，上升了17.82%；改進前的路網(wǎng)可靠性 R (θ= 0.95) = 0.551，改進后的路網(wǎng)可靠性 R (θ= 0.95) = 0.787，較改進前有了明顯提高。

3 結(jié)束語

災(zāi)害會導(dǎo)致隨機的道路毀壞，在不同的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)下，考慮區(qū)域公平性的路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性優(yōu)化方法一方面可以從公平性角度衡量災(zāi)后路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)的效果，另一方面可以利用獲救總?cè)藬?shù)評估路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性及路段重要值，最終能夠改進路網(wǎng)優(yōu)化方案。這種將應(yīng)急救援的公平性約束應(yīng)用于災(zāi)害應(yīng)急路網(wǎng)的可靠性優(yōu)化方法，不僅可以為政府部門建立可靠的應(yīng)急道路網(wǎng)絡(luò)提供新的視角，還可以使得一些偏遠且應(yīng)急儲備不足的地區(qū)得到重視，災(zāi)后傷亡人數(shù)得以顯著減少。在今后的研究中，將考慮從改變路網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)的角度來提高路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性，以進一步完善路網(wǎng)應(yīng)急響應(yīng)可靠性的優(yōu)化方法，更直接全面地提高災(zāi)后救援工作的效率。

表3 路段重要值對比表Tab.3 Comparison of important values of road sections