具有飽和發(fā)生率的營(yíng)養(yǎng)液-植株模型的穩(wěn)定性分析

楊俊仙，王雷宏

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) a.理學(xué)院；b.林學(xué)與園林學(xué)院，安徽 合肥 230036）

營(yíng)養(yǎng)液栽培是現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的重要組成部分，在一些發(fā)達(dá)國(guó)家已有普遍應(yīng)用與發(fā)展，形成了成套的技術(shù)、完整的設(shè)備[1-2]。目前，隨著科技的進(jìn)步、社會(huì)的發(fā)展、學(xué)科的融合，營(yíng)養(yǎng)液栽培技術(shù)得到了快速發(fā)展。在考慮經(jīng)濟(jì)成本的基礎(chǔ)上，為了使?fàn)I養(yǎng)液極大程度地促進(jìn)植株存活與生長(zhǎng)，對(duì)營(yíng)養(yǎng)液管理的數(shù)字化控制成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)。他們?cè)趯ふ腋鞣N對(duì)模型要求低、控制綜合質(zhì)量好、在線計(jì)算方便的優(yōu)化控制算法[3-9]。其中文獻(xiàn)[3-5]分別研究了營(yíng)養(yǎng)液循環(huán)檢測(cè)與控制系統(tǒng)、營(yíng)養(yǎng)液自適應(yīng)控制系統(tǒng)、多通道營(yíng)養(yǎng)液在線檢測(cè)系統(tǒng)，均是對(duì)營(yíng)養(yǎng)液控制系統(tǒng)和檢測(cè)系統(tǒng)的探討。文獻(xiàn)[7-9]分別通過各種算法，對(duì)營(yíng)養(yǎng)液pH的調(diào)節(jié)控制過程進(jìn)行了研究。利用營(yíng)養(yǎng)液培養(yǎng)微生物的恒化器模型也取得不少成果，Wang討論了具有營(yíng)養(yǎng)液循環(huán)的脈沖注入恒化器模型，得到了系統(tǒng)正周期解的存在性和吸引性[10]。Sun等討論了脈沖輸入營(yíng)養(yǎng)液的Monod模型，分析了系統(tǒng)滅絕和持久條件[11]。趙中等討論了在污染環(huán)境下帶時(shí)滯和脈沖輸入兩種營(yíng)養(yǎng)液和一種微生物的恒化器模型，得到了微生物滅絕周期解全局吸引和系統(tǒng)持續(xù)生存條件[12]。

然而對(duì)營(yíng)養(yǎng)液濃度-植物生長(zhǎng)量之間的模型研究較少[13-14]，文獻(xiàn)[13]討論了基于投放營(yíng)養(yǎng)液前后水培作物的生長(zhǎng)變化規(guī)律，建立營(yíng)養(yǎng)液投放周期模型，文獻(xiàn)[14]討論了具有雙線性發(fā)生率的營(yíng)養(yǎng)液對(duì)植株影響的數(shù)學(xué)模型：

其中：c(t)表示營(yíng)養(yǎng)液濃度，x(t)表示植株生長(zhǎng)量，r0表示營(yíng)養(yǎng)液輸入速率，r1表示植株生長(zhǎng)的凈增長(zhǎng)率，α表示營(yíng)養(yǎng)液自身的消耗率系數(shù)(0＜α＜1),N表示自然狀態(tài)下植株生長(zhǎng)的極限值，β,β1分別表示營(yíng)養(yǎng)液的消耗率系數(shù)和植株的吸收率系數(shù),各系數(shù)均為正。在未加入營(yíng)養(yǎng)液之前，植株的生長(zhǎng)過程是用Logistic模型來描述的，這類模型在研究種群增長(zhǎng)及經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型中經(jīng)常使用[14]，但是用于描述和評(píng)價(jià)植物生長(zhǎng)過程的文獻(xiàn)并不多見[15-16]。文獻(xiàn)[15]用Logistic模型來描述桉樹的生長(zhǎng)過程，結(jié)果表明，目前桉樹人工林的現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)力比較接近于桉樹最大的生產(chǎn)潛能，可見，用Logistic模型來研究桉樹人工林生長(zhǎng)潛力是可行的。文獻(xiàn)[16]研究了西藏巨柏播種苗的生長(zhǎng)規(guī)律，該文中西藏巨柏播種苗年高生長(zhǎng)過程也是用Logistic曲線方程來描述的，并通過線性回歸模型表明，用Logistic模型描述苗高生長(zhǎng)具有極高的擬合和相關(guān)程度，可以很好地預(yù)測(cè)生長(zhǎng)期內(nèi)苗高生長(zhǎng)量，為制定科學(xué)合理的育苗技術(shù)提供依據(jù)。另外，文獻(xiàn)[14]中營(yíng)養(yǎng)液與植株相互作用的關(guān)系是通過雙線性函數(shù)表述的，即植株吸收營(yíng)養(yǎng)液后的生長(zhǎng)量是按線性增長(zhǎng)的，這顯然對(duì)于某些植株而言存在一定的局限性。

本文建立了具有飽和發(fā)生率的營(yíng)養(yǎng)液濃度-植株生長(zhǎng)量的模型：

這里增加了參數(shù)m(m＞0)以體現(xiàn)植株的生長(zhǎng)過程會(huì)受到一定的抑制，最終會(huì)達(dá)到飽和狀態(tài)。其中變量c(t),x(t)和參數(shù)r0,r1,α,β,N與模型(1)具有相同的意義，假設(shè)營(yíng)養(yǎng)液的消耗率系數(shù)與植株的吸收率系數(shù)相等。飽和發(fā)生率相對(duì)于雙線性發(fā)生率更符合實(shí)際，而且可以選擇合適的參數(shù)控制吸收率的無界性。

1 重要引理

引理1若c(0)＞0,x(0)＞0,則對(duì)任意t＞0，均有c(t)＞0,x(t)＞0。

證明由于

由比較原理得，

若c(0)＞0則對(duì)任意t＞0，均有c(t)＞0。

因此若x(0)＞0 ，則對(duì)任意t＞0,均有x(t)＞0。

引理2當(dāng)t→+∞時(shí)，c(t),x(t)均有界。

證明對(duì)，由比較原理得，因此c(t)有界。

下證x(t)有界。

所以y(t)有界，通過比較原理得，x(t)有界。

不妨設(shè)c(t)≤M,x(t)≤M2,M1,M2均為正常數(shù)。

2 平衡點(diǎn)的存在性

本文在正向不變集上考慮模型(2)。

定理1系統(tǒng)(2)總存在零平衡點(diǎn)P0(c0,0)和正平衡點(diǎn)P*(c*,x*)。

證明顯然系統(tǒng)有平衡點(diǎn)P0(c0,0)，其中。

當(dāng)x≠0時(shí)，令

消去c整理得

下面考慮方程(3)的根

因此，方程(3)有一正根x*，即系統(tǒng)(2)有正平衡點(diǎn)P2(c*,x*)，且滿足

3 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理2系統(tǒng)(2)的零平衡點(diǎn)P0(c0,0)不穩(wěn)定，正平衡點(diǎn)P*(c*,x*)局部漸近穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(2)的線性化近似系統(tǒng)在P0(c0,0)處的特征方程為：

顯然方程(4)的兩個(gè)解分別為：λ1=-α＜0,λ2=r1+βc0＞0，所以平衡點(diǎn)P0(c0,0)不穩(wěn)定。

系統(tǒng)(2)在P*(c*,x*)處其對(duì)應(yīng)的特征方程為

設(shè)λ1,λ2為方程(5)的兩根，則有

所以，特征方程(5)的根均為負(fù)實(shí)根，從而平衡點(diǎn)P*(c*,x*)局部漸近穩(wěn)定。

4 平衡點(diǎn)P*(c*,x*)的全局漸近穩(wěn)定性

定理3系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)P*(c*,x*)全局漸近穩(wěn)定。

證明構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

其中ω1,ω2滿足ω1c*=ω2(1+mx*)，則

當(dāng)且僅當(dāng)c=c*,x=x*時(shí)，。此時(shí)平衡點(diǎn)P*(c*,x*)全局漸近穩(wěn)定。

注定理2和定理3表明，加入營(yíng)養(yǎng)液后，在該系統(tǒng)中營(yíng)養(yǎng)液的濃度和植株的生長(zhǎng)量最終均會(huì)達(dá)到一個(gè)恒定的值。

5 數(shù)值模擬

下面通過數(shù)值模擬驗(yàn)證定理2和定理3的結(jié)論。假設(shè)植株的生長(zhǎng)量x(t)以kg為單位，營(yíng)養(yǎng)液的濃度c(t)以mg/L為單位。當(dāng)取初始值c0=0,x0=2，參數(shù)r1=20,N=5，即不加營(yíng)養(yǎng)液時(shí)，植株的生長(zhǎng)量可達(dá)到極限值N(見圖1)。當(dāng)取初始值c0=100,x0=1，參數(shù)r0=100，α=0.3,β=0.7，r1=20,m=0.01,N=5時(shí)，模型有穩(wěn)定的平衡點(diǎn)（25.20,7.92）(見圖2)。若改變初始值，取c0=50,x0=3，其它參數(shù)的取值同圖2，此時(shí)平衡點(diǎn)仍為（25.20,7.92）(見圖3)。經(jīng)多次模擬得出的數(shù)據(jù)可得，平衡點(diǎn)與初值無關(guān)，并發(fā)現(xiàn)植株的生長(zhǎng)量均達(dá)到7.92，超出了自然狀態(tài)下的極限值5。若改變植株在自然狀態(tài)下的最大生長(zhǎng)量，取N=10，其它參數(shù)的取值同圖2，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為（15.97,13.52），植株的生長(zhǎng)量達(dá)到13.52，也超出了自然狀態(tài)下的極限值10(見圖4)。說明加入營(yíng)養(yǎng)液后，植株的生長(zhǎng)量確實(shí)得到了提高。

圖1 不加營(yíng)養(yǎng)液，取N=5，初值x0=2時(shí)，植株生長(zhǎng)圖

圖2 取N=5，初值c0=100,x0=1時(shí)，營(yíng)養(yǎng)液濃度-植株生長(zhǎng)量的變化趨勢(shì)圖

圖3 取N=5，初值c0=50,x0=3時(shí),營(yíng)養(yǎng)液濃度-植株生長(zhǎng)量的變化趨勢(shì)圖

圖4 取N=10，初值c0=100,x0=1時(shí),營(yíng)養(yǎng)液濃度-植株生長(zhǎng)量的變化趨勢(shì)圖

6 小結(jié)

本文根據(jù)根據(jù)營(yíng)養(yǎng)液濃度變化情況和植株生長(zhǎng)的特點(diǎn)，建立了具有飽和發(fā)生率的營(yíng)養(yǎng)液濃度與植株生長(zhǎng)量的數(shù)學(xué)模型。通過分析，證明了正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定性。文中沒有考慮條件x(t)≤N，也就是說，對(duì)植株注入營(yíng)養(yǎng)液后，其生長(zhǎng)量有可能會(huì)超過自然狀態(tài)下的極限值N，數(shù)值模擬圖也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。另外，在模擬過程中顯示，無論初始值如何，加入營(yíng)養(yǎng)液后，營(yíng)養(yǎng)液濃度和植株的生長(zhǎng)量最終均會(huì)達(dá)到一個(gè)恒定的值，即正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定，與理論結(jié)果相吻合，在營(yíng)養(yǎng)液的管理控制方面具有指導(dǎo)作用。在以后的工作中，我們會(huì)進(jìn)一步考慮加入時(shí)滯的情形，因?yàn)榧尤霠I(yíng)養(yǎng)液后，植株并不是立刻吸收，而是需要一個(gè)過程。