海洋湍流中光波特征參量和短期光束擴(kuò)展的研究?

吳彤 季小玲 李曉慶 王歡 鄧宇 丁洲林

(四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,成都 610068)

(2018年5月28日收到;2018年9月13日收到修改稿)

1 引 言

在湍流介質(zhì)中光學(xué)傳遞函數(shù)取決于光波結(jié)構(gòu)函數(shù),而光波空間相干長度是表征湍流中光波結(jié)構(gòu)函數(shù)的唯一參量,它在表征湍流強(qiáng)度和光傳輸相位校正技術(shù)中起著重要作用[1,2].目前,大氣湍流中光波特征參量(如光波結(jié)構(gòu)函數(shù)、光波空間相干長度、Fried參數(shù)和光波閃爍指數(shù)等)的研究理論已較成熟.與大氣湍流不同,海洋湍流是由溫度和鹽度變化引起水折射率起伏而造成的[3].近年來,由于水下光通信、成像和傳感等應(yīng)用的興起,海洋湍流對光波傳輸特性和成像特性影響的研究受到了極大的重視[4?16].2014年,Lu等[4]推導(dǎo)出了海洋湍流中波結(jié)構(gòu)函數(shù)和空間相干長度的解析公式.2016年,Pu和Ji[5]推導(dǎo)出了海洋湍流中Fried參數(shù)的解析公式,并修正了用光學(xué)傳遞函數(shù)表征的海洋湍流中光成像模型.

然而,之前的研究[4?16]均采用了Nikishov等[3]建立的海洋湍流功率譜模型.值得指出的是,Nikishov等建立的海洋湍流功率譜模型存在一定的弊端,即該模型假設(shè)了海水有著穩(wěn)定的分層,小密度層始終在大密度層之上.這樣,海水熱傳遞與鹽分轉(zhuǎn)移有相似的物理機(jī)制,此時渦流熱擴(kuò)散率KT與渦流鹽擴(kuò)散率KS被當(dāng)作常數(shù),甚至彼此相等(溫度和鹽度擴(kuò)散對海水密度變化的影響相同),即渦流擴(kuò)散率dr=KS/KT≡1[3].實(shí)際上,由于地表水受風(fēng)和大氣熱交換的影響,海水通常不是穩(wěn)定分層的,特別是在中高緯度地區(qū),這種密度分層將會減少,甚至消失.2017年,Elamassie等[17]提出了新的海洋湍流功率譜模型,該模型考慮了實(shí)際水下環(huán)境中分層的不穩(wěn)定性、溫度與鹽度的渦流擴(kuò)散率彼此不相等的情況,因此更具合理性.本文基于Elamassie海洋湍流功率譜模型,重新推導(dǎo)出海洋湍流中光波結(jié)構(gòu)函數(shù)、光波空間相干長度和Fried參數(shù)的解析公式,并校驗(yàn)所得解析公式的正確性.研究發(fā)現(xiàn),采用Elamassie海洋湍流功率譜模型與采用Nikishov海洋湍流功率譜模型所得結(jié)果差異很大.因此,本文研究結(jié)果具有重要意義.

另一方面,激光在湍流介質(zhì)中傳輸要造成光束擴(kuò)展和漂移.渦流小尺度引起的衍射效應(yīng)造成光束擴(kuò)展,渦流大尺度引起的折射效應(yīng)造成光束漂移[1].光束漂移和光束擴(kuò)展的綜合效應(yīng)被稱為長期光束擴(kuò)展,它包括短期光束擴(kuò)展和光束漂移,是評估沿光路光強(qiáng)分布的主要參數(shù)之一[18].基于Nikishov等建立的海洋湍流功率譜模型,Lu等[19]研究了高斯光束在海洋湍流中的光束漂移,Yang等[20]研究了部分相干高斯光束在海洋湍流中的短期光束擴(kuò)展.本文基于Elamassie海洋湍流功率譜模型,推導(dǎo)出準(zhǔn)直和聚焦高斯光束短期光束擴(kuò)展半解析公式,并驗(yàn)證其正確性.研究還表明:海水穩(wěn)定分層與否,短期光束擴(kuò)展差異很大.需要指出的是,本文只研究光學(xué)湍流對光波特征參量和短期光束擴(kuò)展的影響,未考慮其他復(fù)雜因素.

2 海洋湍流中光波特征參量

2017年,Elamassie等[17]建立了各向同性且非均勻海水介質(zhì)中海洋湍流折射率起伏空間功率譜模型,即

其中, δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2, κ是空間波數(shù),η是Kolmogorov內(nèi)尺度;ε表示海水單位質(zhì)量湍流動能耗散率,其取值范圍為10?10—10?1m2/s3;χT表示海水溫度方差耗散率,其取值范圍為10?10—10?4K2/s;ω表示海洋湍流功率譜中溫度與鹽度起伏引起折射率變化貢獻(xiàn)的比率,其范圍取值為[?5,0],?5和0分別對應(yīng)于溫度和鹽度變化引起的光學(xué)湍流[10];α是熱膨脹系數(shù);C0=0.72,C1=2.35;AT=C0C?21P?1T,AS=C0C?21P?1S,ATS=0.5C0C?21P?1TS;PT和PS分別為溫度普朗特數(shù)和鹽度普朗特數(shù),PTS=(PT+PS)/(PTPS).渦流擴(kuò)散率dr定義為[17,21]

其中,KS和KT分別為渦流熱擴(kuò)散率和鹽擴(kuò)散率.渦流比RF是關(guān)于ω的分段函數(shù)[17]:

2000年,Nikishov等[3]建立的各向同性且均勻的海水介質(zhì)中海洋湍流功率譜模型為

(4)式功率譜假設(shè)了渦流熱擴(kuò)散率和鹽擴(kuò)散率始終相等(即dr=KS/KT≡1),意味著海水有著穩(wěn)定的分層(即小密度層始終在大密度層之上).但實(shí)際水下環(huán)境中,海水的分層一般是不穩(wěn)定的.當(dāng)dr≡ 1時,(1)式可化簡為(4)式,即(4)式是(1)式的特例.

圖1 海洋湍流功率譜模型Φn(κ)與Φn(κ)|dr≡1的相對差值?隨ω的變化Fig.1. Relative difference?of the power spectrum model of oceanic turbulence between Φn(κ)and Φn(κ)|dr≡1vs ω.

圖1給出了以上兩種海洋湍流功率譜模型的數(shù)值結(jié)果比較,其中

計(jì)算參數(shù)為η=1 mm,α=2.6×10?4l/deg,ε=10?5m2/s3, χT=10?7K2/s, κ =500,AT=1.863× 10?2,AS=1.9× 10?4和ATS=9.41×10?3.圖1表明:兩種海洋湍流功率譜模型差異很大.當(dāng)|ω|>1時(即溫度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位),Φn(κ)> Φn(κ)|dr≡1,Nikishov等的海洋湍流功率譜模型把湍流強(qiáng)度低估了;當(dāng)|ω|<1時(即鹽度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位),Φn(κ)< Φn(κ)|dr≡1,Nikishov等的海洋湍流功率譜模型把湍流強(qiáng)度高估了;當(dāng)|ω|=1時(即溫度與鹽度引起的海水密度變化貢獻(xiàn)相同),Φn(κ)= Φn(κ)|dr≡1.

2.1 波結(jié)構(gòu)函數(shù)與空間相干長度

Rytov近似下,各向同性且非均勻海水介質(zhì)中,平面波的波結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為[1]

其中,ρ為兩點(diǎn)間距;J0(·)為零階貝塞爾函數(shù);L為傳輸距離;波數(shù)k=2π/λ,λ為光波波長.將零階貝塞爾函數(shù)展開成冪級數(shù)形式,并將(1)式代入(5)式后得到:

其中Γ(·)是伽馬函數(shù),pFq(a1,···,ap,b1,···,bq;x)是一般超幾何函數(shù),p和q均為正整數(shù)[1]. 可以證明,對于Elamassie功率譜(1)式及其各參數(shù)取值范圍,不等式成立.根據(jù)一般超幾何函數(shù)F和合流pq超幾何函數(shù)mFm(m為正整數(shù))的定義,并依照文獻(xiàn)[4]中的推導(dǎo)方法,當(dāng)海水鹽度為35%,溫度為20?C時(即PT≈ 7,PS≈ 700,AT=1.863×10?2,AS=1.9×10?4,ATS=9.41×10?3)[22],經(jīng)過非常復(fù)雜的運(yùn)算,我們得到海洋湍流中平面波波結(jié)構(gòu)函數(shù)的解析表達(dá)式為

空間相干函數(shù)M(ρ,L)=exp[?D(ρ,L)/2],根據(jù)空間相干長度ρ0的定義M(ρ0,L)=e?1(即D(ρ0,L)=2)[1,2],并利用(9)式,可得到海洋湍流中平面波的空間相干長度ρ0,pl為

另一方面,Rytov近似下,各向同性且非均勻海水介質(zhì)中球面波的波結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為[1]

其中ξ=1?z/L是歸一化距離變量,z為可變距離(0

和海洋湍流中球面波的空間相干長度ρ0,sp為

可以證明:當(dāng)α=2.6×10?4l/deg,η=1 mm和dr=1時,按照Elamassie海洋湍流功率譜模型推導(dǎo)出的波結(jié)構(gòu)函數(shù)和空間相干長度的解析結(jié)果(即(9),(10),(12)和(13)式)可簡化為文獻(xiàn)[4]中相應(yīng)的結(jié)果.因此,文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果僅是本文研究結(jié)果的特例.

根據(jù)(9),(10),(12)和(13)式,可以得到

(14)式表明,按照Elamassie海洋湍流功率譜模型推導(dǎo)出的波結(jié)構(gòu)函數(shù)在慣性范圍內(nèi)依然滿足Kolmogorov三分之五定律,該結(jié)果與大氣湍流中的結(jié)果一致.

圖2 波結(jié)構(gòu)函數(shù)D(ρ,L)的解析結(jié)果與積分結(jié)果的比較Fig.2.Comparison of the wave structure function D(ρ,L)between analytical results and integral results.

為了驗(yàn)證本文得到解析結(jié)果的正確性,圖2給出了波結(jié)構(gòu)函數(shù)的解析式與積分式的數(shù)值比較結(jié)果,計(jì)算參數(shù)為λ=0.417μm,L=30 m,η=1 mm,α=2.6×10?4l/deg和ρ ? η.圖2表明:波結(jié)構(gòu)函數(shù)D(ρ,L)解析式(9)和(12)與積分式(5)和(11)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果完全一致.此外,由圖2可知:ω,χT增大或ε減小,則D(ρ,L)增大,即海洋湍流增強(qiáng);平面波波結(jié)構(gòu)函數(shù)大于球面波波結(jié)構(gòu)函數(shù).

圖3 波結(jié)構(gòu)函數(shù)D(ρ,L)與D(ρ,L)|dr≡1的相對差值?1隨ω的變化Fig.3.Relative difference?1of the wave structure function between D(ρ,L)and D(ρ,L)|dr≡1vs ω.

圖3給出了本文所得波結(jié)構(gòu)函數(shù)解析結(jié)果與文獻(xiàn)[4]中對應(yīng)結(jié)果(dr≡1)的比較,其中

計(jì)算參數(shù)為λ=0.417μm,L=30 m,η=1 mm,α =2.6× 10?4l/deg,ε=10?5m2/s3,χT=10?7K2/s,ρ =3 mm和ρ ? η. 圖3表明兩者差異很大,當(dāng)|ω|>1時(即溫度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位),D(ρ,L)>D(ρ,L)|dr≡1;當(dāng)|ω|<1時(即鹽度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位),D(ρ,L)

2.2 Fried參數(shù)

海洋湍流中長曝光成像分辨率可表示為[23]

其中,MTF0和MTFLE分別是透鏡調(diào)制傳遞函數(shù)和長曝光成像調(diào)制傳遞函數(shù),?為空間角頻率.當(dāng)滿足D0/ρ0? 1時(D0為光瞳孔徑),只考慮MTFLE的影響,忽略MTF0的影響[1],將(9)式代入長曝光成像調(diào)制傳遞函數(shù)MTFLE=exp[?D(λ?)/2]中,并考慮ρ = λ?[1],(15)式可簡化為極限分辨率Rmax,即

當(dāng)滿足D0/ρ0?1時,只考慮MTF0的影響,忽略MTFLE的影響[1],(15)式可簡化為R0:

依據(jù)Fried參數(shù)r0的定義[23],將(17)式中的D0替換為r0,并令(16)式與(17)式相等,可得到平面波Fried參數(shù)r0,pl為

同理,可得球面波Fried參數(shù)r0,sp為:

可以證明:當(dāng)α=2.6×10?4l/deg,η=1 mm和dr=1時,按照Elamassie海洋湍流功率譜模型推導(dǎo)出的Fried參數(shù)的解析結(jié)果(即(18)和(19)式)可簡化為文獻(xiàn)[5]中相應(yīng)的結(jié)果.因此,文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果僅是本文研究結(jié)果的特例.并且,比較2.2節(jié)與2.1節(jié)的結(jié)果,可以得到:r0,sp≈ 2.1ρ0,sp和r0,pl≈ 2.1ρ0,pl,該結(jié)果與大氣湍流中的結(jié)果一致.

圖4 Fried參數(shù)隨海洋湍流參數(shù)的變化 (a)ω;(b)ε;(c)χTFig.4.Curves of Fried parameter versus the oceanic turbulence parameters:(a)ω;(b)ε;(c)χT.

Fried參數(shù)隨海洋湍流參數(shù)變化曲線示于圖4,計(jì)算參數(shù)為λ=0.532μm,L=30 m,η=1 mm,α =2.6×10?4l/deg和ρ0? η.由圖4可知:ω,χT增大或ε減小,則r0減小,即湍流增強(qiáng),光波相干性變差;平面波Fried參數(shù)小于球面波Fried參數(shù).

圖5給出了本文所得Fried參數(shù)解析結(jié)果與文獻(xiàn)[5]中的對應(yīng)結(jié)果(dr≡ 1)的比較,其中?2=(r0|dr≡1?r0)/r0,計(jì)算參數(shù)為λ =0.532μm,η=1 mm,α =2.6×10?4l/deg,ε=10?5m2/s3,χT=10?7K2/s,L=30 m和ρ0? η.圖5表明兩者差異很大.當(dāng)|ω|>1時(即溫度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位),r0r0|dr≡1,Nikishov海洋湍流功率譜模型把Fried參數(shù)值低估了,即海洋湍流強(qiáng)度被高估了;當(dāng)|ω|=1時,r0=r0|dr≡1.

圖5 Fried參數(shù)r0與r0|dr≡1的相對差值?2隨ω的變化Fig.5.Relative difference?2between the Fried parameter r0and r0|dr≡1vs ω.

3 海洋湍流中短期光束擴(kuò)展

海洋湍流中,長期光束擴(kuò)展W2LT可以表示為[1]

其中,Λ=2L/(kW2)為接收端的光束菲涅耳比;HSS為小尺度濾波函數(shù)[1,25],

為強(qiáng)調(diào)光束緩變的自然特性,去掉(22)式中指數(shù)函數(shù)內(nèi)的第一項(xiàng),并且考慮幾何光學(xué)近似有[1]:

將Elamassie海洋湍流功率譜(1)式代入(21)式中,并考慮(23)式,短期光束擴(kuò)展W2ST可表述為

其中,

將(26)式中的AT換成AS和ATS可分別得到?和ψ的表達(dá)式.

為校驗(yàn)本文推導(dǎo)結(jié)果(25)式的正確性,圖6給出了短期光束擴(kuò)展的半解析式(25)與積分式(21)隨傳輸距離L的變化曲線,計(jì)算參數(shù)為λ =0.532μm,η=1 mm,α =2.6×10?4l/deg和W0=0.1 m.圖6表明:短期光束擴(kuò)展的半解析式(25)與積分式(21)的數(shù)值結(jié)果完全一致.此外,由圖6可知:短期光束擴(kuò)展隨渦流擴(kuò)散率dr而變化,海水穩(wěn)定分層與否(dr=1與dr=1),光束短期光束擴(kuò)展差異很大.

圖6 短期光束擴(kuò)展隨L的變化 (a)準(zhǔn)直光束;(b)聚焦光束Fig.6.Short-term beam spreadingvs L:(a)Collimated beam;(b)focused beam.

4 結(jié) 論

2000年,Nikishov等建立的海洋湍流功率譜模型中假設(shè)了海水有著穩(wěn)定的分層.但是,受風(fēng)和大氣熱交換的影響,實(shí)際海水通常不是穩(wěn)定分層的,鹽度引起海水密度變化的貢獻(xiàn)與溫度的貢獻(xiàn)一般是不相等的,即渦流擴(kuò)散率并非始終為1,而應(yīng)是關(guān)于渦流熱擴(kuò)散率和鹽擴(kuò)散率的函數(shù),體現(xiàn)出溫、鹽度變化對海水密度分層的影響.2017年,Elamassie等提出新的海洋湍流功率譜模型考慮了這一實(shí)際情況,該模型更為合理.本文基于Elamassie等的海洋湍流功率譜模型,重新推導(dǎo)出了海洋湍流中光波結(jié)構(gòu)函數(shù)、光波空間相干長度和Fried參數(shù)的解析公式,并校驗(yàn)了所得解析公式的正確性.研究發(fā)現(xiàn):采用Elamassie海洋湍流功率譜模型與采用Nikishov海洋湍流功率譜模型所得結(jié)果差異很大.當(dāng)溫度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位時,Nikishov海洋湍流功率譜模型把湍流強(qiáng)度低估了;當(dāng)鹽度變化引起的光學(xué)湍流占主導(dǎo)地位時,Nikishov海洋湍流功率譜模型把湍流強(qiáng)度高估了.并且,按照Elamassie海洋湍流功率譜模型推導(dǎo)出的波結(jié)構(gòu)函數(shù)在慣性范圍內(nèi)依然滿足Kolmogorov三分之五定律以及Fried參數(shù)與光波空間相干長度間依然滿足2.1倍關(guān)系,這與大氣湍流中的結(jié)果一致.此外,本文基于Elamassie海洋湍流功率譜模型,推導(dǎo)出了準(zhǔn)直和聚焦高斯光束短期光束擴(kuò)展的半解析公式,并驗(yàn)證了其正確性.研究還表明:海水穩(wěn)定分層與否,短期光束擴(kuò)展差異很大.本文研究結(jié)果對水下湍流環(huán)境中的光通信、成像和傳感等應(yīng)用具有重要意義.