快速路交通微分系統(tǒng)的脈沖迭代學習策略研究*

周 熒，羅子健，韋 維

(1.貴州大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴州 貴陽 550025;2.西南財經(jīng)大學 經(jīng)濟信息工程學院，四川 成都 611130;3.貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

1 引 言

快速路交通是當今重要的公共交通設施，快速路擁堵問題已成為城市交通問題之一.如何更好地方便大眾出行，緩解擁堵，是一個亟待解決的實際問題.因此，快速路交通擁堵問題成為近年來交通工程領域研究熱點之一.在眾多的研究方法中，入口匝道控制是有效交通管理的重要手段.該控制手段通過控制匝道進入主道的車流量，以使得快速路主道上的車流量密度維持在一個期望的水平上，從而達到緩解快速路主道上交通擁堵的目的[1].

由于快速路交通流具有明顯的周期性、重復性的特點. 如何利用交通流模型的這種周期性和重復性較好地控制快速路交通流，以提高控制系統(tǒng)的性能和品質(zhì)，降低交通系統(tǒng)的浪費與污染，是一個值得研究的問題.迭代學習控制[2-3]正是這樣的一種有效控制手段，它模擬人類的學習過程，對控制進行學習修正，使得輸出達到預期目標.該控制手段不依靠精確的數(shù)學模型，非常適合像快速路交通系統(tǒng)這類具有非線性、重復性等特點的研究對象.因此，近年來，不少研究者基于迭代學習控制策略，對城市交通問題進行了研究[4-5].文獻[6-7]分別基于常微分模型與分布參數(shù)系統(tǒng)研究了迭代學習控制問題，得到了較好的結果.文獻[8]研究了城市交通信號的迭代學習控制問題，進一步研究控制作用對路網(wǎng)宏觀基本圖的影響.文獻[9]設計迭代學習邊界控制策略，用于緩解城市中心區(qū)域的擁堵問題.

值得指出的是，上述快速路交通系統(tǒng)迭代學習控制策略均是實時的，也即控制手段不間斷地作用于受控系統(tǒng).但在現(xiàn)實中，這是較難以實現(xiàn)且不經(jīng)濟的控制手段.從現(xiàn)實角度出發(fā)，如何合理的、經(jīng)濟的對快速路的車流量進行控制，是一個值得思考的問題.脈沖控制方法具有所需能量少，控制響應速度快，并且有較強的魯棒性和抗干擾能力等優(yōu)點，得到了人們的關注[10-14].關于脈沖系統(tǒng)的迭代學習控制研究已經(jīng)有了一些結果[15-16]，已有文獻的研究成果為本文的研究提供了思路和方向.

考慮到脈沖控制是一種更符合實際，節(jié)約能源的一種控制手段，本文將結合脈沖控制與迭代學習方法設計控制策略，并進一步研究設計的控制策略對快速路上車流量的影響.與之前研究不同之處在于本文考慮的系統(tǒng)是連續(xù)的微分系統(tǒng)[7]，但設計的脈沖迭代學習控制策略是基于脈沖控制.然后通過數(shù)學證明，給出控制算法收斂的充分條件，最后通過數(shù)值仿真說明理論的有效性.

2 問題描述

與文獻[6]相仿，仍然考慮快速路主干線上只存在一個入口匝道的某一段(見圖1).其中，L表示該段路的長度，ρ(t)表示t時刻交通流密度，單位是veh/(lane·km);q(t)表示t時刻該段快速路車輛的流出量，單位是veh/(lane);f(t) 表示上游快速路進入快速路主道交通流量，單位是veh/h;u(t)是入口匝道進入快速路主道的交通流量，單位是veh/h，r(t) 是從輔路進入匝道的交通流量，單位是veh/h;σ(t)是匝道上車輛排隊長度，單位是veh;在Δt內(nèi)，車輛密度從ρ(t)變化到ρ(t+Δt).

圖1 快速路交通示意圖.

基于圖1，文獻[1]以及文獻[7]可得系統(tǒng)的動態(tài)模型為：

(1)

其中，vf表示自由流速度，也即是密度為0時的車流最大行駛速度，單位為veh/h，ρm是主道最大交通流密度，單位是veh/(lane·km). 初始條件為

ρ(0)=ρ0，σ(0)=σ0.

(2)

(3)

這里γ∈為學習增益參數(shù).

3 主要結果

在介紹主要結果之前，首先介紹相關的符號說明、假設以及相關引理.在文中，函數(shù)g:J→的λ范數(shù)定義為為絕對值. 另外，λ范數(shù)有性質(zhì)：

引理(脈沖Gronwall不等式) 對t>0，如果下列不等式成立：

其中，x,a∈PC([0,),+)，a(t)是單調(diào)不減函數(shù)且b,ζp>0，那么有

假設1上游快速路進入主道的交通量與迭代次數(shù)無關，即fk(t)=f(t)，k=1,2,….

假設2迭代學習過程滿足ρk(0)=ρd(0)，ρd(0)為主道路交通流的期望初始值.同時，存在期望輸入控制ud(t)，使得系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過迭代后在有限時間內(nèi)跟蹤到期望狀態(tài)ρd(t).

證明

ek(t)=ρd(t)-ρk(t),

根據(jù)脈沖微分方程定性理論，可知對ρd(t)與ρk(t)，下述等式成立：

結合假設1，假設2以及控制律(3)，并注意到ρd(s)+ρk(s)≤2ρm，可得

對上式取絕對值有

(4)

其中，δuk(t)∶=ud(t)-uk(t).另外，

(5)

結合式(2)和式(3)可知

故式(5)可化為

進一步有

(6)

結合式(4)和式(6)與引理，可知

從而對于充分大的λ，有

定理得證.

4 數(shù)值仿真實證

考慮只有一個入口匝道的一段單車道高速路，長度L為10 km.沿快速路主道車流行駛方向進入研究路段的車流量是f(t)=185(1+0.2sin 0.0025t)，設研究路段主道上的最大交通流密度是ρm=60 veh/(lane·km)，期望交通流密度函數(shù)為ρd=30sin(0.2πt)+30 veh/(lane·km)，初始交通流密度為ρ0=30 veh/(lane·km)，自由速度vf=120 km/h.J=[0,10] min ，t1=3 min ，t2=6 min，t3=9 min，Wp(ρk(tp))=0.01ρk(tp),p=1,2,3.另外，設脈沖迭代控制策略(3)中u1(t)=0，γ1=60,γ2=1，則定理條件滿足.

快速路主道交通流密度跟蹤變化圖及其迭代學習誤差變化圖如圖2所示

t/min

迭代次數(shù)

由圖2和圖3可知，主道交通流密度隨著迭代次數(shù)的增加漸近地收斂到期望交通流密度函數(shù),該數(shù)值仿真實證同時也說明了該脈沖控制策略的有效性.

5 結 論

基于快速路交通常微分模型并結合脈沖控制與學習控制的特點，本文設計了一種脈沖迭代學習控制策略.首先通過嚴格的數(shù)學方法，證明了提出的控制方法可以使得交通流密度隨著迭代次數(shù)的增加漸近地收斂到期望流密度.另外，可通過調(diào)節(jié)參數(shù)γ2以及適當增加脈沖控制的次數(shù)可以使得誤差快速收斂于0，從而有效緩解交通擁堵，縮短擁堵時間. 在一個控制周期內(nèi)，結合當?shù)貙嶋H情況，適當增加脈沖控制的次數(shù)，也能緩解交通擁堵，縮短擁堵的時間.數(shù)值仿真實證進一步說明了所提出方法的有效性.