論導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的使用

王玉玨

摘要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容之一，屬于微積分初步知識(shí)。近年來，高考內(nèi)容中導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)所占的比重越來越大，已經(jīng)逐漸成為各地高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)與幾何知識(shí)、數(shù)列、不等式、函數(shù)等均有關(guān)聯(lián)，在高中數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著重要作用，本文主要對(duì)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用進(jìn)行簡要闡述。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題；使用

導(dǎo)數(shù)知識(shí)是歷年高考中的關(guān)鍵內(nèi)容，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都起到顯著作用，在高中知識(shí)考查中，導(dǎo)數(shù)經(jīng)常和不等式、幾何、數(shù)列及函數(shù)等知識(shí)聯(lián)合起來考查，這就著重培養(yǎng)了學(xué)生的綜合運(yùn)用能力及數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)解題能力來說意義重大。

一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的使用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)內(nèi)容，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可有助于解決函數(shù)最值問題。二次函數(shù)最值考查的關(guān)鍵在于某個(gè)區(qū)間中二次函數(shù)最大值與最小值，這類題歷年來都是高考必選題[1]，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)解答相對(duì)較為繁瑣，而借助導(dǎo)數(shù)來判斷二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性及最值則十分有效。例如：已知f（x）=ln（1+x）-x，求f（x）最大值。在解題時(shí)我們可以利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，求出函數(shù)定義域后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出最大值。首先明確f（x）定義域?yàn)閤（-1，-∞），導(dǎo)數(shù)為f'（x）=-1，使得f'（x）=0，可得出x=0，x取值范圍處于-10；x>0下則f'（x）<0，而f（0）=0，因而當(dāng)x取值為0時(shí)，f（x）有最大值，即最大值為f'（x）=0.

二、導(dǎo)數(shù)在曲線切線中的使用

幾何圖形問題解答中也可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，高中數(shù)學(xué)大題中常常會(huì)出現(xiàn)坐標(biāo)系中求切線方程式問題，這種類型的題目主要是給我們一個(gè)曲線外坐標(biāo)位置，經(jīng)過這一坐標(biāo)點(diǎn)求出曲線切線方程。例如，有曲線y= f（x），曲線外存在一坐標(biāo)點(diǎn)A（x0， y0），求經(jīng)過該點(diǎn)曲線切線方程。在借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行這類問題解答中，我們先要判斷的是點(diǎn)A在不在曲線上，然后求出導(dǎo)數(shù)f'（x）。如果A點(diǎn)處于曲線上，根據(jù)切線方程y-y0= f'（x） （x-x0）便能夠求得答案；另外一種情況下，若A點(diǎn)處于非曲線上，可令切點(diǎn)（x1， y1），y1= f（x1），y0-y1=f'（x1）（x0-x1），得出切點(diǎn)值（x1， y1），由此便得到兩個(gè)經(jīng)過曲線的坐標(biāo)，帶入可得到經(jīng)過A點(diǎn)曲線切線方程為y-y1=f'（x1）（x-x1）。

三、導(dǎo)數(shù)在不等式中的使用

對(duì)于不等式恒成立與能成立問題的研究是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)，在證明不等式恒成立問題時(shí)，我們都會(huì)出現(xiàn)無從下手的情況。其實(shí)借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)，便可以將不等式恒成立問題簡化成為函數(shù)最值問題?？赏ㄟ^構(gòu)造，將不等式因子移到一邊看作函數(shù)，對(duì)此函數(shù)單調(diào)性及最值問題來進(jìn)行研究。還可以通過將不等式轉(zhuǎn)化成易證明不等式來解決，若其中有ex或lnx，可轉(zhuǎn)化為一次/二次函數(shù)，然后分析單調(diào)性和最值。方法總結(jié)為：①若f （x）>k在M上恒成立，則表示f （x）在M中f （x）min>k成立；②若f （x）g（x），則F（x）= f （x）-g（x），F(xiàn)（x）min>0；⑤如果任何x1，x2M下，存在f （x1）g（x2），則F（x）min> g（xmax）。

四、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的使用

對(duì)于數(shù)列的學(xué)習(xí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為以自然數(shù)作為自變量的函數(shù)來進(jìn)行求解，如果能夠用字母來表示數(shù)列通項(xiàng)解析式，便能借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)來判定數(shù)列增減性，進(jìn)而得出最大項(xiàng)、最小項(xiàng)。比如：數(shù)列{an}通項(xiàng)式an=7n2-n3，nN*，求解最大項(xiàng)。我們?cè)诮忸}時(shí)首先可以將數(shù)列轉(zhuǎn)變成函數(shù)，即f （x）=7n2-n3，x（0，+∞），對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到f'（x）=14x-3x2，求導(dǎo)f'（x）為0情況下計(jì)算出x=14/3，由此對(duì)函數(shù)f（x）區(qū)間內(nèi)單調(diào)性進(jìn)行判斷，即為當(dāng)x大于0并小于14/3情況下，f'（x）>0，函數(shù)為單調(diào)遞增；若x大于14/3情況下，則f'（x）<0，函數(shù)為單調(diào)遞減，因此最值為x取值為14/3情況下，得出函數(shù)最大值。數(shù)列{an}中nN*，f （n）=7n2-n3，f （4）=48，f （5）=50，由此得出數(shù)列{an}最大項(xiàng)為50。

五、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的使用

導(dǎo)數(shù)還與實(shí)際數(shù)學(xué)問題解答有密切關(guān)聯(lián)，將其運(yùn)用在代數(shù)中能夠?qū)λ矔r(shí)變化率問題進(jìn)行解答，甚至在物理速度、加速度問題中也能發(fā)揮作用[2]。比如一輛行駛的轎車，其平均行駛速度為60km/1小時(shí)，由于轎車在行駛的過程中受到交通環(huán)境的影響，會(huì)出現(xiàn)明顯的快慢變化，并非是保持勻速行駛，不能達(dá)到60km/1小時(shí)。為了較好地反映汽車在行駛過程中行駛快慢變化情況，可以縮短時(shí)間間隔，將汽車所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系，設(shè)為s=f（t），將汽車行駛時(shí)間變化由to設(shè)置為t，汽車行駛的平均速度為[f（t1）-f（t0）][t1-t0]，當(dāng)t1與t0值無限趨近于0時(shí)，汽車行駛速度變化則不會(huì)很大，其瞬時(shí)速度值與平均速度較為接近，進(jìn)而可以將t1→t0時(shí)的極限lim[f（t1）-f（t0）]/[t1-t0]，作為汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，即汽車行駛的速度，這實(shí)際上是由平均速度類比到瞬時(shí)速度的過程。

總之，導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)解答有著重要作用，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中應(yīng)充分利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來強(qiáng)化自身的數(shù)學(xué)解題能力，提高數(shù)學(xué)解題的正確率。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂世龍.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)體會(huì)[J].中國農(nóng)村教育，2018 （06）：24-25.

[2]王炫凱.導(dǎo)數(shù)幾種問題的分析[J].中國校外教育，2017 （06）：126+136.