彈簧振子簡諧振動理論分析和數(shù)值模擬

陳歡

（浙江 杭州 310000）

對簡諧運動的研究可以幫助我們更深入了解能量的變化形式。復(fù)雜的運動都能簡化成簡諧運動的線性疊加，例如人類聲帶所發(fā)出的聲音，有音色、響度、音調(diào)的不同，但可以看作是20～2000Hz的各個頻點所做簡諧運動的線性疊加。而現(xiàn)代的無線電通訊、無限保真技術(shù)，則是將電磁波通過復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)解析為多個簡諧運動后接收其中包含的信息。簡諧運動是信號處理傳輸?shù)幕痉治鰧ο蟆＞C上所述，簡諧運動在物理學(xué)、電子信息以及音樂等等方面都會涉及，用處廣泛。簡諧運動在大學(xué)課程中才會有系統(tǒng)、詳盡的講解。

本文通過理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法對彈簧振子簡諧振動運動方程及特點進行研究，用到的數(shù)學(xué)計算工具為matlab。matlab是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，它具有以下4個方面的突出優(yōu)勢：（1）高效的數(shù)值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運算分析中解脫出來；（2）具有完備的圖形處理功能，實現(xiàn)計算結(jié)果和編程的可視化；（3） 友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達式的自然化語言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握；（4）功能豐富的應(yīng)用工具箱(如信號處理工具箱、通信工具箱等)，為用戶提供了大量方便實用的處理工具。

1 不帶阻尼的簡諧運動

不帶阻尼的簡諧運動是一種理想的物理模型，它忽略了結(jié)構(gòu)在做機械運動時的阻尼效應(yīng)，本文以小球-彈簧振子為例，對簡諧振動進行分析模擬。圖1為彈簧振子的物理模型圖，該模型由小球、彈簧、固定板3部分組成。小球質(zhì)量為m，彈簧勁度系數(shù)為k，彈簧左端固定于固定板上，右端連接小球，彈簧中軸線與水平方向平行。小球與固定平板之間不存在摩擦，且系統(tǒng)沒有阻尼。假設(shè)彈簧自然伸長狀態(tài)下小球與固定板接觸點如圖中O點，以O(shè)點為坐標系原點，水平向右的方向為正方向，建立坐標系。

圖1 彈簧振子物理模型

1.1 運動方程的建立

對小球進行受力分析：小球于豎直方向上受到兩個力的作用：豎直向下方向上的重力G和豎直向上方向上固定板對小球的 Fp，且G=Fp，因此小球豎直方向上受合力為零。在水平方向上隨著小球來回運動，會受到彈簧的回復(fù)力F，它的方向為從小球指向原點O。取小球任意某時刻的運動狀態(tài)進行分析，設(shè)小球在x軸上坐標為x，則得小球水平受回復(fù)力F表達式為：

F=-kx （1）

其中負號表示小球受力方向與小球的運動方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得：

F=ma （2）

其中a為小球在水平方向上的加速度大小，方向由小球指向原點。由（1）（2）兩式可得：

kx+am=0 （3）

設(shè)小球位移為s，速度為v，已知位移對時間的求導(dǎo)等于速度，速度對時間的求導(dǎo)等于加速度，因此加速度是位移的二階導(dǎo)數(shù)，用公式表示為：

將公式（3）和（4）聯(lián)立可得：

解的形式為公式（6），其中為公式（7）所示。

1.2 方程解的關(guān)鍵參量

小球的簡諧運動中主要的核心參量有振幅 A、角頻率 ω、相位 φ。其中振幅 A表示是彈簧振子在振動過程中最大位移的絕對值，國際單位為m。彈簧振子的振幅A彈簧振子系統(tǒng)所具有機械能相關(guān)，在振動過程中小球位移的變化體現(xiàn)了系統(tǒng)動能與彈簧勢能之間的轉(zhuǎn)換。在相同條件下，當(dāng)系統(tǒng)所具有的機械能總和越大時，彈簧振子的振幅A越大。角頻率ω表示的物理含義是彈簧振子在振動過程中位移在參考圓上的相位變化速度，即單位時間內(nèi)小球振動相位發(fā)生的變化量，用公式表示為（8），單位為rad/s。其中T代表振動周期，它表示的物理含義是彈簧振子完成一次全振動所需的時間，國際單位為s，f為振動頻率，它表示的是彈簧振子每秒完成的全振動的次數(shù)，國際單位為Hz。由公式（7）可知，周期T、頻率f、角頻率ω僅與彈簧振子系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)，如彈簧的材質(zhì)、振子的質(zhì)量、彈簧的匝數(shù)等，與彈簧振子小球的速度、初始位移等無關(guān)，是彈簧振子系統(tǒng)的固有屬性。相位φ是界定彈簧振子在t時刻的運動狀態(tài)的物理量，用公式表示為（9），其中φ0表示小球的初始相位，彈簧振子在開始觀測和計時時所處于的位移x0 決定了彈簧振子的初相φ0。

運動狀態(tài)由位移x、速度v和加速度a3個關(guān)鍵矢量來描述。當(dāng)小球經(jīng)過零點（O點）時，小球的位移絕對值等于零，速度絕對值最大，加速度絕對值等于零。當(dāng)小球達到最大位移處（A點）時，它的位移絕對值最大，速度為零，加速度絕對值最大，且方向與位移方向相反。

2 帶阻尼的簡諧運動

2.1 運動方程的建立

當(dāng)考慮系統(tǒng)的阻尼效應(yīng)時，假設(shè)系統(tǒng)服從粘性阻尼模型，則小球在運動的過程中，不但受到彈簧對小球的回復(fù)力，而且還會受到阻尼力f的作用，阻尼力的作用是阻礙小球的運動，其中f的表達式如下：

v表示振子的運動速度（矢量），是表征阻尼大小的常數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，國際單位制單位為N·s/m。因此運動方程改寫為：

此時令固有圓頻率,令，則阻尼振動的微分方程為：

2.2 運動方程求解

在求解簡諧運動的過程中，我們主要使用MATLAB軟件中的dsolve函數(shù)來對建立的小球的運動微分方程進行求解。dsolve函數(shù)在MATLAB中有以下幾種形式，根據(jù)輸入?yún)?shù)的個數(shù)不同，dsolve函數(shù)會輸出不同的返回值：

s=dsolve(eqn)

s=dsolve(eqn,cond)

s=dsolve(eqn,cond,Name,Value)y=dsolve(eqns)

y=dsolve(eqns,conds)

y=dsolve(eqns,conds,Name,Value)

[y1,…,yN]=dsolve(eqns)

[y1,…,yN]=dsolve(eqns,conds,Name,Value)

其中，eqn表示差分方程表達式，cond表示約束變量的條件，Name即變量名，value即變量的值。當(dāng)我們求解小球帶阻尼的簡諧振動方程（12）時，假定小球的質(zhì)量m=2kg，彈簧勁度系數(shù)k=2N/m，小球經(jīng)過原點時開始計時，即x(0)=0，且此時小球的速度v(0)=1m/s，此時利用dsolve函數(shù)如下所示：

x=dsolve(‘D2x+2×0.1×Dx+(2/2)×x=0’,’x(0)=0’,’Dx(0)=1’,’t’)

其中，’D2x+2×0.1×Dx+(2/2)×x=0’為微分方程表達式，’x(0)=0’,’Dx(0)=1’為約束條件，’t’為變量名，求解該函數(shù)，得到位移x的表達式如下所示：

x=(10×11^(1/2)×exp(-t/10).×sin((3×11^(1/2)×t)/10))/33

由此可知，此時方程的解為一個準正弦振動曲線，振動幅值呈指數(shù)函數(shù)形式衰減。下面將利用作圖法對方程的解進行討論。在繪制小球位移-時間曲線時，定義時間t為一維數(shù)組，將得到的位移表達式通過plot(t,x)的方式進行繪制。

2.3 阻尼系數(shù)對小球運動狀態(tài)的影響

當(dāng)小球的質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)及小球初始運動狀態(tài)固定不變時，考慮阻尼系數(shù)對小球運動狀態(tài)的影響，也即考慮對系統(tǒng)的影響。令在0.1～1之間等間距的改變，計算對應(yīng)的小球運動方程，得到一系列小球位移曲線，利用plot函數(shù)將這些曲線繪制在一起進行對比研究，見圖2。

圖2 不同阻尼系數(shù)對應(yīng)小球的位移曲線

綜上所述，當(dāng)時，位移曲線為標準的正弦振動曲線，對應(yīng)系統(tǒng)不帶阻尼時的解。隨著增加，位移曲線雖然仍近似“周期”振動，但振幅呈指數(shù)型函數(shù)衰減，且越大衰減越快，此時稱為“欠阻尼”運動。當(dāng)超過某一值時，小球機械能不等接近平衡點能量已經(jīng)很小，不能產(chǎn)生準周期運動，此時稱為“過阻尼”運動。由“欠阻尼”到“過阻尼”的臨界點稱為“臨界阻尼”，此時小球初次回到平衡位置時機械能剛好為零。

3 結(jié)語

簡諧運動作為一種在物理學(xué)、電子信息以及音樂等等方面都會涉及的物理模型，其重要性及研究價值決定了我們對其深入了解的必要性。本文詳細敘述了彈簧振子做非阻尼及阻尼簡諧振動的方程的建立過程及關(guān)鍵參量的物理含義，再結(jié)合求導(dǎo)等數(shù)學(xué)手段列出微分方程表達式，而后利用MATLAB軟件中的dsolve函數(shù)對其函數(shù)進行求解，并繪制位移-時間圖像，以研究其簡諧振動的運動特點，并研究了阻尼對簡諧振動的影響，以此來研究簡諧運動、波在物理模型中的各類特性。