“秩”在線性代數(shù)中關(guān)于分類的應(yīng)用

曹貽鵬 陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)中的重要組成部分，矩陣、向量組、線性方程組、二次型等是線性代數(shù)研究的重要對(duì)象，如何從分類的角度把握這些基本概念是開(kāi)展線性代數(shù)教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題?！爸取本哂兄刃?、分類、分組的含義，它是線性代數(shù)中的重要概念之一，最早由19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，從“秩”的概念產(chǎn)生之初就在線性代數(shù)的研究中起到了重要作用。

一、秩的概念

定義1：設(shè)矩陣A為m×n階矩陣，若在A中存在一個(gè)r階非零子式，且所有的r+1階子式都為0，則稱矩陣A的秩為r，記作R（A）=r。

定義2：設(shè)有m維列向量組A，若在A中能選出r個(gè)向量a1，a2…ar，滿足

（1）向量組A0：a1，a2…ar線性無(wú)關(guān)，

（2）向量組A中的任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān),

定理1：矩陣A的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.

定義1、定義2和定理1分別給出了矩陣的秩和向量組的秩的定義，以及這兩個(gè)秩的關(guān)系。

二、“秩”關(guān)于分類的應(yīng)用

1.秩在矩陣中的分類應(yīng)用

設(shè)矩陣A和矩陣B都是m×n階矩陣集合M中的矩陣，即兩者都為同型矩陣，不妨設(shè)m≤n。

定理2：若R（A）=R（B）=r，則有

即矩陣A與矩陣B具有相同的標(biāo)準(zhǔn)形.

由定理2的結(jié)論可知，若兩個(gè)同型矩陣具有相同的秩，則這兩個(gè)矩陣也具有相同的標(biāo)準(zhǔn)型。在所有的m×n階同型矩陣中，利用矩陣秩R（A）=0，1，2，…，m，可以把矩陣集合M中的元素分為m+1類，秩相同的矩陣等價(jià)于相同的標(biāo)準(zhǔn)型，即有相同的基本結(jié)構(gòu)。

2.秩在向量組中的分類應(yīng)用

設(shè)A：α1，α2，…，αn和B：β1，β2，…βl，均為m維列向量組。

定理3：若RA=RB=r，則向量組生成的線性空間同構(gòu)，即VA≈VB。

由定理3可知，秩相同的兩個(gè)同維向量組生成的線性空間同構(gòu)，即在同構(gòu)意義下兩個(gè)向量組生成的空間是唯一的，兩個(gè)向量組具有完全相同的結(jié)構(gòu)。

例，設(shè)向量組A：α1=（1,0,0）T，α2=（0,1,0）T，α3=（1,1,0）T和向量組B：β1=（0，1，0）T，β2=（0,0,1）T均為3維向量組.顯然，A和B均生成的空間VA和VB均為二維空間，α1，α2和β1，β2分別為兩個(gè)空間的一組基。

3.秩在方程組中的分類應(yīng)用

設(shè)A為m×n階矩陣，x為n維未知向量，b為n維非零列向量，Ax=b為n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組，Ax=0為其導(dǎo)出組。

定理4：n元齊次線性方程組Ax=0

（1）方程組只有零解當(dāng)且僅當(dāng)R（A）=n；

（2）方程組有無(wú)窮解當(dāng)且僅當(dāng)R（A）＜n。

定理5：n元非齊次線性方程組Ax=b

（1）無(wú)解的充要條件是R（A）＜R（A,b）；

（2）有唯一解的充要條件是R（A）=R（A,b）；

（3）有無(wú)窮解的充要條件是R（A）=R（A,b）＜r。

由定理3和定理4可知，相同結(jié)構(gòu)的線性方程組的解的存在性和唯一性均可由線性方程組的系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩所確定.因此，無(wú)論同型的方程組具體為何，只要其系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩是確定的，則這些方程組均屬于一類方程組，具有相同的解的存在性和唯一性。

定理6：設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩R（A）=r，則其解集S的秩Rs=n-r。

定理6的結(jié)論說(shuō)明了齊次線性方程組方程組的結(jié)構(gòu)完全由其系數(shù)矩陣的秩所決定，在同構(gòu)意義下這類線性方程組的解空間是唯一的。

例，解方程組

得解空間分別為

顯然，解空間S1和S2的維數(shù)都是2，解空間結(jié)構(gòu)相同，在同構(gòu)的意義下兩個(gè)方程組本質(zhì)是一樣的。

三、結(jié)語(yǔ)

利用秩對(duì)線性代數(shù)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類在教學(xué)上具有實(shí)際意義。特別是通過(guò)橫向比較，利用秩對(duì)向量組、矩陣和線性方程組等進(jìn)行分類，可以發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題本質(zhì)上是同一類問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力是一次很好的鍛煉。