小概率事件原理及其應(yīng)用

（江西省宜春市奉新縣第一中學(xué) 江西宜春 330700）

以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，研究生活中隨機(jī)事件及其科學(xué)規(guī)律的一門學(xué)科稱為概率論，其廣泛運(yùn)用于保險(xiǎn)精算，彩票及風(fēng)險(xiǎn)評估等領(lǐng)域.概率論起初研究“賭博問題”，它的創(chuàng)立者費(fèi)馬，惠更斯，帕斯卡，對排列組合方法的應(yīng)用，成功解決了賭徒的“賭注劃分問題”，概率論就此應(yīng)運(yùn)而生。

概率是衡量事物發(fā)生大小的尺度，一般用數(shù)學(xué)符號(hào)p表示。p屬于[0.1]區(qū)間之中，一般把概率為1的事件稱為必然事件，概率為0的事件稱為不可能事件，他們相互對立。

我們將p接近于0的事件稱為小概率事件。小概率事件的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)為：p＜0.05或p＜0.01。

小概率事件，通俗的講就是發(fā)生的可能性小的事件，雖發(fā)生然可能性小，但是不代表不會(huì)發(fā)生。在概率學(xué)中我們定義為：概率很接近于0（即在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率非常低）的事件稱為小概率事件。然而在生活中，小概率事件的發(fā)生卻不是少有的事情。比如，四川九寨溝縣發(fā)生7.0級(jí)地震，北京地區(qū)出現(xiàn)日全食，飛機(jī)失事，某人買彩票中了頭等獎(jiǎng)，等等，都是小概率事件。在某些重要場合，當(dāng)事件的發(fā)生會(huì)帶來嚴(yán)重后果（飛機(jī)失事）時(shí)，概率值應(yīng)選的更小一些比如0.001。當(dāng)事件的產(chǎn)生后果嚴(yán)重時(shí)，小概率事件的閾值更小一些，視情況而定。另一方面，在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中小概率事件必然會(huì)發(fā)生，也從數(shù)學(xué)角度解釋了“水滴石穿”，“常在河邊走，哪有不濕鞋”。

定理二：（伯努利大數(shù)定律）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，記事件A發(fā)生的次數(shù)是nA，p是A發(fā)生的概率，則對于任意ε>0，有由“定律”可知，當(dāng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一直進(jìn)行很多次時(shí)，事件發(fā)生的頻率收斂于其概率。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大，事件發(fā)生的頻率和概率沒有多大的差別，因此發(fā)生概率很小的事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率也就很高。

在平常生活中，人們常常用“只要功夫深鐵杵磨成針”來形容有志者事竟成。但是也有人認(rèn)為這是不可能的，如果從概率的角度來說，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很有道理，這是為什么？

這個(gè)問題就等價(jià)于：假設(shè)H“小概率事件一定會(huì)發(fā)生”

證明過程如下：

設(shè)在一次隨機(jī)事件中事件A發(fā)生的概率為ε（ε>0），當(dāng)ε趨近于無窮小，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)下，A遲早出現(xiàn)的概率為多少？

解：設(shè)A遲早出現(xiàn)為事件B

第一次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)的概率為1-ε

p（B）這說明小概率事件遲早會(huì)發(fā)生的概率為1

假設(shè)檢驗(yàn)的原理是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，它的基本思想實(shí)質(zhì)上是帶有某種概率性質(zhì)的的反證法。在總體分布未知的情況下，提出關(guān)于總體的假設(shè)，為了推斷總體的未知特性，我們需要根據(jù)樣本所提供的信息，運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，面對所提出的假設(shè)進(jìn)行判定，假設(shè)檢驗(yàn)是確定假設(shè)正確與否的過程。

例：為了檢驗(yàn)?zāi)硰S生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，采取隨機(jī)抽取的方法，從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中的200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)有5件質(zhì)量不合格，請問是否符合合格率為99.5%的標(biāo)準(zhǔn)？

解：合格率為99.5%，說明不合格率小于或等于0.5%

在檢測的200件產(chǎn)品中，5件不合格產(chǎn)品的概率

例：在醫(yī)學(xué)界，醫(yī)療方法多樣，同樣一個(gè)病癥可以用中醫(yī)也可以用西醫(yī)治療，但是療效卻不一樣。過去治療腫瘤，如果采用化學(xué)療法，治愈率是2%，如果采用外科手術(shù)法，治愈率是3%，某醫(yī)生治療對200名患者采取外科手術(shù)進(jìn)行治療方法，治愈了6人，那么可以根據(jù)治愈率判斷治療方法的效果嗎?

解：假設(shè)H0∶治愈率P=0.02H1∶治愈率P＞0.02

設(shè)X表示治愈患者得數(shù)，則X=0.1.2.3….200.由于每個(gè)患者的治療是均等的，隨機(jī)的，治療的結(jié)果為成功或失敗，因此x～B（200.p），當(dāng)H0成立，p=0.02，λ=np=4 ，可用泊松分布來近似二項(xiàng)分布。

H0成立，治愈人不能過大，設(shè)臨界值C，給定的顯著性水平a=0.05，有p[拒 絕成立]=p[成 立]由泊松分布表可知所以當(dāng)C=8時(shí)，拒絕域（X>8），樣本x=6，所以不能拒絕假設(shè)，不能斷定外科療法比化學(xué)法好。

對小概率事件的研究和分析，可以給我們的統(tǒng)計(jì)和決策提供嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)。分析它，是為了更好的利用它，控制發(fā)生條件，讓人們更好的認(rèn)識(shí)清楚小概率事件，使其朝著我們期望的方向發(fā)展，減少其破壞性。我們應(yīng)該對其保持正確的態(tài)度，懷著貢獻(xiàn)福利事業(yè)的心去購買彩票，當(dāng)你購買一份意外保險(xiǎn)時(shí)，等于買了一份心理保障，拒絕參加街頭博彩的騙局。所以說小概率事件的研究無論是生活上，還是工作中都是十分有意義的。