一種帶隨機(jī)時(shí)延和丟包的分布式多傳感器融合估計(jì)方法

陳紅兵，王元鑫，趙國榮，盧建華，廖海濤

（1.海軍駐南京地區(qū)航天機(jī)電系統(tǒng)軍事代表，南京210006；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（WSN）革命性地改變了大規(guī)模建設(shè)分布式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的能力。它能提供以前所未有的諸多信息的質(zhì)量和數(shù)量，將徹底改變監(jiān)控環(huán)境的能力[1]。以網(wǎng)絡(luò)作為通信傳輸介質(zhì)的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS），其優(yōu)點(diǎn)是節(jié)約成本、便于實(shí)現(xiàn)資源共享、系統(tǒng)可靠性和模塊性較高等[2]。兩者的研究在近年逐漸成為學(xué)術(shù)界的一大熱點(diǎn)。但是，它們也面臨一些挑戰(zhàn)，諸如傳感器功率調(diào)度、路由選擇、數(shù)據(jù)丟包補(bǔ)償，數(shù)據(jù)壓縮和編碼等，考慮到傳感器、執(zhí)行器和控制器在物理上不共址并且通常由電池供電，需要通過無線通信網(wǎng)絡(luò)交換信息。這些只是少數(shù)在數(shù)據(jù)收集應(yīng)用中出現(xiàn)的問題，其目標(biāo)是準(zhǔn)確地重建傳感器測量值。實(shí)時(shí)監(jiān)控和控制應(yīng)用又額外增加了難度，因?yàn)閬G包和時(shí)延可能會(huì)降低決策部分的有效性。因此，評估數(shù)據(jù)的隨機(jī)時(shí)延和丟包對整體系統(tǒng)性能的影響很重要。

目前，通信協(xié)議和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是分開設(shè)計(jì)的。特別是協(xié)議基于保守啟發(fā)式設(shè)計(jì)，指定了最大時(shí)延和最大丟包的閾值，但沒有清楚地說明它們對全局應(yīng)用性能的影響。在應(yīng)用程序?qū)用?，控制系統(tǒng)并非專門設(shè)計(jì)用于利用有關(guān)通信協(xié)議的丟包和時(shí)延統(tǒng)計(jì)信息。無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境監(jiān)測如圖1所示。

受這些因素的推動(dòng)，本文的目標(biāo)是研究最優(yōu)傳感器融合，其中測量值通過無線通信網(wǎng)絡(luò)發(fā)送到單個(gè)當(dāng)?shù)刂行?，然后加以融合以獲得系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。每個(gè)傳感器測量值受其自身隨機(jī)延遲和可能性丟包的影響，因此根據(jù)每個(gè)傳感器與集中式融合節(jié)點(diǎn)的距離來關(guān)聯(lián)不同的數(shù)據(jù)包分布情況。

圖1 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)用于環(huán)境監(jiān)測的示意圖Fig.1 Schematic diagram of a wireless sensor network monitoring environment

1 目前進(jìn)展

目前，多個(gè)小組研究了具有隨機(jī)時(shí)延或丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)[3]很好地回顧了該領(lǐng)域的一些成果，可以分為2大類：第1類關(guān)注可變時(shí)延但不包含丟包；第2類關(guān)注丟包但沒有時(shí)延。

在第1類中，Nilsson等[4]將LQG最優(yōu)控制設(shè)計(jì)擴(kuò)展到受隨機(jī)測量值和時(shí)延影響的采樣線性系統(tǒng)，并表明了最優(yōu)控制器增益是如何與時(shí)滯相關(guān)的。但他們的工作僅限于共址的傳感器和執(zhí)行器。不同的是其他作者研究了從具有不同時(shí)延的傳感器獲得測量值的數(shù)據(jù)融合。如，Alexander[5]和Larsen等人[6]推導(dǎo)出次優(yōu)但計(jì)算效率高的卡爾曼類濾波器來解釋隨機(jī)時(shí)延，并通過Monte-Carlo仿真器測試了它們的性能。Julier等人[7]研究了測量值時(shí)間戳不確定時(shí)的估計(jì)問題。

在第2類中，對應(yīng)用最佳控制和離散時(shí)間系統(tǒng)估計(jì)作了相當(dāng)大的努力。其中，測量值和數(shù)據(jù)包可以用某些不包含時(shí)延的概率分布來處理。這個(gè)框架等效于所有數(shù)據(jù)要么沒有延遲要么延遲無限大。例如，文獻(xiàn)[8-10]為獨(dú)立同分布的伯努利通信網(wǎng)絡(luò)提出了補(bǔ)償技術(shù)并且為閉環(huán)離散時(shí)間系統(tǒng)導(dǎo)出了穩(wěn)定性條件。Sinopoli等[11-12]和Imer等[13]專門研究最小方差估計(jì)和最優(yōu)控制。總之，從研究的系統(tǒng)架構(gòu)上來分，目前的丟包線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)模型主要分為2種：傳感器直接將量測通過隨化丟包的信道傳輸給狀態(tài)佑計(jì)器進(jìn)行估計(jì)[14-15]；傳感器對本地量測進(jìn)行處理之后再通過隨機(jī)丟包的信道傳輸給狀態(tài)估計(jì)器進(jìn)行估計(jì)[16-17]。

本文提出了一個(gè)概率框架來分析傳感器融合。其中，來自多傳感器的觀測數(shù)據(jù)包受到任意隨機(jī)時(shí)延和丟包影響。在此框架中，測量值需要在傳感器端用時(shí)間戳標(biāo)記，但是數(shù)據(jù)包在接收方可能爆發(fā)式或者無序到達(dá)。本文擴(kuò)展了文獻(xiàn)[18]之前只考慮單傳感器的工作，該估計(jì)器結(jié)構(gòu)獨(dú)立于數(shù)據(jù)包到達(dá)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并且如果數(shù)據(jù)包的最大時(shí)延有限，則可以使用具有有限存儲(chǔ)緩沖器的卡爾曼濾波器來實(shí)現(xiàn)。

2 問題描述

考慮如下線性離散隨機(jī)系統(tǒng)：

式（1）、（2）中：t∈N={0,1,2,…}；；；M表示多傳感器的總數(shù)目。

此外，還假設(shè)對子(A,C)可觀，(A,Q12)可達(dá)，且Ri＞0,?i。測量值添加時(shí)間戳后封裝成數(shù)據(jù)包，然后通過數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)（DCN）傳輸，達(dá)到將數(shù)據(jù)包從源頭傳送到終端的目的。測量值的時(shí)間戳能對接收器端收到的亂序數(shù)據(jù)進(jìn)行重新排序?，F(xiàn)在的數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)通常非常復(fù)雜，并且其架構(gòu)和執(zhí)行器依據(jù)所使用的介質(zhì)（有線，無線，混合）和它們用于服務(wù)的應(yīng)用（實(shí)時(shí)監(jiān)控，數(shù)據(jù)提取，媒體相關(guān)等）而變化多樣。研究中，將DCN建模為傳感器和融合中心之間的模塊，觀測值向估計(jì)器傳輸時(shí)可能帶有隨機(jī)時(shí)延，該模型將時(shí)延無限大的情況視為丟包。假設(shè)準(zhǔn)確傳遞到估計(jì)器端的所有觀測數(shù)據(jù)包都存儲(chǔ)。

在無限緩沖區(qū)中，如圖2所示，圖2a）為通用到達(dá)情況，圖2 b）為具有有限緩沖區(qū)的情況。到達(dá)過程通過隨機(jī)變量來建模，定義如下：

圖2 最優(yōu)卡爾曼估計(jì)存儲(chǔ)器示意圖Fig.2 Schematic diagram of optimal Kalman estimation memory

如果在t時(shí)刻估計(jì)器沒有接收到觀測值，假設(shè)在存儲(chǔ)緩沖區(qū)的i,k槽存了零值，如圖2所示。t時(shí)刻存儲(chǔ)在估計(jì)器緩沖區(qū)的i,k槽中的值可表示如下：

目標(biāo)基于所有時(shí)刻t之前到達(dá)傳感器融合端的測量值，得出最優(yōu)均方意義下的估計(jì)器：

重要的是，要標(biāo)記含有以上信息的估計(jì)器是否已發(fā)送，并且它不等同于計(jì)算。實(shí)際上，后者會(huì)將緩沖區(qū)的諸多零值視為真實(shí)的測量值而不是虛擬變量，從而導(dǎo)致性能降低。估計(jì)器的誤差和誤差協(xié)方差表示如下：

3 最小誤差協(xié)方差下的估計(jì)器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，通過式（6）來計(jì)算最優(yōu)估計(jì)器。首先，定義以下變量：

注意到在時(shí)刻t，由式（5）得到的估計(jì)器可用信息可以寫成以下系統(tǒng)的輸出：

對任何固定時(shí)刻t，這個(gè)系統(tǒng)可以看作一個(gè)關(guān)于時(shí)刻k的線性時(shí)變系統(tǒng)。其中，唯一的時(shí)變元素是觀測矩陣Ct,k和測量噪聲協(xié)方差Rt,k。

下面介紹本節(jié)的主要定理：

定理1：考慮式（1）、（2）給出的隨機(jī)線性系統(tǒng)，其中Ri＞0。同時(shí)考慮由式（3）定義的到達(dá)過程，以及式（6）定義的均方估計(jì)器。設(shè)，該向量僅包括時(shí)刻t在傳感器融合端出現(xiàn)的測量值，即從yt,k中去除虛擬零觀測值獲得的向量。類似地考慮矩陣，去除其中與虛擬零測量值相對應(yīng)的所有零行?？梢缘玫剑?/p>

式（12）～（14）中，k=1,2,…,t。

式（17）～（19）中，k=t-N+1,t-N+2,…,t。

卡爾曼增益Kt,t和估計(jì)誤差協(xié)方差Pt,t是時(shí)變的，因?yàn)樗鼈內(nèi)Q歷史到達(dá)的數(shù)據(jù)包γt。與收斂到穩(wěn)態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器不同，在考慮隨機(jī)時(shí)延和丟包的情況下，該濾波器具有強(qiáng)時(shí)變性，由于矩陣的求逆而使其計(jì)算效率較低。

到目前為止，對數(shù)據(jù)包到達(dá)過程沒有做出任何假設(shè)，其可以是確定性的、隨機(jī)的或者時(shí)變的。然而，從工程角度來看，重要的是基于誤差協(xié)方差Pt+1,t來評估估計(jì)器的性能。當(dāng)數(shù)據(jù)包到達(dá)過程隨機(jī)時(shí)，誤差協(xié)方差也是隨機(jī)的。在這種情況下，通常用預(yù)期誤差協(xié)方差度量性能，即Eγ[Pt+1,t]，其中期望是相對于到達(dá)過程計(jì)算的。即使是簡單的伯努利到達(dá)過程，目前尚不清楚是否可以分析計(jì)算Eγ[Pt+1,t]，只能獲得上限和下限[10]。不去界定時(shí)變最佳估計(jì)器的性能，我們將集中討論具有與圖2b）的M×N緩沖器中的每個(gè)槽相關(guān)聯(lián)的帶有一組常數(shù)增益的融合濾波器，即對于所有的i=1,2,…,M和h=1,2,…,N-1的。然后，優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)下的最小誤差協(xié)方差。使用常值增益的優(yōu)勢是根本不需要像最優(yōu)時(shí)變?yōu)V波器那樣對任何矩陣求逆，因而適用于在線應(yīng)用。此外，具有恒定增益的濾波器必然是次優(yōu)的。因此，對于它們誤差協(xié)方差的計(jì)算本身就有用，因?yàn)樗峁┝擞墒剑?1）～（14）給出的最小誤差協(xié)方差意義下最優(yōu)濾波器的誤差協(xié)方差的上限。

假設(shè)數(shù)據(jù)包到達(dá)估計(jì)器端的過程平穩(wěn)且服從獨(dú)立同分布，其概率函數(shù)為：P[τt≤h]=λh，其中t≥0，0≤λh≤1在h=0,1,2,…非遞減，且λh如式（4）定義。

變量λh對應(yīng)于在h時(shí)間步長之前采樣的數(shù)據(jù)包到達(dá)估計(jì)器的概率。顯然，λh必然非增，因?yàn)棣薶=P[τt≤h-1]+P[τt=h]=λh-1+P[τt=h]。

將丟包概率定義為λloss=1-sup{λh|h≥0}。對時(shí)延的概率密度也可用由式（4）定義的到達(dá)過程來定義。實(shí)際上根據(jù)定義，對于h≥1，有P[τk=0]=λ0，P[τk=h]=λh-λh-1，并且P[τk=∞]=λloss。

最后，定義了數(shù)據(jù)包到達(dá)的最大時(shí)延：

還假設(shè)不同的傳感器具有不同的時(shí)延分布，即對于i=1,2,…,M，有。這對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)是很自然的假設(shè)。實(shí)際上，如圖1所示，遠(yuǎn)離融合端的傳感器節(jié)點(diǎn)i比傳感器節(jié)點(diǎn)j具有更大的時(shí)延和更高的丟包率。事實(shí)上，節(jié)點(diǎn)i需要多跳而節(jié)點(diǎn)j只需單跳到達(dá)接收端。

4 算例仿真與分析

系統(tǒng)狀態(tài)初值x0由2個(gè)分量組成，且均在區(qū)間[-1,1]上均勻分布。。

選擇無線通信網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)包時(shí)延概率函數(shù)：

為對比不同丟包率為系統(tǒng)性能的影響，上式中最大時(shí)延L依次取為13、14、15，則時(shí)延過程當(dāng)中丟包的概率依次為0.35、0.3、0.25，圖3以L=15為例。

圖3 L=15時(shí)延概率函數(shù)Fig.3 Delay probability function atL=15

最優(yōu)分布式融合估計(jì)的仿真結(jié)果如圖4～6所示，2條曲線依次代表狀態(tài)分量的真值和最優(yōu)分布式融合估計(jì)值，可以定性看出融合估計(jì)值與真值相比，隨著丟包率的減少融合估計(jì)的效果越來越理想，體現(xiàn)出丟包對系統(tǒng)融合估計(jì)的影響。

圖4 L=13狀態(tài)真值和融合估計(jì)值的軌跡Fig.4 Trajectory of state truth value and fusion estimate atL=13

圖5 L=14狀態(tài)真值和融合估計(jì)值的軌跡Fig.5 Trajectory of state truth value and fusion estimate atL=14

圖6 L=15狀態(tài)真值和融合估計(jì)值的軌跡Fig.6 Trajectory of state truth value and fusion estimate atL=15

圖7中，當(dāng)時(shí)延上限L=13依次增加到L=15時(shí)，即丟包率變低時(shí)分布式融合估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣Pt,t的跡Tr(Pt,t)的計(jì)算結(jié)果，由圖7可知，在達(dá)到平穩(wěn)時(shí)，Tr(Pt,t)隨著丟包率的減小而減小，仿真表明數(shù)據(jù)傳輸時(shí)丟失越少，融合估計(jì)的誤差越小。

圖7 時(shí)延上限L與Tr(Pt,t)的關(guān)系Fig.7 Relationship between the maximum random delayLandTr(Pt,t)

5 結(jié)論

本文基于單點(diǎn)分布式傳感器獲得的一系列測量值，提出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)傳感器融合估計(jì)的框架，表明最優(yōu)濾波器是一個(gè)含有緩沖區(qū)的時(shí)變卡爾曼濾波器，其計(jì)算效率較高，因?yàn)樗恍枰邢薜拇鎯?chǔ)緩沖器。對于這類過濾器，如果每個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)包到達(dá)過程是獨(dú)立同分布的但概率分布不同且丟包率充分小的情況小，則估計(jì)器是均方穩(wěn)定的。

今后的工作，將利用最流行的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)路由協(xié)議，來獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包到達(dá)分布情況，以評估使用本文所提工具進(jìn)行在線監(jiān)測應(yīng)用的路由協(xié)議性能。