點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系常見(jiàn)典型考題賞析

■王立超

點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系是立體幾何的重要知識(shí),也是高考的?？贾R(shí)。下面主要介紹空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的典型例題的解題思想與方法,供大家學(xué)習(xí)與參考。

題型一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

點(diǎn)線共面問(wèn)題的兩種證明方法:①納入平面法,即先確定一個(gè)平面,再證有關(guān)點(diǎn)線在此平面內(nèi)。②輔助平面法,即先證有關(guān)點(diǎn)線確定平面α,再證其余點(diǎn)線確定平面β,最后證明平面α,β重合。證明多線共點(diǎn)問(wèn)題,常用的方法是先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上,證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí),第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線。

例1 如圖1所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)。求證:D1,H,O三點(diǎn)共線。

圖1

證明：因?yàn)锽B1DD1,所以四邊形BB1D1D為平行四邊形。又H∈B1D,B1D?平面BB1D1D,則H∈平面BB1D1D。

因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D=OD1,所以H∈OD1,即D1,H,O三點(diǎn)共線。

跟蹤訓(xùn)練1：如圖2所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn)。

圖2

求證:(1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面。

(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn)。

提示：(1)連接EF,CD1,A1B。因?yàn)镋,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),所以EF∥BA1。又A1B∥D1C,所以EF∥CD1。所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面。

(2)因?yàn)镋F∥CD1,EF＜CD1,所以CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P。

由P∈CE,CE?平面ABCD,可得P∈平面ABCD。同理可得P∈平面ADD1A1。

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直線DA,可知CE,D1F,DA三線共點(diǎn)。

題型二：異面直線所成的角

用平移法求異面直線所成的角的三步法:一作,即根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;二證,即證明作出的角是異面直線所成的角;三求,即解三角形,求出作出的角,如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角,如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角。

例2 如圖3,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )。

圖3

解：由題意可得BC1∥AD1,則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角。由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=即異面直線AB與AD所成角的余弦11值。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練2：直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于( )。

A.30° B.45°

C.60° D.90°

提示：如圖4,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使得AD=AC,則四邊形ADA1C1為平行四邊形,所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角。又A1D=A1B=DB,所以△A1DB為等邊三角形,所以∠DA1B=60°。應(yīng)選C。

圖4

題型三：垂直關(guān)系的基本問(wèn)題

垂直關(guān)系的基本問(wèn)題包括線線垂直、線面垂直、面面垂直問(wèn)題。證明直線與平面垂直的常用方法:①利用判定定理。②利用判定定理的推論(a∥b,a⊥α?b⊥α)。③利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β)。④利用面面垂直的性質(zhì),即當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。判斷面面垂直的方法:①利用面面垂直的定義。②利用面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)。

例3 已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( )。

A.α⊥β,且m?α

B.m∥n,且n⊥β

C.α⊥β,且m∥α

D.m⊥n,且n∥β

解：因?yàn)棣痢挺?m?α,則m,β的位置關(guān)系不確定,即可能平行、相交或m在β面內(nèi),A錯(cuò)誤。由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確。若α⊥β,m∥α,則m,β的位置關(guān)系不確定,C錯(cuò)誤。若m⊥n,n∥β,則m,β的位置關(guān)系也不確定,D錯(cuò)誤。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練3：已知a,b,c為三條不同的直線,且a?平面α,b?平面β,α∩β=c。

①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;

②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;

③若a∥b,則必有a∥c;

④若a⊥b,a⊥c,則必有α⊥β。

其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

提示：若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交,①正確。當(dāng)α⊥β時(shí),若b⊥c,則b⊥平面α,此時(shí)不論a,c是否垂直,均有a⊥b,②錯(cuò)誤。當(dāng)a∥b時(shí),則a∥平面β,由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c,③正確。若b∥c,則當(dāng)a⊥b,a⊥c時(shí),a與平面β不一定垂直,此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直,④錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

題型四：等體積法求點(diǎn)到平面之間的距離

用等體積法求點(diǎn)到平面之間的距離時(shí),通過(guò)變換頂點(diǎn)和底面,轉(zhuǎn)化為底面和高都易求的錐體體積。

例4 如圖5,在直三棱柱ABC-DEF中,底面ABC的棱AB⊥BC,且AB=BC=2。點(diǎn)G,H在側(cè)棱CF上,且CH=HG=GF=1。

圖5

(1)證明:EH⊥平面ABG。

(2)求點(diǎn)C到平面ABG的距離。

解：證明直線與平面垂直,只需證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可;等體積法是求點(diǎn)到平面之間距離的常用方法。

(1)因?yàn)锳BC-DEF是直三棱柱,所以FC⊥平面ABC。而AB?平面ABC,所以FC⊥AB。因?yàn)锳B⊥BC,BC∩FC=C,所以AB⊥平面BCFE。又因?yàn)镋H?平面BCFE,所以AB⊥EH。

由題設(shè)知△EFH與△BCG均為直角三角形,因?yàn)镋F=2=FH,BC=2=CG,所以∠EHF=45°,∠BGC=45°。設(shè)BG∩EH=P,則∠GPH=90°,即EH⊥BG。

又因?yàn)锳B∩BG=B,所以EH⊥平面ABG。

因?yàn)镃G⊥平面ABC,所以VG-ABC=×

跟蹤訓(xùn)練4：如圖6,已知三棱錐A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1。

圖6

(1)求證:平面ABC⊥平面ACD。

(2)若E為AB的中點(diǎn),求點(diǎn)A到平面CED的距離。

提示：(1)因?yàn)锳D⊥平面BCD,BC?平面BCD,所以AD⊥BC。又因?yàn)锳C⊥BC,AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD。由BC?平面ABC,可知平面ABC⊥平面ACD。

由(1)知BC⊥平面ACD,所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為1,且

題型五：立體幾何中的存在性問(wèn)題

對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題,首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下,利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋找假設(shè)滿足的條件,若滿足則肯定假設(shè),若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)。

例5 如圖7,在四棱錐P-ABCD中,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4。

圖7

(1)求證:平面PCD⊥平面PAD。

(2)求三棱錐P-ABC的體積。

(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PAD?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)因?yàn)锳B∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD。

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面PAD。

又因?yàn)镃D?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD。

(2)取AD的中點(diǎn)為O。因?yàn)椤鱌AD為正三角形,所以PO⊥AD。

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P-ABC的高。

因?yàn)椤鱌AD為正三角形,CD=2AB=2AD=4,所以PO=3。

(3)在棱PC上存在點(diǎn)E,當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PAD。證明如下:

取CP,CD的中點(diǎn)分別為E,F,所以EF∥PD。

因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,所以AB∥FD,AB=FD,可知四邊形ABFD為平行四邊形,所以BF∥AD。

因?yàn)锽F∩EF=F,AD∩PD=D,所以平面BEF∥平面PAD。

因?yàn)锽E?平面BEF,所以BE∥平面PAD。

跟蹤訓(xùn)練5：如圖8,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,DC∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC=2。

圖8

(1)求證:平面PAD⊥平面PCD。

(2)試在棱PB上確定一點(diǎn)E,使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為2∶1。

提示：(1)因?yàn)锳D⊥AB,DC∥AB,所以DC⊥AD。

因?yàn)镻A⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以DC⊥PA。

因?yàn)锳D∩PA=A,AD、PA?平面PAD,所以DC⊥平面PAD。

又因?yàn)镈C?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD。

(2)作EF⊥AB于點(diǎn)F。因?yàn)樵凇鰽BP中,PA⊥AB,所以EF∥PA,所以EF⊥平面ABCD。

由AD=1,AB=2,BC=2,易得CD=1,所以V四棱錐P-ABCD

由VPDCEA∶V三棱錐E-ACB=2∶1,可 得∶h=2∶1,解得h=,所以E=PA,可知E為PB的中點(diǎn)。