一個數(shù)論函數(shù)均值的遞歸算法

顧江民

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,浙江 東陽 322100)

著名數(shù)學(xué)家美籍羅馬尼亞人Florentin Smarandache在《只有問題,沒有解答!》一書中提出了105個關(guān)于數(shù)論函數(shù)和序列的問題和猜想,其中第21個問題是“研究十進(jìn)制中數(shù)字之和數(shù)列的性質(zhì)”[1],其內(nèi)容主要是對這個數(shù)論均值的一些特殊情形進(jìn)行了研究[2-8],本文作為這一問題的一般化，給出了n進(jìn)制數(shù)字之和函數(shù)的m次均值計算遞推公式Am(nk).

定義設(shè)n≥2為一給定的正整數(shù)，對任一正整數(shù)p，假定p在n進(jìn)制中表示式P=a1nk1+a2nk2+…+asnks(k≥k1>k2>…>ks,1ain-1,ki∈N,i=1,2,…,s),記a(p)=a1+a2+…+as，稱為函數(shù)a(p)在n進(jìn)制中的m次均值.

1 主要結(jié)論

定理記Am=Am(nk)，則Am的遞歸函數(shù)為

(1)

推論2 特別地當(dāng)n=2時，Am(2k)的遞歸函數(shù)

A0(2k)=2k,Am(2k)=k[Am-1(2k)-Am-1(2k-1)].

推論3 若等冪和Sm=1m+2m+…+nm，則Sm的遞歸函數(shù)為

(2)

2 三個引理

引理1 Bernoulli數(shù)Bn的生成函數(shù)為

(3)

(4)

(5)

3 定理的證明

由引理3的(5)式知

A0=A0(nk)=G(0)=nk,

對(5)式求導(dǎo)得

=kln(enx-1)-kln(ex-1).

對R(x)求導(dǎo)得

根據(jù)引理1的(3)式可得

因為R(0)=lnG(0)=klnn，所以

應(yīng)用引理2的(4)式得

由此定理得證.當(dāng)k=1時，n+1代替n，可得推論3成立.

4 MATHEMATIC實施

以上結(jié)論可在mathematic軟件上實施，過程截圖如圖1所示：

圖1 遞歸算法的mathematics程序

5 結(jié) 論

本文引理3表達(dá)了n進(jìn)制數(shù)字之和函數(shù)的m次均值A(chǔ)m(nk)的生成函數(shù)，形式簡便.采用引理2得到均值計算遞歸公式，用遞歸方法很容易得到低次的均值計算公式，對相關(guān)的理論研究也有幫助，如推論3等冪和的遞歸關(guān)系有待進(jìn)一步研究.