基于實(shí)驗(yàn)方法的橡膠圓管的本構(gòu)模型分析

劉洪波，劉 齊，孫國(guó)棟

(1.北華大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，吉林 吉林 132021；北華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，吉林 吉林 132021)

天然橡膠作為氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)器彈性氣囊[1,2]的主要構(gòu)件，在變形過(guò)程中具有大變形和非線性的特點(diǎn)，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型對(duì)其性能進(jìn)行描述十分困難.由于橡膠是超彈性體，彈性體形變能的大小只取決于變形的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，與加載路徑無(wú)關(guān)[3-5].因此，通常用應(yīng)變能密度函數(shù)來(lái)描述天然橡膠的本構(gòu)模型和力學(xué)性能[4].近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)應(yīng)變能函數(shù)提出了很多假設(shè).其中Mooney和Rivlin提出的Mooney-Rivlin模型、Yeoh和Ogden模型應(yīng)用最為廣泛[6,7].

本文主要對(duì)小變形(變形量小于100%)的天然橡膠[8,9]圓管進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)值分析其應(yīng)力-應(yīng)變曲線，總結(jié)得到了適合小變形下橡膠的應(yīng)變能密度函數(shù)及其材料系數(shù).

1 橡膠的本構(gòu)方程

通常，橡膠應(yīng)變能密度函數(shù)是變形張量的不變量I1，I2和I3的函數(shù)[10]，即

W=W(I1,I2,I3)

(1)

因?yàn)閱屋S拉伸時(shí)，另外兩個(gè)方向自由，設(shè)拉伸方向的伸長(zhǎng)率為λ，應(yīng)變?yōu)棣?，則得：

(2)

將(2)式代入(1)可得應(yīng)變恒量可得：

(3)

將(3)代入到應(yīng)變能密度函數(shù)的解析式中并對(duì)其應(yīng)變張量求導(dǎo)可以得到橡膠拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式:

(4)

式中：NH1、MR1及Y1分別對(duì)應(yīng)表示Neo-Hookea模型、Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型；CNH1、C10、C01、C1、C2和C3為各模型中對(duì)應(yīng)的材料系數(shù).

為了便于計(jì)算，對(duì)(4)式對(duì)應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到三種本構(gòu)模型的多項(xiàng)式：

σNH1=2CNH1(4ε3-3ε2+3ε)

σMR1=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+2C01(10ε3-6ε2+3ε)

σY1=2C1(6ε5-5ε4+4ε3-3ε2+3ε)+12C2(8ε5-4ε4+3ε3)+54C3(3ε5-ε-1)

(5)

式(4)與(5)均反映出的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系.

2 橡膠圓管單軸拉伸實(shí)驗(yàn)

2.1 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)橡膠圓管為乳膠管，其硬度為43HRC，尺寸規(guī)格8*11，有效長(zhǎng)度為50 mm.實(shí)驗(yàn)時(shí)，乳膠管上下兩端通過(guò)自制簡(jiǎn)易夾具固定在拉伸機(jī)上(圖1)，在室溫下以5 mm/min的速度施加軸向載荷，設(shè)置拉伸參數(shù)[10]，使得乳膠管伸長(zhǎng)量達(dá)到100%時(shí)停止加載(圖2是拉伸過(guò)程中，載荷隨伸長(zhǎng)量變化的實(shí)時(shí)曲線)，如此反復(fù)5次，取實(shí)驗(yàn)的平均值作為最終的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖2 拉伸過(guò)程中的數(shù)據(jù)變化過(guò)程

實(shí)驗(yàn)時(shí)所測(cè)應(yīng)力：

(6)

式中：F為負(fù)載；A0為乳膠管的橫截面積；D1為乳膠管外徑，D2為乳膠管內(nèi)徑.

實(shí)驗(yàn)時(shí)所測(cè)應(yīng)變：

(7)

式中：Δl為乳膠管被拉伸的位移變化量，L為乳膠管原始長(zhǎng)度.

將最終獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，進(jìn)行處理，得到曲線(圖3).

ε圖3 拉伸時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的變化曲線

2.2 材料系數(shù)擬合

利用MATLAB對(duì)式(5)中的個(gè)模型本構(gòu)方程進(jìn)行曲線擬合，可以得到相應(yīng)的模型擬合曲線(圖4).

ε圖4 擬合曲線圖

擬合出各模型的材料系數(shù)如下所示：

N-H模型參數(shù)CNH1=0.086 7；M-R模型參數(shù)C10=0.213 8，C01=-0.086 77；Y模型的參數(shù)C1=0.242 5，C2=-0.023 9，C3=-0.000 9.

經(jīng)對(duì)比易知：在小變形(變形量小于100%)時(shí)，M-R模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果較好.

3 結(jié) 論

本文利用單軸拉伸的實(shí)驗(yàn)方法，首先得到了天然橡膠圓管的應(yīng)力應(yīng)變曲線，然后通過(guò)已有的本構(gòu)方程與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，最終確定了橡膠中常用的三種本構(gòu)模型的材料系數(shù).通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明，M-R模型適用于變形量小于等于100%的范圍.實(shí)驗(yàn)結(jié)論具有一定的借鑒意義，為后續(xù)氣動(dòng)人工驅(qū)動(dòng)器變形機(jī)理研究提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù)和理論基礎(chǔ).