發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學微設(shè)計*

2018年1月16日，教育部召開新聞發(fā)布會，介紹修訂后的《普通高中課程方案和數(shù)學等學科課程標準（2017年版）》。其中，數(shù)學學科在這次修訂的課程標準中新增了對學科核心素養(yǎng)的界定與論述，明確了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析6大數(shù)學學科核心素養(yǎng)。那一線的數(shù)學教師如何在課堂中踐行新修訂的課程標準理念，讓發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學目標真正落地呢？筆者以為，在教學理念層面，一線教師應(yīng)當以深度學習理論為指導；在具體操作層面，除了在常規(guī)教學中進行滲透外，還可以從現(xiàn)行的普通高中數(shù)學教材中選取部分內(nèi)容進行教學微設(shè)計，以此來達到培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標。

一、相關(guān)概念

深度學習是學生源于自身內(nèi)部動機的對有價值的學習內(nèi)容展開的完整的、準確的、豐富的、深刻的學習。從本質(zhì)上看，它是一種主動的、探究式的、理解性的學習方式，要求學習者掌握非結(jié)構(gòu)化的深層知識并進行有批判性的高階思維、主動的知識建構(gòu)、有效的遷移應(yīng)用及真實問題的解決，進而實現(xiàn)元認知能力、問題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階能力的發(fā)展。深度學習是有意義的學習，要求學生的學習不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化；深度學習是理解性的學習，重在引導學生通過深切的體驗和深入的思考，達成對學科本質(zhì)和知識意義的滲透理解；深度學習是階梯式的學習，是促進式的、層次性的學習，這與《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》闡述的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這6大核心素養(yǎng)的3個水平層次相呼應(yīng)。發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)必須基于深度學習。

課堂教學微設(shè)計，指的是教師選取課堂教學內(nèi)容中的某一部分（如問題情境、概念教學、探究活動、例題練習、知識應(yīng)用等等）而進行的設(shè)計，它是整個課堂教學設(shè)計的一部分，若干個微設(shè)計構(gòu)成整個課堂教學的設(shè)計。教師通過課堂教學微設(shè)計，促進學生的深度學習，從而達到學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的目標。由此可見，課堂教學微設(shè)計是方法，深度學習是過程，發(fā)展核心素養(yǎng)是目標，三者邏輯相關(guān)，有機統(tǒng)一。

下面以一則“平面向量的幾何應(yīng)用”案例加以論述。

二、案例分析

課堂教學微設(shè)計：

問題 1：求證 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）。如何構(gòu)造一個圖形解釋這個公式的幾何意義？（蘇教版《高中數(shù)學》必修4“2.4向量的數(shù)量積”中的習題2.4第5題）

分析：|a+b|2=（a+b）2=a2＋2ab+b2與 |a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2，兩式相加即得。

向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性。在中學數(shù)學教學中常常把向量定位為研究幾何問題的一種“工具”。教學中可引導學生聯(lián)想向量加法與減法的幾何模型，獲得該等式的幾何意義：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。

該問題求解后，可給出以下2道練習題加以鞏固。

練習1：如果M是三角形ABC中BC邊的中點，求證：|AB|2+|AC|2=2|AM|2+2|BM|2。（人教 B版《高中數(shù)學》必修4“2.4向量的應(yīng)用”中的習題2.4B組第4題）

練習2：在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，求的值。問題 2：在 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？

深度學習的數(shù)學課堂要呈現(xiàn)“關(guān)聯(lián)”，教師在課堂上的工作就在于建立新的聯(lián)結(jié)點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并引導學生深入思考，從客觀世界吸收營養(yǎng)來豐富、延伸這個網(wǎng)絡(luò)。因而，在問題1的基礎(chǔ)上，設(shè)計開放性問題2，給學生思維的自由度和廣闊度，有利于發(fā)展學生邏輯推理的核心素養(yǎng)。

事實上，在等式 |a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，學生對 |a+b|2=（a＋b）2=a2+2ab+b2與 |a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2兩式作差，即可發(fā)現(xiàn)：4ab=（a+b）2-（a-b）2，也即 a·b＝（a-b）2］（極化恒等式）。

（圖1）

此式表明向量的數(shù)量積運算可以由向量的線性運算的模推導出，該式溝通了向量數(shù)量積運算和線性運算之間的關(guān)系。若a，b是實數(shù)，則該恒等式也可謂“廣義的平方差公式”。極化恒等式的幾何意義：向量數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的在三角形中，也可以用三角形的中線來表示，即a·它揭示了三角形的中線與邊長的關(guān)系。

深度學習是內(nèi)源性的學習，強調(diào)通過深切的體驗和深入的思考，達成對學科本質(zhì)和知識意義的滲透理解，在問題2的基礎(chǔ)上，可轉(zhuǎn)換角度，繼續(xù)引導學生主動探究。

探究：根據(jù) M，B，C 三點共線，易知 λ+μ＝1，這一結(jié)論顯現(xiàn)了平面幾何中的“三點共線”可以用向量線性表示。若D為線段AM（或延長線）上的一點，則必存在一個常數(shù)m∈R，使所以 x+y＝mλ+mμ=m。當點M，D 確定后，x+y的值便也確定，即

（圖2）

（圖3）

綜上所述，可得以下結(jié)論（俗稱“等和線定理”）：

易知，當點D與點A位于直線BC異側(cè)時，有x+y＞1，且點D到直線BC的距離越大,則x+y越大；當點D與點A位于直線BC同側(cè)時，有x+y＜1，且點D到直線BC的距離越大，則x+y越小。

本設(shè)計從問題1入手，得到平行四邊形兩條對角線與邊長的長度關(guān)系式后，緊接著引導學生深度學習，得到“極化恒等式”和“等和線定理”，促進學生發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)。

數(shù)學的思維是什么？就是邏輯推理。通俗地講，就是由已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律推出新的規(guī)律。這是數(shù)學生長和發(fā)展的主要途徑。有人曾打過比方，說數(shù)學抽象相當于“女媧造人”，從無到有產(chǎn)生數(shù)學；邏輯推理相當于“人生人”，從少到多發(fā)展數(shù)學。事實上，數(shù)學的發(fā)展依賴的是邏輯推理，就是從一些前提或者事實出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則得到或者驗證命題的思維過程，這里所說的規(guī)則是指推理過程具有傳遞性。［1］

推理過程具有傳遞性，推理更多的需要依賴深度學習。如上，可進一步改變視角，提出問題，發(fā)展學生邏輯推理核心素養(yǎng)，實現(xiàn)“人生人”：

問題4：如圖4，試用四邊形ABCD的四條邊長表示對角線向量的數(shù)量積。

（圖4）

引導學生探究：

上式表明：四邊形的兩條對角線對應(yīng)向量的數(shù)量積可用4條邊的長度表示。該定理的兩個推論是顯而易見的。

此式表明：當對角線互相垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等。

此式可以求平面或空間的角度問題，包括線線角、線面角和二面角。需要說明的是，對角線向量定理和推論既適用于平面向量也適用于空間向量（圖5）。

（圖5）

如果說，數(shù)學抽象是從無到有產(chǎn)生數(shù)學；那么，邏輯推理就是從少到多發(fā)展數(shù)學，產(chǎn)生和發(fā)展的過程其實也是數(shù)學建模。如上微設(shè)計，“問題3”中得到的“等和線定理”和“問題4”中得到的“對角線向量定理”實際上體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想。以上的微設(shè)計案例，問題1讓學生在尋找代數(shù)式的幾何意義中發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)；問題2至問題4在拓展引申中發(fā)展學生邏輯推理，經(jīng)歷數(shù)學運算，建立數(shù)學模型，較好地促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

綜上，我們看到以深度學習理論為指導，以發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)為教學目標的課堂教學微設(shè)計正是基于問題的設(shè)計，在問題的驅(qū)動下，引導學生獨立思考，交流表達，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。更重要的是，在課堂教學微設(shè)計中，通過對問題的階梯式、促進式、層次性設(shè)計，讓學生在發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的同時，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。這才是數(shù)學學科教育落實“立德樹人”要求，體現(xiàn)學科育人的價值所在，數(shù)學教育工作者當以此為重任。