基于分段線性坐標優(yōu)化的退化壓縮感知水印檢測

陳 曉 鋒

(浙江大學寧波理工學院信息科學與工程學院 浙江 寧波 315000)

0 引 言

在無線移動信道(開放信道)上的多媒體數(shù)據(jù)傳輸面臨諸如版權(quán)保護和有限傳輸帶寬等安全問題。數(shù)字水印一般是隱含著著作權(quán)者的相關信息，用于版權(quán)歸屬設定，用戶對數(shù)據(jù)信息的處理需要首先對水印代碼進行處理。數(shù)字水印具有兩種屬性：永久嵌入屬性和易于讀取屬性，同時不能被人體視覺輕易感知到，并且嵌入的水印與原始信息之間不存在較為明顯的干擾。為了安全起見，嵌入水印不可被用戶輕易地刪除。雖然水印需要進行永久性標識，但相對而言不可對原始數(shù)據(jù)信息的訪問產(chǎn)生影響[1-2]。

當前的數(shù)字水印研究中已有很多成熟的算法。例如文獻[3]將圖像中常用的數(shù)字水印算法拓展到音視頻等多種格式數(shù)據(jù)文件中，采用的基本方式是利用擴頻方式進行數(shù)字水印的顯頻分量隱藏，問題是算法簡單的進行移植操作，其算法適應性相對較差。文獻[4]采用傅里葉算法對版權(quán)圖像的數(shù)字水印問題進行研究，將數(shù)字水印按照非遞增序列的形式進行嵌入，缺點是算法存在較大的失真問題，水印與原始圖像之間存在較大的干擾問題。文獻[5]采用圖像融合方式進行數(shù)字水印的嵌入，其可有效防止用戶的隨意復制，缺點是水印的嵌入分辨率較差。文獻[6]采用小波算法對數(shù)字水印問題進行研究，提出了具有可變換分辨率算法的數(shù)字水印檢測方法，缺點是算法的計算復雜度過高。文獻[7]設計了一種具有互補特性的數(shù)字水印檢測方法，算法的優(yōu)點是不需要對圖像的原始數(shù)據(jù)信息進行參照，缺點是算法的水印檢測精度偏低。文獻[8]基于離散余弦變變換對數(shù)字水印算法的頻域檢測方案進行設計，可實現(xiàn)對水印圖像的信息進行調(diào)制，對于水印的魯棒攻擊性具有較強的抵抗能力。

上述算法在進行數(shù)字水印算法進行設計過程中雖然針對某一方面進行了針對性的設計，但是其優(yōu)化解具有局限性，是一種局部極優(yōu)的數(shù)字水印檢測方法。本文針對數(shù)字水印檢測算法設計了一種最優(yōu)化計算模型，是一種多準則極值優(yōu)化問題。近些年，在多準則極值優(yōu)化問題研究中，已有很多成熟的計算方法，例如權(quán)值法、灰度值法、熵值法、均衡法等。這些方法對于多準則極值問題，具有一定的優(yōu)化效果，但是問題是算法的主觀性過強，特別是算法的收斂性在理論上缺乏足夠的收斂依據(jù)。對此，本文利用分段線性坐標優(yōu)化算法對多極值目標優(yōu)化問題進行研究，實現(xiàn)對數(shù)字水印檢測的最優(yōu)化實現(xiàn)。

從上述研究成果可知，以往的數(shù)字水印研究成果側(cè)重的是算法的實現(xiàn)，對于主機信號干擾HSI和衰減退化影響檢測器性能，考慮不是非常細致。為解決該問題，本文采用擴頻SS水印和壓縮感知CS進行算法融合，提出了一種優(yōu)化問題模型，以最小化失真(包括CS重建和水印檢測)作為優(yōu)化指標，采用檢測概率為特征的檢測可靠性約束，進行最優(yōu)測量次數(shù)(提供帶寬)和嵌入強度的優(yōu)化。

1 基于退化壓縮感知的擴頻水印檢測

在原始變換空間Ψ∈RN×N中，將長度為N的具有零均值和單位方差的獨立同分布(i.i.d)高斯模式P(∈RN)加到主機數(shù)據(jù)X∈RN×N中，如傅里葉、小波變換(這里使用)、離散余弦變換(DCT)等。SS水印可表示為：

(1)

圖1 CS-SS水印圖像傳輸和水印檢測的系統(tǒng)模型

在檢測器側(cè)接收的CS測量y可表示為：

(2)

式(2)中的水印檢測可以被建模為兩個假設過程，H0(水印缺失)和H1(水印存在)，如式(3)所示，均服從高斯分布。

(3)

式中:總干擾協(xié)方差矩陣是C可表示為：

C=E[yyH/H0]=E[(hφx+η)(hφx+η)H]=

(4)

式中:E(<φx,η>)=E(<η,φx>)=0；操作符〈p,q〉表示向量p和q的內(nèi)積?；讦咋誋=IM,總干擾協(xié)方差矩陣C可改寫為：

(5)

基于式(5)，在H0和H1情況下，y的概率密度函數(shù)(PDF)可表示為：

(6)

式中：det(·)表示矩陣的行列式。測試統(tǒng)計量t(y)可推導為：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:對于已知的信道條件(退化函數(shù))和給定的pfa,pd值取決于CS測量m的數(shù)目和水印強度α，即：

(12)

2 水印檢測可靠性優(yōu)化

由于CS和水印檢測過程所導致的失真現(xiàn)象，可表示為如下模型：

(13)

計算失真(e)的平均“L2”范數(shù)，具體計算過程如下：

(14)

(15)

(16)

理論上，具有檢測可靠性約束的優(yōu)化框架可以表述為：

(17)

(18)

(19)

式中:d2=z+α2+M2。將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，形式為：

(20)

當▽d2|M=0時，可得到d2的最小值，即d2的梯度。因此，可得：

(21)

求解三次方程并放棄虛根，得到最優(yōu)值M*的取值形式為：

M*= (b/2+((-a3/27+b/2)2-a6/729)1/2-

a3/27)1/3-a/3+a2/(9×(b/2+((b/2-

a3/27)2-a6/729)1/2-a3/27)1/3)

(22)

(23)

由此可得到目標函數(shù)(d2)的二階導數(shù)，計算形式如下：

(24)

式中:▽2d2|M是正的，這清楚地表明目標函數(shù)的值是最優(yōu)M*值的最小值。因此，在給定的pfa=ξ中，pd的最佳值可以通過在式(13)中代入α*和M*來獲得。

3 分段線性坐標優(yōu)化求解

3.1 算法描述

式(19)退化壓縮感知的擴頻水印檢測模型的求解，可采用坐標法進行優(yōu)化。一般來說，對于給定的水印檢測模型網(wǎng)格頂點，主頂點位置上的擴頻水印檢測模型的值是最大的，而位于網(wǎng)匯聚點位置上的點最小，算法計算過程為：

Step1算法參數(shù)進行初始操作，設定t=1、k=1、i=1。

Step2設定分段線性坐標優(yōu)化頂點νt=(i1,i2,i3),式中i1∪i2∪i3={1,2,3},參數(shù)i是分段線性坐標的圖標號。

Step3查找xs=i,xs-1=max{Ns/xs},xs-2=max{Ns/(xs,xs-1)},…,x4=max{Ns/(xs,…,x5)}。采取升序方式對{Ns/(xs,xs-1…,x4)}進行序列的排列，且有j1

Step4查找xs=i,xs-1=min{Ns/xs},xs-2=min{Ns/(xs,xs-1)},…,x4=min{Ns/(xs,…,x5)}。采取升序方式對{Ns/(xs,xs-1,…,x4)}進行序列的排列，且有j1

Step5對于構(gòu)建的坐標優(yōu)化網(wǎng)絡，對f(p1)和f(pst1)進行對比，可對算法下一步的搜索方向進行確定，對于設定參數(shù)y*，若滿足f(p1)-y*≤y*-f(p1)，按照從Sink節(jié)點到主頂點的逆向順序進行數(shù)字水印檢測模型的優(yōu)化，并執(zhí)行Step 6。若不滿足，則采取相反的方向進行算法目標函數(shù)的搜索優(yōu)化，并執(zhí)行Step 7。該算法過程的優(yōu)點是算法的執(zhí)行效率較高。

Step6采取降序方式對目標輸入xk排序，式中k∈Nk,jk>jk-1>…>j1。針對設定的序列jk?jk-1?…?j1進行坐標xk轉(zhuǎn)換，將產(chǎn)生k-1個坐標p2,p3,…,pk，得到算法的上層代碼，然后跳轉(zhuǎn)到Step 8。

Step7采取升序方式對xk排序，k∈Nk，jk>jk-1>…>j1。針對設定的序列jk?jk-1?…?j1進行坐標xk轉(zhuǎn)換，將產(chǎn)生k-1個坐標pst2,pst3,…,pstk，進而可得到算法的下層代碼。

Step8基于求解的坐標，形式如下：對于優(yōu)化目標f(pn)=f(pn-1)-Δn-1，根據(jù)函數(shù)取值進行排列，式中μ(λ)為碼pn-1中jλ位置，Δn-1=(jn-jn-1)(cn-cμ(n-1))。

Step9按照順序?qū)ο铝袟l件進行檢測：

(a) 若滿足水印檢測模型條件f(pm)≥y*，則跳轉(zhuǎn)Step 10，繼續(xù)目標算法優(yōu)化。

(b) 若滿足水印檢測模型條件f(pm)

(c) 若滿足水印檢測模型條件f(pm)

(d) 若滿足t+1≤6，則轉(zhuǎn)Step 2；否則，滿足該約束下對算法進行終結(jié)。

Step10假定k=k+1，若滿足k

Step11采取降序方式對xk排序，k∈Nk,jk>jk-1>…>j1。針對設定的序列jk?jk-1?…?j1進行坐標xk轉(zhuǎn)換，可產(chǎn)生k-1個坐標q2,q3,…,qk。

Step12基于坐標f(qn)=f(qn-1)-δn-1,δn-1=(jn-jn-1)(cn-cμ(n-1))，對函數(shù)排列值進行查找，μ(λ)是函數(shù)目標排列碼qn-1中jλ所處的位置區(qū)域。

Step13若滿足水印檢測模型條件f(qn)≤y*，則保留坐標頂點qn，跳轉(zhuǎn)Step 10。

3.2 改進坐標優(yōu)化算法

對于多準則極值優(yōu)化問題，對分段線性坐標優(yōu)化求解算法進行設計：

Step1對于目標模型輸入，設定其參數(shù)約束以及目標準則。

Step2生成水印檢測模型的組合元素。

Step3對于設定的約束k，基于改進坐標法對組合問題排列進行求解，可得到可行解集D*子集Di?X,i∈Nk。

Step4查找可行解D*=D1∩D2∩…∩Dk。

Step7對于點x∈D*位置進行函數(shù)f*值優(yōu)化求解。

Step8對選取優(yōu)化方向與Step 7所得數(shù)值進行對比，可得目標極值。

Step9對數(shù)字水印檢測模型的線性分式函數(shù)近求解。終結(jié)算法。

數(shù)字水印檢測模型的線性分式函數(shù)求解算法如圖2所示。

圖2 算法流程圖

4 實驗結(jié)果

實驗平臺：CPU i7-6500k 2.9 GHz，RAM 6 GB DDR4 2 400 MHz，系統(tǒng)為Win10旗艦，仿真軟件是MATLAB 2013b。選擇lena(萊娜)測試圖作為載體，Punjabi Logo作為水印,大小是M/3×N/3，圖像大小M×N=300×300。

4.1 水印檢測：求最佳參數(shù)設置

這里設定的最佳參數(shù)主要是M*和α。利用Daubechies 9/7小波對256×256，8位/像素萊娜圖像(圖3(a))進行小波變換，將其分解為3級。假定小波系數(shù)的分布遵循GSM模型。水印檢測在方差小于閾值(1 000)的小波系數(shù)集合中。圖3(b)和圖3(c)分別給出用于78%的CS測量的水印圖像(PSNR=44.86 dB)和重建水印圖像(PSNR=32.96 dB)。利用CS測量的最佳值(M*=3 204)，水印檢測強度(α*=1.5)，可獲得具有零均值和方差0.7(h～CN(0,0.7))的復正態(tài)分布的瑞利衰落的水印檢測強度，而具有零均值和方差0.25的加性高斯噪聲(η～N(0,0.25))。

(a) 原始圖像 (b) 水印圖像 (c) 重構(gòu)圖像圖3 實驗圖像

最佳參數(shù)M*和α的選取結(jié)果如圖4所示。

(a) 最優(yōu)CS測量中的歸一化平均誤差與水印檢測強度(M*=3 204)

(b) 歸一化平均誤差與CS測量在最佳水印檢測 強度上的比較(α*=1.5)圖4 測量結(jié)果對比

圖5 檢測概率對比

根據(jù)圖5結(jié)果可知，文獻[6]中的工作提出了一種魯棒的和分層的CS水印方案，其中水印的檢測可以在加密域或解密域中完成。本文算法相對于文獻[6]算法可實現(xiàn)顯著性能改進，約提升5.43%，因為本文采用的是最優(yōu)檢測器設計。

4.2 抵御攻擊測試

為了驗證所提出的算法對于數(shù)字水印檢測過程中高頻分量影響的魯棒性，利用噪聲點對數(shù)字水印的嵌入過程進行模擬攻擊測試。選取的模擬攻擊噪聲主要有4種類型，分別是：斑點、椒鹽、壓縮和濾波等。其中：斑點噪聲的參數(shù)設置是mean=0,var=0.4；椒鹽噪聲的參數(shù)設置是var=0.4；壓縮攻擊過程的參數(shù)設置是Q=20；濾波攻擊過程的參數(shù)設置是[50，50]。對比算法選取FrWT和FrDCT兩種算法，分別見參考文獻[14-15]。實驗結(jié)果如圖6所示。

(a) 斑點攻擊

(b) 椒鹽攻擊

(c) 壓縮攻擊

(d) 濾波攻擊圖6 水印檢測算法性能對比

根據(jù)圖6的實驗結(jié)果可知，當采用lena圖像作為水印圖像時，圖6(a)、(b)以及(d)所示的椒鹽攻擊、斑點攻擊、濾波攻擊中，其類似于真實環(huán)境下的人造邊緣攻擊，是一種高頻的攻擊形式。實驗結(jié)果顯示，本文算法相對于文獻[14-15]可得到更加清晰的數(shù)字水印圖像，而文獻[14-15]兩種算法檢測到水印圖像存在非常明顯的高頻干擾，水印圖像不夠清晰，甚至無法進行準確的識別。在壓縮攻擊算法中，本文算法可以提取到清晰的水印，而FrWT算法提取的水印雖可識別，但是存在一定的模糊性，效果相對較差，F(xiàn)rDCT提取到的水印難以識別。

圖6實驗對比結(jié)果通過視覺方式對算法的水印檢測性能進行了驗證和對比，是一種定性分析結(jié)果。下面從定量角度對算法的水印檢測性能進行實驗驗證和對比，結(jié)果如表1所示。

表1 水印檢測性能量化對比

根據(jù)表1實驗結(jié)果可知，對于選取的集中攻擊類型，本文算法對于水印檢測的效果均要優(yōu)于選取的文獻[14-15]兩種對比算法。根據(jù)以上實驗結(jié)果，本文所提算法在水印圖像檢測過程中相對于選取的文獻[14-15]兩種對比算法具有更高的抗攻擊能力和魯棒性。

5 結(jié) 語

本文提出一種基于搜索優(yōu)化改進坐標法的退化壓縮感知水印檢測算法，以最小化失真作為優(yōu)化指標，采用檢測概率為特征的檢測可靠性約束，進行最優(yōu)測量次數(shù)(提供帶寬)和嵌入強度的優(yōu)化。采用圖論處理方式進行坐標搜索算法的優(yōu)化過程改進，獲得一組能夠符合約束限制的解集，實現(xiàn)對水印檢測算法性能的提升。存在的問題：1) 本文算法側(cè)重于過程的實現(xiàn)和實驗的驗證，在理論分析方面稍顯不足；2) 算法在實驗室條件下得到了很好的驗證，對于真實應用場景的效果，有待于進一步驗證。這兩方面是今后研究的重點。