量子點(diǎn)輸運(yùn)系統(tǒng)中電子的等待時間分布

王敏,張超,聶一行

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

量子輸運(yùn)涉及納米級導(dǎo)體中平均電流和散粒噪聲的測量,在傳統(tǒng)的研究中,電荷漲落往往是在一個長的時間周期內(nèi)被研究,從平均電流中無法獲得電子的短時行為。隨著量子電子學(xué)的迅速發(fā)展[1-4],探測單電子在納米結(jié)構(gòu)中的相干轉(zhuǎn)移成為人們關(guān)注的重點(diǎn)。于是,除了平均電流和散粒噪聲外,高階關(guān)聯(lián)函數(shù)倍受關(guān)注[5-6]。理論上,利用電荷輸運(yùn)的全計數(shù)統(tǒng)計(FCS),人們可以計算電荷轉(zhuǎn)移的高階累積矩[7-8],而且,在介觀結(jié)構(gòu)中電荷轉(zhuǎn)移的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)已經(jīng)在計數(shù)實(shí)驗中被測量[9-12]。一般的輸運(yùn)電荷分布是在比連續(xù)轉(zhuǎn)移兩個電荷之間的時間間隔長得多的時間尺度上考慮的,丟失了許多短時物理信息。在量子輸運(yùn)過程中,電子實(shí)際上經(jīng)歷的是一種量子相干過程, 類比量子光學(xué)領(lǐng)域中光子等待時間分布定義,提出了電荷轉(zhuǎn)移的等待時間分布概念[13-19]來描述介觀結(jié)構(gòu)中的短時物理性質(zhì)。隨著高頻單電子發(fā)射和檢測技術(shù)的迅速發(fā)展[20-21],等待時間分布成為刻畫量子電子線路中單電子過程的有用概念[22]。Brandes提出采用馬爾科夫主方程[23]方法來計算電子輸運(yùn)的等待時間分布,后來擴(kuò)展到非馬爾科夫機(jī)制[14,24-25],這些方法中可以考慮電子的相互作用,但與導(dǎo)線的耦合需要微擾處理。對于相干系統(tǒng)中的非相互作用電子,文獻(xiàn)[26]提出用散射理論計算等待時間分布的量子理論,最近這種方法又被推廣用于緊束縛模型[16]。本文考慮了量子點(diǎn)連接到左右導(dǎo)線的系統(tǒng),導(dǎo)線用緊束縛鏈描述,基于散射理論和緊束縛模型我們研究了電子的等待時間分布,從而正確理解散射體的量子特征。

1 理論模型及哈密頓量

考慮一個單能級量子點(diǎn)連接到左右導(dǎo)線上,導(dǎo)線用緊束縛鏈描述,如圖1所示。無相互作用的電子可以從左導(dǎo)線通過中間的量子點(diǎn)散射轉(zhuǎn)移到右導(dǎo)線。對于研究電子的計數(shù)統(tǒng)計而言,可以不考慮電子的自旋,于是這個緊束縛模型的哈密頓量可以表示為

H=Hleads+Hdot+Htun,

(1)

其中Hleads表示導(dǎo)線的哈密頓量,

(2)

Fig.1 Schematic diagram of tight-binding model consisting of a quantum dot attached left and right leads圖1 量子點(diǎn)連接到左右導(dǎo)線的緊束縛模型示意圖

這里t為最近鄰格點(diǎn)間的躍遷強(qiáng)度,Mα為α導(dǎo)線的格點(diǎn)數(shù)(α=L,R).量子點(diǎn)的哈密頓量Hdot可以表示為

Hdot=εd|D〉〈D|,

(3)

這里|D〉代表量子點(diǎn)中能量為εd的態(tài)。Htun表示量子點(diǎn)與左右導(dǎo)線之間的隧穿耦合項,它的形式為

Htun=-tL|ML,L〉〈D|-tR|1,R〉〈D|+H.c.,

(4)

這里tL表示左導(dǎo)線最右側(cè)格點(diǎn)與量子點(diǎn)間的隧穿幅,tR表示量子點(diǎn)與右導(dǎo)線最左側(cè)格點(diǎn)間的隧穿幅。系統(tǒng)的本征態(tài)由薛定諤方程H|φk〉=εk|φk〉決定,借助于格點(diǎn)緊束縛基{|l,α〉},系統(tǒng)的本征態(tài)|φk〉可以展開為如下形式:

(5)

由(5)式可以得到

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

把(9)和(10)式代入(6)、(7)、(8)式得到

(11)

由聯(lián)立方程組(11)可以得到透射幅

(12)

2 等待時間分布計算

偏壓V只加到左導(dǎo)線上,形成一個電子入射的能量窗口[0,eV](左右導(dǎo)線化學(xué)勢都為零),電子通過此能量窗口可以從左導(dǎo)線入射通過量子點(diǎn)散射到右導(dǎo)線。一個電子通過右導(dǎo)線的某個確定位置后,到檢測到下一個電子通過該位置時所經(jīng)歷的時間τ稱為電子的等待時間?；诰o束縛模型和散射理論計算電子的等待時間需要引入散射態(tài)[16-17]:

(13)

(14)

?…?ψN(t)],

(15)

這里Pn是置換算符。

在右導(dǎo)線中測量一個電子可以借助于單粒子投影算符來實(shí)現(xiàn),電子在一個單粒子態(tài)的期望值就是檢測到電子的概率。位于右導(dǎo)線x0處的電子探測器,在時間[t0,t0+τ]內(nèi),或者等效地在空間范圍[x0,x0+vFτ]檢測到電子的概率,可以用投影算符Qτ在單粒子態(tài)中的期望值來計算。于是算符1-Qτ在一個單粒子態(tài)中的期望值表示沒有發(fā)現(xiàn)電子的概率。投影算符表示為如下形式

(16)

在時間間隔[t0,t0+τ]沒有檢測到電子的概率,稱為空閑時間概率,用Π(t0,τ)表示,

Π(t0,τ)=Π(τ),

(17)

在穩(wěn)態(tài)過程中與給定時刻t0無關(guān)。

(18)

這個期望值可以簡化為單粒子算符在單粒子態(tài)中的矩陣的行列式[16]

Π(τ)=det(1-Qτ),

(19)

其中Qτ是算符Qτ在單粒子態(tài)中的矩陣,矩陣元為[16,18-21]

(20)

其中

當(dāng)N很大時,κ→0,計算(20)式中的積分時,把k和k′用上限代替即可,即

(21)

其中tκn=tk→κn。借助空閑時間概率Π(τ),等待時間概率分布可定義為ω(τ),表示為[16]

(22)

(23)

3 數(shù)值結(jié)果與討論

3.1 偏壓對等待時間分布的影響

(24)

(a)εd=0;(b)εd=0.4t;(c)εd=0.6 t;(d)εd=0.8 tFig.2 Waiting time distribution of single-channel quantum system under different bias Voltage.圖2 單通道量子系統(tǒng)不同偏壓下的等待時間分布

3.2 通道數(shù)對等待時間分布的影響

現(xiàn)在考慮具有兩個相同且相互獨(dú)立的輸運(yùn)通道,比如考慮電子自旋時,自旋向上和自旋向下的電子輸運(yùn)就是一種雙通道輸運(yùn)。在兩個獨(dú)立通道情形下,左右導(dǎo)線仍保持為零溫。

(25)

Fig.3 Waiting time distribution of single quantum dot system under different bias conditions in two-channel case圖3 雙通道條件下，單量子點(diǎn)系統(tǒng)的等待時間分布

對于具有兩個相同且獨(dú)立的雙通道情形,在散射體右側(cè)某個固定位置處可以同時檢測到兩個電子。對于自旋簡并雙通道,這并不違背泡利不相容原理。在數(shù)值計算中,取e=1,?=1,N=50,并且假定最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷強(qiáng)度為能量單位,即tL=tR=t=4 meV,vF=2t。圖3給出偏壓V=2t,單量子點(diǎn)能級分別取εd=0,-0.4t,-0.8t時的等待時間分布。顯然獨(dú)立通道的增加消除了短時等待時間分布的抑制效應(yīng),即τ=0附近的等待時間分布不再為零。從圖中還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)量子點(diǎn)能級偏離費(fèi)米能級時,短時等待時間分布函數(shù)整體上會被壓低,而長時等待時間增加。實(shí)際上,當(dāng)量子點(diǎn)能級偏離費(fèi)米能級時,電子從左電極通過量子點(diǎn)能級散射到右電極是一種高階過程,由不確定關(guān)系ΔtΔE≥?/2,在短時間內(nèi)電子能量漲落可以很高。因此,即使量子點(diǎn)能級偏離費(fèi)米能級,電子也有可能被散射到右電極,只是比直接隧穿散射的概率要小得多。

3.3 溫度對等待時間分布的影響

(26)

(27)

根據(jù)以上公式可以計算溫度條件下的等待時間分布。圖4(a)-(d)給出了單通道情況下,量子點(diǎn)能級分別為εd=0,0.3t,0.6t,0.9t時,幾種不同溫度下的等待時間分布。整體上看,隨著溫度降低(βmeV增加),等待時間分布的極大值向長時間方向移動,而且最大分布概率略有降低,但溫度的影響主要是在最大分布概率附近,對長時概率分布影響較小。

(a)εd=0; (b) εd=0.3t; (c) εd=0.6t; (d)εd=0.9tFig.4 Waiting time distribution curves of single channel quantum systems at different temperatures圖4 單通道量子系統(tǒng)在不同溫度下等待時間分布曲線

此外,量子點(diǎn)能級離費(fèi)米面越遠(yuǎn),不僅等待時間分布變得更加平緩,長時等待概率增加,而且對最大分布概率的影響變大。最大分布概率隨著溫度的降低而降低,并在量子點(diǎn)能級遠(yuǎn)離費(fèi)米面的情況下更為明顯。這些等待時間分布的變化特性起源于電子服從泡利不相容原理和電子的不確定關(guān)系。

4 結(jié)論

本文分析了偏壓、通道數(shù)以及溫度對等待時間分布的影響。當(dāng)量子點(diǎn)能級與電極費(fèi)米面對齊,等待時間分布的峰值最高,且不依賴于偏壓。當(dāng)量子點(diǎn)能級偏離了費(fèi)米面時,分布函數(shù)依賴于偏壓。隨著偏壓增加,分布函數(shù)的峰值會增加,等待時間概率向短時方向移動。對于雙通道量子點(diǎn)系統(tǒng),零等待時間時等待時間分布不為零,而且隨著量子點(diǎn)能級偏離費(fèi)米面,零等待時間時等待時間分布概率降低。電極溫度通過費(fèi)米分布函數(shù)也會對等待時間分布產(chǎn)生影響,溫度降低等待時間分布的極大值向長時間方向移動,且最大分布概率隨著溫度的降低而降低,并在量子點(diǎn)能級遠(yuǎn)離費(fèi)米面的情況下更為明顯。等待時間分布對于正確理解散射體的量子特征有很重要的意義。