例談三角恒等變換的基本原則

■河南省商丘市第一高級中學(xué) 翟永恒

三角變換是高考重點考查的一個知識點,在三角求值等問題中有廣泛應(yīng)用。三角公式眾多,方法靈活多變,不少同學(xué)在解決此類問題時往往不知如何下手。其實對于三角恒等變換只需遵循一些基本原則,然后耐心、細(xì)致地變形即可成功解決問題,下面介紹一些經(jīng)典的變形原則。

一、變“名”

三角變換的主要目的在于“消除差異,化異為同”,而題目中經(jīng)常出現(xiàn)不同名的三角函數(shù),這就需要變“名”,即化異名函數(shù)為同名函數(shù)。

分析：解答本題的關(guān)鍵是實施變“名”,即將sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ化成只含有tanθ的式子,從而快速解答。

解：由已知可得tanθ=2。

二、變“角”

在三角化簡、求值時往往會出現(xiàn)較多的角,為了便于敘述,我們約定條件中涉及的角為α,待求結(jié)論中的角為β。一般地,我們只需要從α,β的和、差、倍數(shù)這三個方面來觀察即可解決角度變形問題。

1.觀察和與差。

2.觀察倍數(shù)關(guān)系。

若已知角與待求角間不滿足上述角度關(guān)系時,則應(yīng)當(dāng)注意觀察是否存在著倍數(shù)關(guān)系。

三、變“值”

在三角函數(shù)運算、求值、證明中,有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,從而順利使用公式進(jìn)行求解。

例6 求函數(shù)y=sinx+3cosx+1的周期及最大值。

分析：要求y=sinx+3cosx+1的周期及最大值,一定要先將三角函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)的形式才能夠做出判斷,因此將常數(shù)寫為適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)值,逆用兩角和的正弦公式即可。

評注：逆用兩角和的正弦公式化簡式子,從而可輕松解答此題。

四、變“次數(shù)”

分析題目的結(jié)構(gòu),掌握題目結(jié)構(gòu)上的特點,通過降次升冪等手段,為使用公式創(chuàng)造條件,也是三角變換中的一種重要策略,常見的降次與升冪公式主要有2sin2αcos2α等。

分析：這道題的分子與分母部分的次數(shù)分別是4次與6次,次數(shù)較高,不容易下手解答,應(yīng)當(dāng)考慮降低式子的次數(shù)。

解：因為原式的分子可化為1-(cos2α+sin2α)2+2sin2αcos2α=2sin2αcos2α,原 式 的分母 可 化 為 1-(cos2α+sin2α)(cos4αsin2αcos2α+sin4α)=1-(1-3sin2αcos2α)=3sin2αcos2α,所以原式

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,我們要注意總結(jié)一些常用的解題策略,它們是我們解題的“指南針”,使我們能較為輕松順利地解決問題。