一道中考壓軸題的多變思考與教學(xué)建議
——以“2013年湖南長沙中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題”為例

陳惠增

（福清市高山育才中學(xué)，福建 福州 350300）

中考壓軸題是難度較大的綜合題,重在考查學(xué)生分析問題和解決問題的綜合能力，歷年各省市的中考壓軸題不但體現(xiàn)命題專家的智慧，而且通過試題為載體更能體現(xiàn)命題者對課標(biāo)與教材的理解，作為一線的教師應(yīng)該對試題深入剖析與思考，提出解決此類題目的教學(xué)建議，提升學(xué)生解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”（即分析問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題）。下面是筆者對“2013年湖南長沙中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題”的多變思考，并談一些教學(xué)建議，供同仁們參考。

一、原題的多變思考

1.原題的分析思考

“2013年湖南長沙中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題”（以下簡稱“原題”）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動點(diǎn)P（a，b）在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P（a，b）運(yùn)動時，矩形PMON的面積為定值2．

（1）求∠OAB的度數(shù)

（2）求證：△AOF∽△BEO

（3）（略）

【略解】（1）因?yàn)橹本€ y=-x+2，所以 A（2，0），B（0，2），則 OA=OB=2．因此∠OAB=45°；

（2）因?yàn)樗倪呅蜲MPN是矩形，

圖1

則△AOF∽△BEO；

【評析】（1）當(dāng)x=0或y=0時分別可以求出y的值和x的值就可以求出OA與OB的值，從而就可以得出結(jié)論；對于直線y=kx+b與x軸、y軸的夾角問題與k的關(guān)系，特別指出當(dāng)k=±1時，求直線y=kx+b與+x軸、y軸與夾角的度數(shù)。

2.原題的多問思考

多問1：求∠EOF的度數(shù)。

【略解】△AOF∽△BEO，則∠AOF=∠BEO，而∠AOF=∠EOF+∠AOE，∠BEO=∠OAB+∠AOE，所以 ∠EOF=∠OAB=45°。

【聯(lián)想】北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊P90的第4題（以下簡稱“聯(lián)想題”）：如圖2，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子（圖中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)），請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并說明它們相似的理由。

【評析】通過這兩道題目的類比，可發(fā)現(xiàn)兩題的圖形結(jié)構(gòu)特征相似，都能求證出△AOF∽△BEO，但證明三角形相似的方法不同，此道聯(lián)想題是通過“兩角分別相等”的方法證明三角形相似。

多問2：如圖3，已經(jīng)求得∠EOF=45°。求證：AE2+BF2=EF2。

圖2

圖3

【略解】證法1：（旋轉(zhuǎn)法）

如圖4，把△OFB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)F與F′對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，可證明△OF′E≌△OFE，在Rt△AEF′中，AE2+AF′2=EF′2，即 AE2+BF2=EF2成立。

圖4

圖5

證法2：（折疊法）

如圖5，把△OBF沿線段O F折疊，B點(diǎn)與B′對應(yīng)，可證△OB′E≌△OAE，

在 Rt△EB′F 中，EB′2+FB′2=EF2，即 AE2+BF2=EF2成立。

證法3：（代數(shù)法）

由△AOF∽△BEO得OA·OB=AF·BE，

即OA2=AF·BE，所以AB2=2A F·BE，

因?yàn)?AB2=（AE+EF+BF）2=AE2+EF2+BF2+2AE·EF+2AF·BF+2EF·BF，2AF·BE=2（AE+EF）（BF+EF）=2AE·BF+2AE·EF+2EF·BF+2EF2。

即AE2+BF2=EF2成立。

證法4：（坐標(biāo)法）

如圖6，由P（a，b）及直線y=－x+2，可得A（2，0），E（a,2-a ）,F（2-b,b）,B(2,0),

由勾股定理可得：

EF2=PF2+PE2；即 EF2=2（a+b-2）2=2a2+2b2+4a b-4a-4b+8

BF2=BN2+NF2，即 BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8

AE2=AM2+EM2，即AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8

又ab=2，所以AE2+BF2=EF2成立。

圖6

【評析】這三種證法中，前兩種主要以幾何思路為主，如何把在同一條線上的三條線段轉(zhuǎn)化構(gòu)造一個直角三角形而得證；第三種代數(shù)解法是從式子的左右兩邊出發(fā)，以代數(shù)計算為主證明等式兩邊相等；第四種以點(diǎn)坐標(biāo)呈現(xiàn)，也轉(zhuǎn)化成線段長，用勾股定理構(gòu)造等式，通過計算得證，也應(yīng)該是代數(shù)計算為主的證法。

3.原題與聯(lián)想題的類比思考

對于“原題”多問得到：AE2+BF2=EF2；而對于“聯(lián)想題”可繼續(xù)進(jìn)行變式。

追問1：如圖7，分別過點(diǎn)E、F作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點(diǎn)M、N，PM與PN相交于點(diǎn)P，設(shè)OA=OB=2，等腰直角三角形OHG擺動過程中（點(diǎn)E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積是否發(fā)生變化，若不變請求出矩形PMON的面積。

【略析】此題又回到“原題”，因此等腰直角三角形OHG擺動過程中（點(diǎn)E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積不會發(fā)生變化，S=ON·OM矩形PMON

追問2：如圖7，分別過點(diǎn)E、F作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點(diǎn)M、N，PM與PN相交于點(diǎn)P，等腰直角三角形OHG擺動過程中（點(diǎn)E、F都在斜邊AB上），矩形PMON的面積不變，設(shè)OA=OB=2，矩形PMON的邊長ON為y，邊長OM為x，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式。

【評析】從上面原題與聯(lián)想題的類比思考，可得到只要對題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹皬埞诶畲鳌睍胁灰粯拥男Ч虼私忸}教學(xué)要教會學(xué)生進(jìn)行對比的“張冠李戴”。

圖7

圖8

4.原題的拓展思考

對原題適當(dāng)?shù)母淖儯喝鐖D8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動點(diǎn) P（a，b）在函數(shù)x>0)的圖象上運(yùn)動，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F。（1）求證：△AOF∽△BEO；（2）求∠EOF的度數(shù)。

拓展1：圖形變化，如圖8、如圖9，其他條件都不變，（1）求證：△AOF∽△BEO；

（2）求∠EOF的度數(shù)。

圖9

圖10

圖11

【評析】圖9、圖10都能用上面相同的方法求證△AOF∽△BEO，也能求得∠EOF=45°。雖然圖1、與圖2的證明方法與所求的結(jié)果都與原圖的一樣，但圖形畢竟不同，教學(xué)中一定要讓學(xué)生多見不同的圖形，這樣不但見多識廣，而且能進(jìn)一步固化解題方法。

拓展2：如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+b與 x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)0且k>0)的 圖 象上運(yùn)動，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F。若△AOF∽△BEO，求b與k的關(guān)系式。

【評析】△AOF∽△BEO，則 ，

即OA·OB=AF·BE。

從上述求的一般性的結(jié)論“b2=2k”，可回頭進(jìn)行特殊性的驗(yàn)證，如當(dāng)“b=2，k=2”時，則回到原題，當(dāng)然還可進(jìn)行其他特殊性的推廣，如當(dāng)“b=3”時，要滿足其他所有條件下，若要△AOF∽△BEO，則因此從原題到拓展2的是特殊到一般的思考，這種思考性的變化，在解題中進(jìn)行嘗試，會提升學(xué)生提出問題與發(fā)現(xiàn)問題的能力；而拓展2與原題的解題過程又是可逆的過程，常進(jìn)行這方面的訓(xùn)練會培養(yǎng)學(xué)生的全面思維能力。

二、析題解題的教學(xué)建議

對于中考壓軸題與其他課本大題解題析題的要求不一樣，畢竟中考壓軸題的綜合性較強(qiáng)，因此對于中考壓軸題的析題解題的教學(xué)到位，更會提升學(xué)生的“四能”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得“四基”（即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)），促使學(xué)生主動地、富有個性地學(xué)習(xí)，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力。

為了提高中考復(fù)習(xí)的效果，更為了提升學(xué)生的“四能”，對于中考壓軸題的解題教學(xué)應(yīng)該遵循“五步”的基本套路。

1.理解題目。理解題目可分為“熟悉題目”和“深入理解題目”兩個階段。首先，必須理解該題目的語言陳述，弄清這些題目的“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”之后再深入理解題目，理解這些未知量與已知量之間的關(guān)系，從各個方面來考慮題目的主要部分。

2.擬訂方案。從理解題目到構(gòu)思一個解題的方案也許是漫長而曲折的過程，解答一個題目的主要成就在于構(gòu)思一個解題方案的思路，而這思路可能是逐漸形成的，教師能為學(xué)生所做的是引導(dǎo)學(xué)生獲得一個好的思路，為此必須能夠了解學(xué)生的狀況，教師應(yīng)該認(rèn)真回顧自己在解答此題目時遇到的各種困難和取得的各種成功。好的思路還來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識。如求證“原題”的第2問題△AOF∽△BEO時，結(jié)合圖形聯(lián)想到“聯(lián)想題”的圖形，通過這兩道題目條件與圖形的類比，多次嘗試修改，從而擬定解決此題的方案。

3.執(zhí)行方案。解題方案給出了一個總體框架，必須確認(rèn)細(xì)節(jié)都符合這個框架，可以用“直覺的”或“形式的”證明確認(rèn)每一步推理的正確性。如證明上述“原題”中△AOF∽△BEO時，從計算方法證BE·AF=OA·OB，再通過“兩邊成比例且夾角相等”證△AOF∽△BEO相似，這其中的每一步都得“言之有據(jù)”。

4.回顧思考。從執(zhí)行方案得到解答，檢查每一個步驟，盡管如此，錯誤總是有可能存在的，因此需要進(jìn)行驗(yàn)證，而驗(yàn)證可以不同的方式進(jìn)行。通過回顧思考讓學(xué)生明白，數(shù)學(xué)題之間是相互聯(lián)系的，并讓學(xué)生意識到回顧思考是很有收獲的。

5.反思總結(jié)。對于中考壓軸題的解題教學(xué)，更應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)，應(yīng)該從知識、方法、拓展三個方面進(jìn)行總結(jié)。如以“原題”為例：（1）本題涉及知識。一次函數(shù)、矩形、平行線性質(zhì)、勾股定理等；（2）本題涉及的方法。分析法與綜合法、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合；（3）本題拓展。從上述拓展可進(jìn)行縱向的多問拓展，還可進(jìn)行橫向的類比拓展。

對“原題”的再分析與思考，不但培養(yǎng)學(xué)生“四能”，即分析問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還能對中考壓軸題的解題教學(xué)提供一些教學(xué)建議。