繩索式3D打印機(jī)驅(qū)動(dòng)裝置的設(shè)計(jì)與分析

王樹(shù)國(guó)，楊一通，嚴(yán)衛(wèi)慶，張駿杰，趙 輝

（東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150040）

0 引言

3D打印是一種增材制造技術(shù)，屬于快速成型技術(shù)，根據(jù)零部件或者物體的三維模型數(shù)據(jù)，利用3D打印設(shè)備以材料堆積的方式制造實(shí)體的技術(shù)。隨著該技術(shù)的不斷創(chuàng)新發(fā)展，配套設(shè)備的不斷升級(jí)更新，3D打印技術(shù)逐漸的被用于日常生活中。世界上第一臺(tái)售價(jià)100美元的3D打印機(jī)在加拿大薩斯喀徹溫省問(wèn)世。2014年8月21日，蘇州盈創(chuàng)建筑材料公司使用1臺(tái)大型1的3D打印機(jī)，利用1 d時(shí)間建造了10棟200 m2的毛坯房；這臺(tái)3D打印機(jī)長(zhǎng)150 m，寬10 m，深6 m，打印出房屋的結(jié)構(gòu)組件，再運(yùn)到現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行房屋的組裝搭建[1-2]。

隨著3D打印技術(shù)產(chǎn)業(yè)的不斷發(fā)展，打印設(shè)備的大型化、輕型化，將是未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)之一[3]。為了實(shí)現(xiàn)3D打印設(shè)備的大型化、輕型化，設(shè)計(jì)了一種利用繩索作為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)裝置。

1 繩索驅(qū)動(dòng)裝置描述

所設(shè)計(jì)的驅(qū)動(dòng)裝置主要結(jié)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3根立柱—電機(jī)—繩索組成：繩索的一端與立柱底部的電機(jī)相連，通過(guò)立柱頂端的萬(wàn)向輪，從頂端繞出與動(dòng)平臺(tái)相連（圖1、圖 2）。

裝置的工作流程：①步進(jìn)電機(jī)旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)繩索；②繩索運(yùn)動(dòng)牽制工作平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)；③通過(guò)控制電機(jī)轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)使工作平臺(tái)按指定軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

圖1 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖2 實(shí)物

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析

驅(qū)動(dòng)裝置動(dòng)平臺(tái)的空間運(yùn)動(dòng)是通過(guò)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)控制的，對(duì)于動(dòng)平臺(tái)在空間中到達(dá)的任意位姿，3個(gè)電機(jī)均有特定的角位移與之對(duì)應(yīng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)反解就是當(dāng)工作平臺(tái)的位姿給定時(shí)，可以根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，求解各個(gè)電機(jī)旋轉(zhuǎn)所收放繩索的長(zhǎng)度、速度和加速度[4]。

建立坐標(biāo)系，以定平臺(tái)上表面幾何中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O—XYZ，以動(dòng)平臺(tái)上表面幾何中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O'—X'Y'Z'（圖3）。其中，Ci（i=1,2,3）為三立柱頂端的位置，用向量表示為（1）式。

其中，?i為 OCi與坐標(biāo)系O—XYZ中X軸正方向之間的夾角i=1,2,3；R為三角形定平臺(tái)的外接圓半徑；h為立柱頂端到平面坐標(biāo)系O—XY的垂直距離。

坐標(biāo)系 O'—X'Y'Z'中，繩索與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)Bi，用向量可以表示為（2）式。

其中，αi為 OBi與坐標(biāo)系O'—X'Y'Z'中 X'正方向的夾角，i=1,2,3；r為三角形動(dòng)平臺(tái)外接圓的半徑。

設(shè)[XYZ]T為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O'在坐標(biāo)系O-XYZ下的位置向量，在坐標(biāo)系O-XYZ中點(diǎn)Bi用向量可表示為（3）式。

圖3 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)分布

由此可得到向量CiBi的模li滿(mǎn)足CiBi2=li2。將CiBi帶入，得到式（5）。[X+（r-R）cos?i]2+[Y+（r-R）sin?i]2+（Z-h）2=li2。即

將繩索從電機(jī)連接到工作平臺(tái)的總長(zhǎng)度設(shè)計(jì)為固定值L，電機(jī)軸上纏繞的繩索長(zhǎng)度為Δli則L=li+h+Δli，即Δli=L-li-h。將li帶入，即可得到電機(jī)軸上纏繞繩索的長(zhǎng)度即電機(jī)軸外表面上一點(diǎn)的線(xiàn)位移為：Δli=L -h -。至此，只需給出某時(shí)刻動(dòng)平臺(tái)幾何中心的坐標(biāo)，由Δli的計(jì)算公式即可求得電機(jī)軸上繩索的纏繞量即繩索收放的改變量[5，6]。在后續(xù)的Adams仿真實(shí)驗(yàn)中，將對(duì)推出的逆解進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真的結(jié)果將對(duì)系統(tǒng)的可控性、平穩(wěn)性提供分析依據(jù)[7]。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是指，已知驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電機(jī)軸外表面上某點(diǎn)線(xiàn)位移，求解平臺(tái)末端的位置坐標(biāo)[8]?，F(xiàn)采用幾何解析法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解[9]?？蓪?xiě)成式（6）形式：

其中，ai=（r-R）cos?i，bi=（r-R）sin?i；i=（1,2,3）。整理得到式（7）。

其中，di=li2-ai2-bi2-h2，將L=li+h+Δli帶入得di=（L-h-Δli）2-ai2-bi2-h2，i=（1,2,3）。整理得式（8）。

因?yàn)楣ぷ髌脚_(tái)一直位于O-XY坐標(biāo)平面的上方，所以Z≥0。即

綜上所述，該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解為式（3）和式（11）。

2.3 機(jī)械結(jié)構(gòu)雅克比矩陣的推導(dǎo)和速度分析

該驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)輸入運(yùn)動(dòng)是由3個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的三維運(yùn)動(dòng)。構(gòu)建該驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣可以對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，即對(duì)輸入運(yùn)動(dòng)和輸出運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系進(jìn)行分析[10]。

對(duì)式（5）進(jìn)行整理得到式（12）。

其中，vx，vy，vz表示動(dòng)平臺(tái)幾何中心在坐標(biāo)系O-XYZ中X，Y，Z3個(gè)方向的速度大小，v1，v2，v3表示繩子收放速度即電機(jī)軸外徑的線(xiàn)速度。

對(duì)式（13）進(jìn)行整理得（14）：

將式（13）整理成矩陣得：

J=B-1A，則矩陣式（15）的矩陣可寫(xiě)成q˙=JQ˙。其中，Q˙為動(dòng)平臺(tái)的速度向量；q˙為繩索速度的向量。所以該驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為（16）：

q˙=JQ˙反映了該機(jī)構(gòu)的輸入速度與輸出速度之間的映射關(guān)系，J稱(chēng)為該機(jī)構(gòu)的雅可比（Jacobian）矩陣，A，B分別稱(chēng)為正、逆雅可比矩陣。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)中如果矩陣A，B其中之一或同時(shí)為0時(shí)，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異點(diǎn)。通過(guò)對(duì)該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣的計(jì)算分析，得出機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)不存在奇異點(diǎn)[11]。這一結(jié)論將在仿真分析中進(jìn)行驗(yàn)證。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 3D模型的建立與仿真

由于該機(jī)構(gòu)有些復(fù)雜，所以先利用solidworks對(duì)該驅(qū)動(dòng)裝置進(jìn)行3D建模。建模完成后再導(dǎo)入到Adams中[12，13]（圖4）。這里將繩索與滑塊相連，用滑塊的位移代替電機(jī)旋轉(zhuǎn)的角位移與其電機(jī)軸半徑相乘所得的線(xiàn)位移。

圖4 機(jī)構(gòu)3D模型

將建好的3D模型導(dǎo)入到Adams中后，需要添加運(yùn)動(dòng)副和驅(qū)動(dòng)在構(gòu)件上。運(yùn)動(dòng)副和驅(qū)動(dòng)添加完成后，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。仿真步數(shù)為5000步；仿真時(shí)間為5 s；將Mark點(diǎn)設(shè)置在動(dòng)平臺(tái)的中心，動(dòng)平臺(tái)的一些相關(guān)參數(shù)可通過(guò)測(cè)量Mark點(diǎn)的位置、速度得到。

根據(jù)3D打印的工作原理，選取一個(gè)平行于O-XY平面的水平面，即給定空間坐標(biāo)值Z，在O-XY的平面內(nèi)讓動(dòng)平臺(tái)按照?qǐng)A形軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。圓形的參數(shù)方程在這里設(shè)為：

其中，t表示時(shí)間。將式 （17） 帶入到 Δli=L-h-。即該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解中，可求得滑塊的運(yùn)動(dòng)方程，即滑塊的位移函數(shù)：

將式（17）變換成Adams認(rèn)可的形式代入，即可得到驅(qū)動(dòng)3個(gè)滑塊運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)[14]。

3.2 仿真結(jié)果分析

在相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)上添加變換后的驅(qū)動(dòng)函數(shù)，添加完成后進(jìn)行仿真。仿真結(jié)束后動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)即Mark點(diǎn)在X軸、Y軸、Z軸的位移以及3個(gè)滑塊位移的曲線(xiàn)如圖5、圖6所示。

從動(dòng)平臺(tái)位移曲線(xiàn)圖中可以看到，在運(yùn)動(dòng)初始階段3條曲線(xiàn)均有躍變情況。之后，X軸、Y軸、Z軸方向上的曲線(xiàn)，與將函數(shù)導(dǎo)入到MATLAB中輸出的曲線(xiàn)圖基本一致，滿(mǎn)足理論結(jié)果，驗(yàn)證了上文中位置反解結(jié)果的正確性[15-17]?；瑝K位移曲線(xiàn)圖較為平滑，說(shuō)明運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為平穩(wěn)[18]。

初始階段出現(xiàn)曲線(xiàn)躍變情況經(jīng)理論分析之后，發(fā)現(xiàn)是因?yàn)閯?dòng)平臺(tái)初始位置所在的水平面與動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)所在的平面存在高度差，動(dòng)平臺(tái)在從初始平面運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)所在平面的過(guò)程中，有一個(gè)較大的運(yùn)動(dòng)速度，致使動(dòng)平臺(tái)在進(jìn)入運(yùn)動(dòng)平面時(shí)產(chǎn)生慣性，從而導(dǎo)致了平臺(tái)的震動(dòng)，才出現(xiàn)了圖中曲線(xiàn)的躍變。該種情況可通過(guò)優(yōu)化驅(qū)動(dòng)函數(shù)、合理規(guī)劃運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行改善。平臺(tái)的速度曲線(xiàn)如圖7所示。

從速度曲線(xiàn)圖可以看出，除了平臺(tái)從初始位置到運(yùn)動(dòng)平面過(guò)渡過(guò)程中由于慣性產(chǎn)生的曲線(xiàn)躍變外，平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度曲線(xiàn)比較平穩(wěn)[18]。圖中速度曲線(xiàn)中的波浪線(xiàn)，也是由于運(yùn)動(dòng)剛開(kāi)始階段慣性導(dǎo)致震動(dòng)產(chǎn)生的。該種情況上文已提出改善辦法，這里不再陳述。

圖5 Mark點(diǎn)3軸位移曲線(xiàn)

通過(guò)仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)該，驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的位移、速度曲線(xiàn)較為平滑，無(wú)躍變，因此該機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中無(wú)奇異點(diǎn)，驗(yàn)證了對(duì)雅克比矩陣的分析結(jié)果；保證了機(jī)構(gòu)能夠平穩(wěn)的進(jìn)行工作[19]。

4 結(jié)論

提出一種繩索驅(qū)動(dòng)裝置，通過(guò)繩索作為傳動(dòng)裝置，解決傳統(tǒng)裝置以桿件作為傳動(dòng)裝置而產(chǎn)生的機(jī)構(gòu)造價(jià)昂貴、設(shè)備笨重、無(wú)法大型化制造的問(wèn)題。

對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解和速度雅克比矩陣進(jìn)行了推導(dǎo)，建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析提供了理論基礎(chǔ)。應(yīng)用SolidWorks軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行3D建模并導(dǎo)入到Adams軟件中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的正確性。通過(guò)對(duì)仿真得到的位移、速度曲線(xiàn)的分析可知，當(dāng)工作平臺(tái)在其工作空間內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是滿(mǎn)足要求的，工作性能穩(wěn)定，在所需的工作空間內(nèi)不存在奇異點(diǎn)。

圖6 3個(gè)滑塊1Z軸方向位移曲線(xiàn)

圖7 Mark點(diǎn)3軸方向的速度