二維聲波高階有限差分地震波場模擬

楊 飛 張建彬 鞏 固

（1.山東科技大學(xué) 山東省沉積成礦作用與沉積礦產(chǎn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266590；2.山東正元建設(shè)工程有限責(zé)任公司濰坊分公司，山東 濰坊 261021；3.山東煤田地質(zhì)規(guī)劃勘察研究院，山東 泰安 271000）

地震波場模擬即地震正演，由已知的模型物性參數(shù)（巖層密度、速度等），通過不同方法模擬地震波在該地質(zhì)構(gòu)造的傳播規(guī)律，最終得到地震記錄。從定義上講，其模擬方法可以分為兩大類：物理模擬和數(shù)值模擬[1]，然而由于物理模擬相當(dāng)昂貴，所以研究者一般采用更加經(jīng)濟(jì)的數(shù)值模擬技術(shù)，其數(shù)值模擬方法又分為兩類：射線追蹤法和波動(dòng)方程法[2]，其中波動(dòng)方程（本文以聲波方程[3]講述）方法因其不僅保持了地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，而且保持了動(dòng)力學(xué)特征，在研究地震波場模擬時(shí)受到廣大工作者的熱衷，特別是在起伏地表的研究[4]過程中發(fā)揮了重要的作用。

目前有不少學(xué)者在地震波數(shù)值模擬方面做過研究工作，如侯爵（2014）、王祥春等（2007）研究起伏地表下的地震波場數(shù)值模擬問題，侯爵等人從地震波場與地震波走時(shí)場兩方面總結(jié)了該領(lǐng)域的研究進(jìn)展。王祥春等通過研究波形、能量、頻譜等方面的結(jié)果，得出起伏地表對(duì)地震波場的動(dòng)力學(xué)特征有很大影響。首皓等（2009）分析復(fù)雜介質(zhì)的地震波場模擬單程波方法，通過結(jié)合頻率-波數(shù)域反射系數(shù)近似公式和相移加插值的方法改進(jìn)單程波，結(jié)果可以準(zhǔn)確地模擬振幅隨入射角的變化，與雙程波的精度相當(dāng)。雖然在地震波數(shù)值模擬方面有不少學(xué)者做了大量研究，二維波場研究的成果較多，但三維波場模擬成果還相對(duì)較少，而且在探索高階次的波動(dòng)方程方面還存在較大差距，本文在前人工作的基礎(chǔ)上，分析二維聲波高階有限差分地震波場的模擬問題，利用有限差分原理，建立高階有限差分地震波場模型，研究結(jié)果對(duì)地震波場模擬有一定的推動(dòng)作用。

有限差分法具有計(jì)算速度快、占用內(nèi)存小等優(yōu)點(diǎn)，該方法對(duì)于近遠(yuǎn)場及復(fù)雜邊界都有廣泛的適用性，能夠準(zhǔn)確地模擬波在各種介質(zhì)及復(fù)雜結(jié)構(gòu)地層中的傳播規(guī)律。有限差分法方法簡單、高效的優(yōu)點(diǎn)是其他方法難以比擬的，因此有限差分法目前仍然是勘探地震學(xué)中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值計(jì)算方法[5]。

1 有限差分法的基本原理

有限差分法是一種最常用的數(shù)值模擬方法，它的基本思想是用離散的、只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程去近似地代替連續(xù)的微分方程及邊界條件，并且把相應(yīng)的差分方程的解作為微分方程的近似解。而對(duì)于二維速度-深度模型，地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：

式中：

v(x,z)-質(zhì)點(diǎn)在(x,z)處的縱波速度，m/s；μ-描述速度位或者壓力的波場；

s(t) -震源函數(shù)。

式中：

Δh-空間離散步長，m；

Δt-時(shí)間采樣率，s；

δ-確定震源位置。

由公式可知，要想得到聲波方程的有限差分形式，需要的已知條件包括：

（1）震源函數(shù)：一般使用一個(gè)理論上的雷克子波代替；

（2）地層速度或密度；

（3）邊界條件：采用已被證明的有條件穩(wěn)定格式，即：

2 建立空間網(wǎng)格

有限差分方程實(shí)現(xiàn)的第一步：在選定的空間內(nèi)進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分，將實(shí)際的地層進(jìn)行數(shù)據(jù)離散化。其特點(diǎn)是相對(duì)靈活，能夠較好地適應(yīng)地下介質(zhì)的劇烈變化，對(duì)于復(fù)雜程度較高的地質(zhì)模型[6]其運(yùn)算速度也不會(huì)受到太大影響。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常遵循誤差最小原則，網(wǎng)格劃分的方法有多種，不同的網(wǎng)格形式針對(duì)不同的地層特征，而且聲波和彈性波的網(wǎng)格形式也有不同，彈性波的網(wǎng)格形式有：交錯(cuò)網(wǎng)格、輔助網(wǎng)格以及旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格、同位網(wǎng)格[7]等。本次研究高階有限差分法采用的網(wǎng)格劃分方式為（圖1）：

圖1 空間四階精度差分網(wǎng)格示意

從圖1中可以直觀地看出：空間中離散點(diǎn)的分布，相鄰離散點(diǎn)之間的距離為步長，即Δh。其中Δh與Δz、Δx之間的關(guān)系如下：

3 理論模型及應(yīng)用效果分析

由于實(shí)際工作中，地質(zhì)條件相當(dāng)復(fù)雜，存在著介質(zhì)橫向不連續(xù)，巖性巖相差異較大，各項(xiàng)異性明顯等問題，并且地震波在地下的傳播存在吸收衰減等現(xiàn)象，規(guī)律復(fù)雜?；诖颂卣鳎敬窝芯拷⒁惶讓訝罹鶆蚪橘|(zhì)地質(zhì)模型（圖2）進(jìn)行理論分析，通過對(duì)模型的研究來獲取有關(guān)的地震地質(zhì)信息。層狀均勻介質(zhì)地質(zhì)模型較簡單，模型的正演耗時(shí)較小。

圖2 層狀均勻地質(zhì)

建立地質(zhì)模型的速度、密度、彈性等參數(shù)，模擬地震波在地質(zhì)模型中的傳播規(guī)律，得到地震波場特征（圖3），得出震源點(diǎn)處的單道地震記錄（圖4）。通過地震波長的模擬，可以驗(yàn)證野外采集時(shí)設(shè)計(jì)方案的合理性，室內(nèi)處理和解釋成果的可靠程度，甚至是反演方法和最終結(jié)果的正確性。

圖3 某時(shí)刻的地震波場

圖4 震源點(diǎn)的單道記錄

如圖2所示的層狀均勻介質(zhì)地質(zhì)模型，模型網(wǎng)格大小為500×500，網(wǎng)格間距為1m，采樣時(shí)間間距為100μs，震源坐標(biāo)為（250m，10m）。采用有限差分交錯(cuò)網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算精度為O（Δt^2+Δh^10）。圖3為層狀均勻介質(zhì)地質(zhì)模型波前快照?qǐng)D，從圖中可以看到地質(zhì)界面和層狀均勻介質(zhì)界面都有很好的顯示，基本沒有頻散現(xiàn)象。

4 結(jié)論

本文采用二維高階有限差分方法的基本原理，建立了空間網(wǎng)絡(luò)模型，并通過建立層狀均勻介質(zhì)地質(zhì)模型，模擬地震波場的傳播過程，得到震源點(diǎn)處的地震記錄。

有限差分方法具有計(jì)算速度快，占用的內(nèi)存小等優(yōu)點(diǎn)。本次研究通過地震波長的模擬結(jié)果，可以驗(yàn)證野外采集時(shí)設(shè)計(jì)方案的合理性，室內(nèi)處理和解釋成果的可靠程度，以及反演方法和最終結(jié)果的判斷。