馬爾科夫鏈在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用

1 何謂馬爾科夫鏈

馬爾可夫鏈，是指具有馬爾可夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過程，它可以將無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)用數(shù)學(xué)描述出來該過程中，在給定當(dāng)前信息的情況下，以前的信息對(duì)于預(yù)測將來是無關(guān)的。馬爾科夫性：過程在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時(shí)刻t>t0所處狀態(tài)的條件分布過程在時(shí)刻t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)的特性成為馬爾科夫性或無后效性。即：過程“將來”的情況與“過去”的情況是無關(guān)的。具有馬爾科夫性的隨機(jī)過程成為馬爾科夫過程。時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程。馬爾可夫鏈描述了一種狀態(tài)序列，其每個(gè)狀態(tài)值取決于前面有限個(gè)狀態(tài)。馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂旭R爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)變量的一個(gè)數(shù)列。我們熟悉的泊松過程和維納過程（布朗運(yùn)動(dòng)）都是馬爾科夫過程，泊松過程是時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬爾科夫過程；維納過程是時(shí)間狀態(tài)都聯(lián)系的馬爾科夫過程。

2 馬爾科夫鏈在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用

在世界經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的情況下,幾乎所有的經(jīng)濟(jì)行為都受到一些潛在的不可預(yù)知的風(fēng)險(xiǎn)的影響,特別是對(duì)金融保險(xiǎn)業(yè)來說,預(yù)測經(jīng)濟(jì)發(fā)展中潛在的不可預(yù)知的風(fēng)險(xiǎn)因素可能造成的損失是非常重要的。風(fēng)險(xiǎn)因素是無處不在的,而經(jīng)濟(jì)上的損失取決于這些風(fēng)險(xiǎn)影響的規(guī)模和范圍。如何能在面對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)因素時(shí),盡量減少經(jīng)濟(jì)損失——這正是精算學(xué)的關(guān)注所在,基于馬爾可夫鏈在精算學(xué)中的應(yīng)用,并利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測我們感興趣的量，進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，然后準(zhǔn)確的預(yù)測風(fēng)險(xiǎn),引導(dǎo)人們采取必要的管理控制措施,控制風(fēng)險(xiǎn),減少不必要的經(jīng)濟(jì)損失。

保險(xiǎn)精算學(xué)是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)工具,如概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì),同時(shí)結(jié)合金融和經(jīng)濟(jì)學(xué)的原則在保險(xiǎn)、金融、投資和金融等領(lǐng)域預(yù)測、分析、評(píng)估和管理風(fēng)險(xiǎn)的學(xué)科。保險(xiǎn)精算學(xué)對(duì)保險(xiǎn)中的一些問題進(jìn)行了定量分析和研究,通過分析未來的不確定性,為保險(xiǎn)公司的經(jīng)營提供了重要的依據(jù)和方法。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)只使用樣本信息,馬爾可夫鏈將預(yù)先信息與信息樣本結(jié)合起來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。面對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象,我們往往缺乏反映這一復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)據(jù),但我們可以利用馬爾可夫鏈從我們自己的經(jīng)驗(yàn)信息中推斷出數(shù)據(jù)的有限信息。它與經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的差別在于是否使用先驗(yàn)信息(經(jīng)驗(yàn)與歷史資料)。在現(xiàn)代保險(xiǎn)精算中以馬爾科夫鏈為基礎(chǔ)的馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法受到極大重視。馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法的基礎(chǔ)理論為馬爾可夫過程，在馬爾科夫鏈蒙特卡羅算法中，為了在一個(gè)指定的分布上采樣，根據(jù)馬爾可夫過程，首先從任一狀態(tài)出發(fā)，模擬馬爾可夫過程，不斷進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移，最終收斂到平穩(wěn)分布。把馬爾可夫鏈想象成一臺(tái)機(jī)器，它隨機(jī)地選擇一個(gè)狀態(tài)作為初始狀態(tài)，隨后按照上述規(guī)則隨機(jī)的選擇后續(xù)狀態(tài)。運(yùn)行一段時(shí)間后，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)狀態(tài)序列s1,s2,s3…st,…?？吹竭@個(gè)序列，不難算出某個(gè)狀態(tài)m1的出現(xiàn)次數(shù)以及從m1到m2的轉(zhuǎn)換次數(shù)，從而估算出概率。馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法首先要建立恰當(dāng)模型，然后設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法，在運(yùn)用馬爾科夫鏈從一個(gè)或多個(gè)概率分布中重復(fù)生成隨機(jī)數(shù)，最后分析模擬結(jié)果，從而模擬更加全面的風(fēng)險(xiǎn)可能情況，并給出相應(yīng)的概率參考，使結(jié)果更加接近真實(shí)環(huán)境，使計(jì)算更加便捷。經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)只用樣本信息,而馬爾科夫鏈把先驗(yàn)信息與樣本信息結(jié)合起來用于統(tǒng)計(jì)推斷之中人類在面對(duì)一種復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時(shí),我們通常缺少反映這種復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)據(jù),但我們可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)信息結(jié)合有限的數(shù)據(jù)資料利用馬爾科夫鏈作出推斷。在保險(xiǎn)精算學(xué)中正是通過這一點(diǎn),在實(shí)踐當(dāng)中基于馬爾科夫鏈人們可以利用各種先驗(yàn)信息,結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)資料預(yù)測未來風(fēng)險(xiǎn)。在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,尤其是在非壽險(xiǎn)中,當(dāng)一個(gè)保險(xiǎn)公司在市場上只有少量的關(guān)于他自己的數(shù)據(jù)時(shí),只利用這些僅有的數(shù)據(jù)去估計(jì)它自身的索賠頻率時(shí),這種估計(jì)就很不確定,相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)就比較大;而當(dāng)一個(gè)保險(xiǎn)公司有大量的經(jīng)驗(yàn)信息時(shí),并利用一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),這時(shí)就可能得到非常精確的估計(jì)結(jié)果,這時(shí)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)就小,這種結(jié)合是人類考慮協(xié)調(diào)問題的一種。在精算實(shí)踐中,人們可以基于馬爾可夫鏈?zhǔn)褂酶鞣N先前信息來預(yù)測未來的風(fēng)險(xiǎn)和實(shí)際的數(shù)據(jù)。它使人類把經(jīng)驗(yàn)信息與系統(tǒng)的數(shù)據(jù)相結(jié)合,得到我們感興趣的量的后驗(yàn)描述性統(tǒng)計(jì)量,以此作為行動(dòng)的依據(jù)。通常先驗(yàn)信息或經(jīng)驗(yàn)在行動(dòng)中起著指導(dǎo)性的作用。在非壽險(xiǎn)的一些領(lǐng)域中,保險(xiǎn)公司往往難以獲得足夠的樣本,或者僅有的理賠記錄不足以反映實(shí)際情況時(shí),我們可以人為的加入一些主觀判斷,來預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)減少不必要的經(jīng)濟(jì)損失,在這種情況下,一個(gè)急需處理的問題是只要保險(xiǎn)公司一得到一些新的可信賴的數(shù)據(jù),就立即增加這些新的信息,利用馬爾科夫鏈來修正先前的估計(jì)。它使我們能夠?qū)⒔?jīng)驗(yàn)信息與系統(tǒng)數(shù)據(jù)相結(jié)合,并獲得我們感興趣的量的后續(xù)描述性統(tǒng)計(jì)。在一些非壽險(xiǎn)領(lǐng)域,保險(xiǎn)公司往往發(fā)現(xiàn)很難獲得足夠的樣品,或者如果唯一的索賠登記不足以反映實(shí)際情況,我們可以人為地增加一些主觀規(guī)定,以預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)和減少不必要的經(jīng)濟(jì)損失,一旦保險(xiǎn)公司獲得了一些新的可靠數(shù)據(jù),就增加了新的信息可使用馬爾可夫鏈來修正以前的估計(jì)。更有利于保險(xiǎn)公司的利潤最大化,推動(dòng)其業(yè)務(wù)和擴(kuò)大擴(kuò)張和發(fā)展。

[1]姜昱汐.保險(xiǎn)精算的信息熵方法[J].大連：大連理工大學(xué)，2005.44-55

[2]張春雷，張亞男.淺談蒙特卡羅方法在保險(xiǎn)上的應(yīng)用[J].商業(yè)文化·財(cái)金視點(diǎn)，2008（1）

[3]姚海波.精算學(xué)理論發(fā)展綜述[J].上海保險(xiǎn)，2006（2）：53-56

[4]呂思宇.帶馬爾科夫鏈的隨機(jī)最優(yōu)控制問題及其在金融中的應(yīng)用[C].山東大學(xué) ,2017-05-21

[5]汲劍銳.馬爾科夫鏈應(yīng)用的一些探討[J].華中師范大學(xué),2012-05-01