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    路的D(3)-點(diǎn)可區(qū)別的全染色

    2014-04-10 21:06:19張東翰
    商洛學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:商洛正整數(shù)區(qū)別

    張東翰,朱 白

    (商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院,陜西商洛 726000)

    圖的染色是圖論中最著名和最古老的問題之一,由于其應(yīng)用的廣泛性使得越來越多的人對(duì)其進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[1-3]討論了圖的點(diǎn)可區(qū)別的邊染色,文獻(xiàn)[4]提出了圖的距離不大于β的任意兩點(diǎn)可區(qū)別的邊染色并對(duì)一些特殊圖的色數(shù)進(jìn)行了探討,文獻(xiàn)[5-7]對(duì)特殊圖的2,3,4距離的染色做了一些研究,文獻(xiàn)[8]對(duì)特殊圖的全染色進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[9]提出了圖的距離不大于β的點(diǎn)可區(qū)別的全染色并對(duì)一些特殊圖的色數(shù)進(jìn)行了探討,文獻(xiàn)[10]研究了蛛形圖的D(3)-點(diǎn)可區(qū)別的全染色。圖的距離染色是圖染色研究的熱點(diǎn)之一,并已經(jīng)取得了很多重要的結(jié)果。通過對(duì)大量文獻(xiàn)的研讀,研究了路的距離不大于3的點(diǎn)可區(qū)別的全染色。

    1 定義及引理

    定義1[8-9]設(shè)G(V,E)是簡(jiǎn)單圖,k是正整數(shù),f是從 V(G)∪E(G)到 C={1,2,…,k}的映射,如果滿足:

    1)對(duì)任意的邊 uν∈E(G),f(u)≠f(ν)f(u)≠f(uν)≠f(ν);

    2)對(duì)任意的兩相鄰的邊uν,uw∈E(G)(ν≠w),f(uν)≠f(νw);則稱 f是圖 G 的一個(gè)正常全染色(簡(jiǎn)記作 k-PTC),且稱數(shù)為G的全色數(shù)。

    如果f是一個(gè)k正常全染色,并且滿足:

    3)對(duì)任意的 u,ν∈V(G),u≠ν,dG(u,ν)≤β,其中dG(u,ν)表示u與ν的距離,β是正整數(shù),有C(u)≠C(ν),也就是

    顯然,當(dāng)β=1時(shí),D(1)-點(diǎn)可區(qū)別的全染色是鄰點(diǎn)可區(qū)別的全染色,當(dāng) β=diam(G)時(shí),D(β)-點(diǎn)可區(qū)別的全染色是點(diǎn)可區(qū)別的全染色,其中diam(G)表示圖 G 的直徑,且分別用 χat(G)和 χνt(G)表示χ1νt(G)χdνt(G),其中 d=diam(G)。

    引理1[9]設(shè)G是連通圖且,則有,χβνt≥μβ(G),其中稱為圖G的組合度,ni表示使任意兩點(diǎn)間的距離不超過β的度為i的點(diǎn)的最大數(shù)目,δ和△分別表示圖G的最小度和最大度,θ是正整數(shù)。

    引理2[9]設(shè)G是連通圖且,那么有χat(G)≤χβνt(G)≤χdνt(G)。

    猜想1[9]對(duì)于階數(shù)不小于2的簡(jiǎn)單連通圖G,有 χβνt(G)≤μβ(G)+1。

    2 定理及其證明

    定理1 設(shè)Pn是n(n≥4)階的路,則有 χνt(Pn)=4。

    證明:當(dāng)n≥4時(shí),μ3(Pn)=4,根據(jù)引理1可知χ3νt(Pn)≥4,要證明χ3νt(Pn)=4成立,只需給出一個(gè) 4-D(3)-VDTC,設(shè)色集合 C={1,2,3,4},Pn=ν1ν2·…·νn-1νn,現(xiàn)給出一個(gè) 4-D(3)-VDTC,對(duì)于邊ν1ν2,ν2ν3,…,νn-1νn分別用色 3,4,1,2 循環(huán)染;對(duì)于點(diǎn) ν1,ν2,…,νn分別用色 1,2,3,4 循環(huán)染,則此染色法是一個(gè)正常的全染色,又因?yàn)楫?dāng)2≤i≤n-1且i≡0(mod4)時(shí)(νi)={3};2≤i≤n-1且i≡1(mod4)時(shí)(νi)={4};當(dāng)2≤i≤n-1且i≡2(mod4)時(shí),(νi)={1};當(dāng)2≤i≤n-1且i≡3(mod4)時(shí),C(νi)={2};當(dāng)n=4時(shí)(νi)={2,4}(ν4)={2,3},當(dāng)n≥5時(shí),dG(νi,νn)≥4,由此可知,對(duì)于距離不大于 3 的任意兩點(diǎn)色集合不同,所以此染色法為一個(gè)4-D(3)-VDTC,因此定理成立。

    [1]BalisterP N,HuangY Q,Chu YM.Vertexdistinguishng edge colorings of graphs[J].J of Graph Theory,2003,42:95-109.

    [2]Bazgan C,Harat—Benhamdie A,Li H,et al.On the vertex-distinguishng edge colorings of graphs[J].J of Combin Theory,1999,75:288-301.

    [3]Burris A C,Schelp R H.Vertex-distinguishng proper edge colorings[J].J of Graph Theory,1977,26:73-82.

    [4]張忠輔,李敬文,陳祥恩,等.圖的距離不大于β的任意兩點(diǎn)可區(qū)別的邊染色[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版,2006,49(3):703-708.

    [5]于蘭蘭.單圈圖的距離色數(shù)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2009,21(3):41-42.

    [6]陳海鈺,劉信生.最大度為△圖類的距離色數(shù)的一個(gè)下界[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2007,19(3):4-5.

    [7]田京京.路和圈的距離不大于3和4的點(diǎn)可區(qū)別的邊染色[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,34(4):156-158.

    [8]張東翰.路的廣義Mycielski圖的全染色[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2012,26(2):9-10.

    [9]張忠輔,李敬文,陳祥恩,等.圖的距離不大于β的點(diǎn)可區(qū)別的全染色[J].中國科學(xué):A輯,2006,36(10):1119-1130.

    [10]張東翰.蛛形圖的D(3)-點(diǎn)可區(qū)別的全染色[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,31(4):300-302.

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