導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

闞曉寶

摘要：導(dǎo)數(shù)是微積分中的概念之一，體現(xiàn)了函數(shù)的局部性質(zhì)，在現(xiàn)代很多領(lǐng)域均有應(yīng)用.基于此，本文試分析高中數(shù)學(xué)函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.作為高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，函數(shù)的抽象性較強(qiáng)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)相關(guān)理論可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到提升，也是本文進(jìn)行相關(guān)分析的主要目的.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué)解題 應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它在許多方面的解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在函數(shù)問題的解決中有著重要作用.如果能夠熟練掌握導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)、定理等，并加以靈活運(yùn)用，就能在數(shù)學(xué)解題中起到事半功倍的效果，并能有效提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用能力.筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用進(jìn)行了深入探索.

一、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的簡介

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)里程碑，標(biāo)志著近代數(shù)學(xué)的過渡與轉(zhuǎn)型，導(dǎo)數(shù)為函數(shù)和變量的研究提供了新的手段與方法.通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們可以體會(huì)到其中豐富的思想內(nèi)容，感受到導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用意義.在初次接觸導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)，很多同學(xué)都感到模棱兩可，從學(xué)習(xí)流程來看，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)前，會(huì)經(jīng)歷學(xué)習(xí)數(shù)列、數(shù)列極限、函數(shù)極限三個(gè)過程，其與導(dǎo)數(shù)之間是息息相關(guān)的，為了便于理解，教材從變化率著手，采用“趨于”“趨近于”“無限變小”“無限逼近于”的描述方法類描述極限的過程，可以避免我們出現(xiàn)學(xué)習(xí)矛盾，幫助我們對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)產(chǎn)生深層次的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).從導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)的內(nèi)容來看，包括結(jié)構(gòu)方面，即導(dǎo)數(shù)概念與幾何意義；求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算；函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系；函數(shù)在某點(diǎn)取極值的充分必要條件；導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化措施.要學(xué)好導(dǎo)數(shù)，我們需要先把握好導(dǎo)數(shù)的概念和思想，逐一突破難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容.

二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

1.函數(shù)單調(diào)性相關(guān)學(xué)習(xí)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

單調(diào)性是指函數(shù)的變化規(guī)律是固定單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的.在有關(guān)單調(diào)性的理論中，如果導(dǎo)數(shù)值小于0，函數(shù)變化往往為單調(diào)遞減；如果導(dǎo)數(shù)值等于0，表示此點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的駐點(diǎn)；如果導(dǎo)數(shù)值大于0，則函數(shù)變化往往為單調(diào)遞增.函數(shù)單調(diào)遞減的取值隨著導(dǎo)數(shù)數(shù)值的變化而變化，通常是不斷變小、以致無窮，這一取值區(qū)間被稱為遞減區(qū)間；函數(shù)單調(diào)遞增的取值隨著導(dǎo)數(shù)數(shù)值的變化而變化，通常是不斷變大、以致無窮，這一取值區(qū)間被稱為遞增區(qū)間.遞減區(qū)間和遞增區(qū)間統(tǒng)一稱為單調(diào)區(qū)間.

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極（最）值.

極值是一個(gè)局部概念，每個(gè)極值都是相對(duì)于該極值點(diǎn)附近而言的，極值的大小關(guān)系是不確定的.函數(shù)極值的定義適用于任何一個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)都可用定義判斷極值，函數(shù)可以有極值，也可能沒有極值.如有極值，可能是一個(gè)，也可能是多個(gè).最值不同于極值，它是相對(duì)整個(gè)定義域區(qū)間（包括端點(diǎn)）而言，函數(shù)極值不一定是最值，最值也不一定是極值.最值必在下列點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或端點(diǎn).

3.在高中函數(shù)中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.

一般來說，數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)代生活中應(yīng)用較少，一些需要專業(yè)計(jì)算的領(lǐng)域往往借助高端設(shè)備，因此函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用通常僅限于理論層面.比如汽車賽道的相關(guān)計(jì)算，在公路汽車賽、F1方程式汽車賽中，需要了解賽車運(yùn)行的各類參數(shù)，在參數(shù)的確定工作中，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)得到應(yīng)用.公路汽車賽中，由于所用賽車的動(dòng)力強(qiáng)勁，零部件磨損十分嚴(yán)重，每隔一段距離需要進(jìn)行一次賽車零件更換，為求減少更換零件帶來的時(shí)間消耗，維修點(diǎn)往往設(shè)置在賽道上.調(diào)查顯示，在整個(gè)賽車過程中，車輛高速前進(jìn)的時(shí)間達(dá)到90%以上，而驟然啟停又會(huì)帶來一定的危險(xiǎn)，因此維修點(diǎn)通常在汽車可以緩慢降速的地段，比如直賽道，在具體選擇的過程中，就需應(yīng)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí).以汽車運(yùn)行速度、剎車降速情況作為已經(jīng)條件，目標(biāo)點(diǎn)為速度極小值，通過極小值運(yùn)算，即可得出放置維修點(diǎn)的最佳地點(diǎn).將賽車的運(yùn)行近似為一個(gè)遞減函數(shù)，取值區(qū)間為汽車最高速度和最低速度，當(dāng)汽車從高速運(yùn)行的狀態(tài)開始減速時(shí)，減速點(diǎn)為取值區(qū)間的起點(diǎn)，根據(jù)降速的情況，可以判斷取值區(qū)間的終點(diǎn)，也就是維修點(diǎn)的位置.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，因此導(dǎo)數(shù)與高中數(shù)學(xué)的融會(huì)關(guān)系將會(huì)更近一步.高中數(shù)學(xué)是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據(jù)很大的分量.導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題有極大的幫助，因此，教師必須注重對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué).