適用于低頻問題的多層復(fù)源點(diǎn)方法

宋連寧，李先進(jìn)，胡 俊，聶在平

(電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731)

隨著電子技術(shù)的發(fā)展，低頻電磁目標(biāo)和小尺寸電子器件的數(shù)值仿真分析方法受到越來越多的關(guān)注。然而，在工程領(lǐng)域廣泛使用的基于電場積分方程(EFIE)的矩量法(MoM)[1]在使用RWG基函數(shù)[2]時，必須使用高密度的剖分網(wǎng)格以精確模擬細(xì)微目標(biāo)的結(jié)構(gòu)。隨著網(wǎng)格的不斷縮小，方程中的矢量磁位貢獻(xiàn)不斷變小并被最終標(biāo)量電位湮沒，EFIE矩陣條件數(shù)不斷上升，將最終陷入所謂的“低頻崩潰”中[3-4]。

為了克服低頻崩潰問題，學(xué)者們通常在RWG基函數(shù)的基礎(chǔ)上采取loop-tree，loop-star分解的方法分離電和磁的物理貢獻(xiàn)[5-6]，并使用Calderón預(yù)條件以獲得良好的矩陣形態(tài)[7-9]。然而使用loop-tree，loop-star方法不可避免地需要進(jìn)行繁瑣的loop基函數(shù)和tree基函數(shù)搜索，這種搜索在目標(biāo)尺寸增大和含有分枝結(jié)構(gòu)時變得十分困難。為了簡化電和磁的分離過程，近年來學(xué)者們從分離電流和電荷的角度又取得了一系列成果。例如分離位積分方程(separated potential integral equation, SPIE)[10]、電流電荷積分方程(current and charge integral equation, CCIE)[11]、增量電場積分方程(AEFIE)[12]等均可以改善EFIE的低頻崩潰問題。其中，AEFIE將電荷作為額外的未知量引入方程之中，通過強(qiáng)加電流連續(xù)性條件和頻率縮放獲得了穩(wěn)定的系統(tǒng)方程，其阻抗矩陣為鞍點(diǎn)矩陣，可以通過專門的預(yù)條件加速迭代收斂速度，并且矩陣系統(tǒng)中有一半為稀疏矩陣，內(nèi)存占用較低。

隨著計算量的增加，諸多快速方法也被應(yīng)用到AEFIE當(dāng)中。如低頻多層快速多極子算法(lowfrequency multilevel fast multipole algorithm,LF-MLFMA)[13]，積分方程快速傅里葉變換(integral equation fast Fourier transform, IE-FFT)[14]，多層快速笛卡爾展開算法(multilevel accelerated cartesian expansion algorithm, MLACEA)[15-16]，以及多層自適應(yīng)交叉近似(multilevel adaptive cross approximation,MLACA)[17]等。其中前3種方法在計算電小問題時均可以獲得O(N)量級的復(fù)雜度。最近，一種基于復(fù)源點(diǎn)(CSP)的方法應(yīng)用在了電磁場分析中[18-19]。由于復(fù)源點(diǎn)波束是麥克斯韋方程的精確解，因此可以用定義在等效面上的復(fù)源點(diǎn)展開基函數(shù)與外界的互作用[20-21]，并將基函數(shù)間的遠(yuǎn)場阻抗矩陣表示為這些復(fù)源點(diǎn)之間的相互作用。本文將使用多層復(fù)源波束(MLCSP)法加速AEFIE，并通過數(shù)值算例對低頻問題的MLCSP方法進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 增量電場積分方程的矩量法

對處于自由空間的理想金屬目標(biāo)，利用目標(biāo)表面的邊界條件，可以得到其表面電流J(r′)滿足的電場積分方程：

由于前述原因，為了克服低頻崩潰問題，需要在電場積分方程中引入表面電荷Φ(r′)作為未知量，并使用脈沖基函數(shù)對其進(jìn)行離散：

式中，Ai為電荷所在三角形面元Ti的表面積。表面電流使用去除公共邊長的歸一化RWG基函數(shù)進(jìn)行離散：

通過添加電流連續(xù)性關(guān)系，可以得到增量電場積分方程：

其中，各矩陣向量的相應(yīng)元素為：

式中，j、φ分別表示電流與電荷未知向量；c0表示自由空間中的光速；稠密矩陣表示定義在表面電流所產(chǎn)生的磁矢量位的相互作用關(guān)系；表示表面電荷所產(chǎn)生的電標(biāo)量位的相互作用關(guān)系；稀疏矩陣表示電流所在的三角形貼片對和電荷所在的三角形貼片之間的幾何連接關(guān)系；為單位矩陣。在上述AEFIE方程中，磁矢量位和電標(biāo)量位被分離，并通過合適的頻率縮放因子進(jìn)行平衡，因此可以在低頻時獲得良好的矩陣形態(tài)。

2 AEFIE的多層復(fù)源點(diǎn)方法

同EFIE的復(fù)源點(diǎn)波束展開類似，AEFIE的復(fù)源點(diǎn)展開可以從電流產(chǎn)生的磁矢量位和電荷產(chǎn)生的電標(biāo)量位進(jìn)行等效開始：

式中， ρi(r′)、hj(r′)分別是第i個歸一化的RWG基函數(shù)和第j個脈沖基函數(shù)。利用復(fù)源點(diǎn)等效，上述位函數(shù)可以寫作一系列復(fù)源點(diǎn)所產(chǎn)生的位函數(shù)的疊加：

標(biāo)量展開系數(shù)可以由電荷系數(shù)φm′展開：

式中，T表示矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算；Tm,m′是組m和組m'之間的轉(zhuǎn)移因子，其元素為：

以上給出了用于AEFIE-MoM遠(yuǎn)區(qū)的復(fù)源點(diǎn)加速方法，同MLFMA[22]等基于八叉樹的多層算法類似，為了實(shí)現(xiàn)多層復(fù)源點(diǎn)算法，需要構(gòu)建相關(guān)展開量在子-父層之間的遞推關(guān)系。由于子層(第l+1層)第ql+1個復(fù)源點(diǎn)所產(chǎn)生的矢量位函數(shù)和標(biāo)量位函數(shù)分別為：

利用類似式(9)～式(14)的方法，可以構(gòu)建相似的方程組，矩陣形式為：

最終使用MLCSP加速方程(4)中遠(yuǎn)區(qū)矩矢相乘可以寫作：

這里先將最細(xì)層的組m和m'的電流和電荷使用CSP展開；隨后為了簡單起見，上行過程直接將系數(shù)聚合至第2層，并在其位于第2層的父組m2和m2′之間進(jìn)行轉(zhuǎn)移；最后使用聚合和展開矩陣的轉(zhuǎn)置進(jìn)行下行和配置過程。

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文方法的正確性和性能，對低頻金屬目標(biāo)的散射問題和電小電感模型進(jìn)行計算，并簡要分析了本文方法的精度和復(fù)雜度。

3.1 低頻金屬球散射

如圖1所示，本文首先計算了一個低頻電小金屬球的散射。球的半徑為1 m，采用100 Hz平面波入射，(入射角為 θ =0° ， φ = 0°)，電尺寸為 6 .67×10-7λ。共剖分成1 764個三角形貼片，共有2 646個電流未知量和1 764個電荷未知量。使用本文方法進(jìn)行多層分組，共分3層，最細(xì)層邊長為 8 .3×10-8λ。采用GMRES-30進(jìn)行迭代求解，在使用文獻(xiàn)[12]中的預(yù)條件時，僅80次迭代就可以收斂到 1 0-15。圖1還給出了使用本文方法和使用Mie解析結(jié)果計算的的雙站RCS結(jié)果，可以看到，兩種方法的結(jié)果一致，并均在120°時出現(xiàn)零陷，與電小目標(biāo)的散射理論一致。

圖1 直徑1m金屬球在100Hz時的雙站RCS

3.2 電感模型計算

由于常見的射頻元件在其工作頻率下均為電小目標(biāo)，因此本文方法針對的低頻問題也適于該類目標(biāo)的求解。以電感為例，如圖2所示的電感模型被剖分成7 144個三角形貼片，共10 716個電流未知量和7 144個電荷未知量，采用Delta-Gap進(jìn)行饋電端口的建模。為了對比本文方法對電小目標(biāo)的低頻穩(wěn)定性，本文在400 MHz到7 GHz的頻帶范圍內(nèi)(每隔150 MHz，共45個頻點(diǎn))計算了其電感參數(shù)。其中，EFIE和AEFIE為了求解的穩(wěn)定性，均使用了LU分解計算。本文方法將目標(biāo)分為4層，每個最細(xì)層盒子約60個未知量；由于目標(biāo)電尺寸極小，在計算時，每層的每個盒子使用的等效CSP數(shù)量不變，在本文中取82個；使用GMRES-30和文獻(xiàn)[12]中的預(yù)條件進(jìn)行迭代計算，并收斂到 1 0-3。圖3給出了EFIE、AEFIE和本文方法計算出的電感值，可以看出本文方法同AEFIE方法獲得的電感參數(shù)吻合良好，且在低頻時趨于穩(wěn)定的常數(shù)；在較高頻率下，EFIE同前兩者吻合較好，但隨著頻率的降低，EFIE開始出現(xiàn)明顯的低頻崩潰，無法計算出正確的結(jié)果。

圖2 電感模型(單位：mm)

為了詳細(xì)考察本文方法的計算復(fù)雜度，本文在3 GHz時，對采用不同剖分網(wǎng)格的電感進(jìn)行計算。這里，剖分II到剖分IV是不斷對前一個網(wǎng)格進(jìn)行4次細(xì)分得到的，具體的MLCSP分層數(shù)和總未知量數(shù)目如表1所示。可以看到隨著未知量呈4倍的增加，填充時間、單次迭代時間和總內(nèi)存占用也約呈4倍的增加。這表明本文方法的存儲復(fù)雜度和矩矢相乘復(fù)雜度均為O(N)量級。

圖3 本文方法與增量電場積分方程的電感參數(shù)提取結(jié)果對比

表1 不同剖分大小時MLCSP的計算復(fù)雜度統(tǒng)計

4 結(jié) 束 語

本文針對低頻電磁問題的計算，提出了多層復(fù)源點(diǎn)方法來加速增量電場積分方程矩量法的遠(yuǎn)區(qū)計算。該方法首先將AEFIE的磁矢量位和電標(biāo)量位用CSP進(jìn)行展開；隨后構(gòu)建了子層CSP展開系數(shù)向父層遞推的聚合矩陣；最后使用多層復(fù)源點(diǎn)方法來加速AEFIE的矩矢相乘。結(jié)果表明，本文方法的計算結(jié)果準(zhǔn)確，并且時間和內(nèi)存復(fù)雜度為O(N)量級。