課間學(xué)生更換教室耗時(shí)分析及教室排課方案優(yōu)化設(shè)計(jì)

諸葛雪玉

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

1 概述

目前，國內(nèi)外關(guān)于排課問題主要從兩個(gè)角度著手研究：教學(xué)管理工作者從方便教學(xué)管理的角度出發(fā)，大多依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定教室排課方案[1]；計(jì)算機(jī)專業(yè)從優(yōu)化求解算法[2]、提高運(yùn)算效率角度出發(fā)來確定排課方案，研究成果豐富。但是大家都忽略了交通對(duì)排課系統(tǒng)的影響，缺乏針對(duì)排課方案中學(xué)生通行時(shí)間、通行效率等指標(biāo)的量化分析與評(píng)價(jià)。

據(jù)此，借助交通工程學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等相關(guān)理論，分析并量化課間學(xué)生更換教室途中各階段時(shí)間消耗，以人均時(shí)耗最短為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化教務(wù)管理系統(tǒng)中的排課方案，對(duì)提高課間利用率和減緩課間擁堵有一定的意義。

2 課間學(xué)生更換教室行程時(shí)間建模

通過分析學(xué)生課間更換教室過程中排隊(duì)進(jìn)出教室、路徑通行、排隊(duì)打水、排隊(duì)如廁等階段，研究各階段消耗時(shí)間的影響因素。其中排隊(duì)進(jìn)出教室考慮學(xué)生早到因素的影響；路徑通行分別考慮路徑選擇與路徑擁堵兩個(gè)因素；課間排隊(duì)打水與如廁階段分別考慮學(xué)生打水、如廁的使用時(shí)間、排隊(duì)時(shí)間以及到達(dá)分布等因素的影響。

2.1 進(jìn)出教室的時(shí)間消耗

在考慮學(xué)生早到因素影響下，構(gòu)建學(xué)生排隊(duì)進(jìn)出教室消耗時(shí)間模型，則有：

(1)

其中，tE為一個(gè)教室學(xué)生排隊(duì)進(jìn)出教室消耗的總時(shí)間；VE為學(xué)生排隊(duì)進(jìn)出教室速率；t′為一個(gè)教室因?qū)W生早到造成的擁堵延誤時(shí)間；n′為等待班級(jí)的上課人數(shù)。

2.2 路徑通行的時(shí)間消耗

在路徑通行階段下，通過分析路徑選擇與路徑擁堵[3]等影響因素，構(gòu)建考慮多需求的路徑通行時(shí)間計(jì)算模型。在無擁堵條件下，借助最短路原則[3]確定更換教室路徑選擇。構(gòu)建無擁堵條件下的路徑通行時(shí)間計(jì)算模型，其計(jì)算公式為：

(2)

其中，tL為一個(gè)教室學(xué)生課間更換教室通行路徑消耗總時(shí)間；DE為更換教室時(shí)直接到達(dá)終點(diǎn)教室的路徑長；VB為直達(dá)終點(diǎn)教室路段的通行速率；n為上課教室總?cè)藬?shù)。

在擁堵條件下利用圖解法，計(jì)算路徑中瓶頸點(diǎn)處擁堵增加的通行時(shí)間，則有：

(3)

其中，tt為擁堵點(diǎn)所增加的時(shí)間；k為擁堵點(diǎn)上游人流率；u為擁堵點(diǎn)能夠通過的最大人流率。

學(xué)生更換教室途中，排隊(duì)進(jìn)出教室消耗的時(shí)間和路徑通行消耗的時(shí)間t1為：

t1=∑tE+∑tL+∑tt

(4)

2.3 打水過程的時(shí)間消耗

打水過程時(shí)間消耗包括排隊(duì)打水時(shí)間消耗及因打水需求而產(chǎn)生的額外的路徑時(shí)間消耗。排隊(duì)打水消耗時(shí)間借助排隊(duì)論[4,5]方法進(jìn)行研究，打水過程中學(xué)生到達(dá)服從泊松分布，打水時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，打水過程類似排隊(duì)論的多路多通道服務(wù)，即N個(gè)M/M/1系統(tǒng)。構(gòu)建打水過程的時(shí)間消耗模型，計(jì)算公式為：

(5)

2.4 如廁過程的時(shí)間消耗

如廁過程時(shí)間消耗包括排隊(duì)如廁時(shí)間消耗及因如廁產(chǎn)生的路徑時(shí)間消耗。如廁排隊(duì)消耗時(shí)間借助排隊(duì)論方法研究，如廁過程中學(xué)生到達(dá)服從泊松分布，如廁的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，如廁過程類似排隊(duì)論的單路多通道服務(wù)，即M/M/N系統(tǒng)。構(gòu)建如廁過程的時(shí)間消耗模型，計(jì)算公式為：

(6)

則學(xué)生課間更換教室的途中，因打水和如廁消耗的總時(shí)間t2為：

(7)

其中，Δt為課間時(shí)長；m為課間排隊(duì)打水學(xué)生所占的比例；p為課間排隊(duì)如廁學(xué)生所占比例。

2.5 總計(jì)行程時(shí)間

(8)

3 排課系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化目標(biāo)及約束條件

在考慮各階段耗時(shí)因素的影響下，以課間學(xué)生更換教室人均耗時(shí)最短為優(yōu)化目標(biāo)。總結(jié)現(xiàn)狀排課規(guī)律加以優(yōu)化對(duì)整個(gè)學(xué)期的課程重新進(jìn)行安排，在此基礎(chǔ)上對(duì)教室安排方案進(jìn)行約束。約束條件包括教室上課人數(shù)不大于教室容量，具有特殊需求班級(jí)在對(duì)應(yīng)的特色功能教室上課，將有學(xué)生早到行為的班級(jí)安排在行人流上游，以及將連續(xù)授課教師授課教室固定。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型如下：

(9)

其中，C為教室容量；c′為有特殊需求班級(jí)集合，或第一節(jié)課沒課班級(jí)集合；R′為特殊功能教室集合，或行人流上游教室集合；T為連續(xù)授課教師集合；R為教室集合;R1為第一節(jié)課的上課教室;R2為第二節(jié)課的上課教室;式中映射均為一一映射。

3.2 優(yōu)化算法

根據(jù)教學(xué)培養(yǎng)方案確定每個(gè)班級(jí)每個(gè)學(xué)期每門課程的上課時(shí)長，借助現(xiàn)有排課規(guī)律加以優(yōu)化，構(gòu)建班級(jí)與課程之間的聯(lián)系，形成初始排課方案。

根據(jù)教室間距離、教室容量和班級(jí)人數(shù)、課程等數(shù)據(jù)，利用貪心算法[6]求得初始排課方案(確定初始解)，根據(jù)可行解搜索求得新的解，若新的排課方案學(xué)生課間更換教室人均消耗時(shí)間更短，則將新的解置為當(dāng)前最優(yōu)解。重復(fù)迭代過程，當(dāng)搜索次數(shù)或迭代次數(shù)大于規(guī)定閾值時(shí)，停止迭代并輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)排課方案。利用優(yōu)化算法求解時(shí)遵從相關(guān)優(yōu)化原則：在保證安全的前提下盡量降低學(xué)生課間更換教室頻率，盡量減少在擁堵點(diǎn)附近教室安排學(xué)生上課，盡量使學(xué)生在更換教室路徑中途經(jīng)過廁所與打水處。

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 現(xiàn)狀分析

以河海大學(xué)江寧校區(qū)為例，研究其2017年—2018年學(xué)期在江寧校區(qū)致用、致高A、致高B、博學(xué)四棟教學(xué)樓，以16級(jí)，17級(jí)本科生5 152人作為研究對(duì)象的課間耗時(shí)情況，其中包括上課教室146個(gè)、廁所43個(gè)、飲水機(jī)31個(gè)。在此基礎(chǔ)上將江寧校區(qū)教室及教學(xué)服務(wù)設(shè)施抽象為立體空間網(wǎng)絡(luò)：其中教室、飲水機(jī)、廁所抽象為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，通行路徑抽象為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的聯(lián)通路徑，據(jù)此計(jì)算學(xué)生更換教室路徑通行的距離。

4.2 模型驗(yàn)證

選擇五個(gè)教室內(nèi)的班級(jí)為實(shí)測研究對(duì)象。記錄第六周周二上午課間各個(gè)教室學(xué)生進(jìn)出教室時(shí)間，兩個(gè)時(shí)間之差即為各學(xué)生在更換教室途中消耗時(shí)間。將現(xiàn)場實(shí)測的人均耗時(shí)與根據(jù)模型計(jì)算所得人均耗時(shí)進(jìn)行對(duì)比，可知實(shí)測結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果差異比例近似，且變化趨勢基本一致，這表明構(gòu)建的課間學(xué)生更換教室行程耗時(shí)模型可信度較高，具體如圖1所示。

4.3 優(yōu)化分析

以第六周周二上午為例，根據(jù)現(xiàn)狀分析確定各個(gè)參數(shù)的數(shù)值，計(jì)算各階段的時(shí)間消耗，按照前述優(yōu)化目標(biāo)、優(yōu)化原則進(jìn)行優(yōu)化，確定優(yōu)化后教室排課方案，并對(duì)比分析現(xiàn)狀與優(yōu)化排課方案的學(xué)生更換教室通行時(shí)間消耗(如表1所示)。

表1 河海大學(xué)江寧校區(qū)教室排課方案優(yōu)化前后學(xué)生課間通行時(shí)耗分析

計(jì)算可得，排課方案優(yōu)化前后學(xué)生課間更換教室人均耗時(shí)分別為9.8 min和6.7 min，通行時(shí)耗降低31.6%，原教室數(shù)為114個(gè)，優(yōu)化教室數(shù)為72個(gè)，且優(yōu)化方案在更換教室過程各階段均降低通行時(shí)間。

5 結(jié)語

從交通角度優(yōu)化排課系統(tǒng)，可以有效提高課間時(shí)間的利用效率，為優(yōu)化課間休息時(shí)長提供科學(xué)依據(jù)。同時(shí)，通過量化學(xué)生打水、如廁過程的時(shí)間消耗，可進(jìn)一步優(yōu)化飲水機(jī)等教學(xué)服務(wù)設(shè)施的布設(shè)位置與數(shù)量。