中國(guó)和德國(guó)教材的對(duì)比與分析
——以“圓的認(rèn)識(shí)”編排為例

◇劉家旎 蔡 維 姜瑞欣 鄧石磊

教材是專(zhuān)家學(xué)者智慧的結(jié)晶。下面，我們以“圓的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課為例，比較、分析中國(guó)和德國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材。

一、我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材

目前，我國(guó)大陸小學(xué)數(shù)學(xué)教材的版本有：人教版、北師大版、滬教版、浙教版、蘇教版、西南師大版等，臺(tái)灣也有幾種版本（以下統(tǒng)稱(chēng)臺(tái)灣版）。通過(guò)研讀教材，我們發(fā)現(xiàn)，我國(guó)多版教材，在內(nèi)容的編排上有以下三個(gè)共同之處：

1.在情境中引入圓。

中國(guó)的教材都是從生活現(xiàn)象引入圓的。例如，北師大版教材從套圈游戲引入，西南師大版和滬教版教材從自然界和社會(huì)生活中形形色色的“圓”抽象出幾何中的圓。利用生活情境引入圓，可以讓學(xué)生感受到圓的美，體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

2.在操作中探究圓。

在探究部分，中國(guó)的教材不約而同設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)的操作探究活動(dòng)，讓學(xué)生充分感知圓的本質(zhì)特征。

首先，進(jìn)行畫(huà)圓操作活動(dòng)。例如，臺(tái)灣版教材呈現(xiàn)了四種畫(huà)圓方式：用圓形紙片進(jìn)行描摹，用兩支筆和線畫(huà)，用直尺、鉛筆和圖釘畫(huà)，以及用圓規(guī)畫(huà)；浙教版教材要求用圓規(guī)畫(huà)圓和用其他工具畫(huà)圓。這樣設(shè)計(jì)，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了正確的畫(huà)圓方法，還初步體驗(yàn)到圓的“定點(diǎn)和距離不變”特征，將畫(huà)圓和理解圓的特征結(jié)合起來(lái)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。利用圓規(guī)畫(huà)圓引出圓各部分的名稱(chēng)，即圓心、半徑、直徑等概念，將動(dòng)手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然、流暢。

其次，設(shè)計(jì)了一系列探究圓的特征的動(dòng)手操作活動(dòng)。例如，人教版教材是這樣設(shè)計(jì)的：沿著直徑折一折、畫(huà)一畫(huà)、量一量，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？蘇教版教材是這樣設(shè)計(jì)的：折一折、畫(huà)一畫(huà)、比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？在這些由具體到抽象的操作活動(dòng)中，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)半徑與直徑的特征和關(guān)系，逐步積累并建立起圓的正確表象，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)和空間觀念。

3.在生活中應(yīng)用圓。

探究出了圓的特征，中國(guó)的教材的編排又回歸生活，鼓勵(lì)學(xué)生用圓的特征解釋常見(jiàn)的生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)頭腦想問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。例如，北師大版教材是這樣設(shè)計(jì)的：聯(lián)歡時(shí)，人們?yōu)槭裁磿?huì)圍成圓形？窨井蓋、水滴泛起的漣漪為什么是圓的？為什么車(chē)輪都要做成圓形的？

二、德國(guó)的教材

德國(guó)小學(xué)只有四年，數(shù)學(xué)教材分四冊(cè)，目前有30多種不同的版本，學(xué)校教師可自主選擇教材。下面我們具體看看德國(guó)的教材對(duì)“圓的認(rèn)識(shí)”的編排。

1.情境導(dǎo)入方式多樣。

以德國(guó)兩種版本的教材為例，一種是以象鼻熊命名的oldenbourg版，一種是以鴨子和猴子命名的westermann版，這些動(dòng)物就好比我國(guó)人教版教材中的小精靈聰聰和明明。

德國(guó)這兩種版本的教材有著不同的開(kāi)課設(shè)計(jì)。oldenbourg版教材的課題是：畫(huà)圓。開(kāi)課設(shè)計(jì)了羊吃草的三個(gè)情境：

第一個(gè)情境：圖上做了記號(hào)的地方生長(zhǎng)著可口的植物，山羊查理哪些夠得著，哪些夠不著？讓學(xué)生感知拴羊的繩子的長(zhǎng)度決定羊吃草的范圍。

第二個(gè)情境：拴查理的繩子長(zhǎng)3米，畫(huà)出山羊查理吃草的場(chǎng)所。引出圖形圓，并初步感知同圓中半徑相等。

第三個(gè)情境：農(nóng)民埃爾文想把第二只山羊麥基也用3米長(zhǎng)的繩子拴在樁子上，他要把樁子放多遠(yuǎn)，才能夠避免兩只山羊?yàn)槌圆荻蚣?？讓學(xué)生感知決定圓的位置、大小的因素。

教材設(shè)計(jì)這三個(gè)層次的情境，讓學(xué)生在研究山羊吃草的問(wèn)題中逐步抽象出圓，體驗(yàn)、感悟圓的特征，感受數(shù)學(xué)價(jià)值、發(fā)展思維能力。

再來(lái)看westermann版教材的“圓的認(rèn)識(shí)”。該教材開(kāi)課的設(shè)計(jì)就是觀察車(chē)輪畫(huà)圓，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山直奔研究主題——圓，接著展開(kāi)活動(dòng)：畫(huà)出不同半徑的圓，畫(huà)出不同直徑的圓。通過(guò)層層遞進(jìn)的畫(huà)圓活動(dòng)讓學(xué)生感受圓的特征。

2.動(dòng)手操作活動(dòng)豐富多彩。

雖然德國(guó)這兩種版本的教材開(kāi)課設(shè)計(jì)不同，但在畫(huà)圓活動(dòng)的設(shè)計(jì)中都留下了濃墨重彩的一筆。oldenbourg版教材在該課中設(shè)計(jì)了11個(gè)畫(huà)圓活動(dòng)，westermann版教材設(shè)計(jì)了9個(gè)畫(huà)圓活動(dòng)。oldenbourg版和westermann版教材都設(shè)計(jì)了：畫(huà)出指定半徑、直徑的圓，用圓規(guī)畫(huà)圓組成圖案。oldenbourg版教材還有以下畫(huà)圓活動(dòng)：畫(huà)出小羊吃草的場(chǎng)地，畫(huà)出不同大小、相互包圍、相互交叉、相切的圓，徒手畫(huà)圓和用圓規(guī)畫(huà)圓的比較。德國(guó)的教材設(shè)計(jì)了豐富多彩的畫(huà)圓活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間觀念的培養(yǎng)是大有裨益的。

三、兩國(guó)教材的不同之處

1.課題的區(qū)別。

以德國(guó)oldenbourg版教材為例，它的課題是“畫(huà)圓”。中國(guó)所有版本教材的課題都是“圓的認(rèn)識(shí)”。

德國(guó)教材的特色體現(xiàn)在“畫(huà)”上，教材的編排都圍繞著“畫(huà)”展開(kāi)。首先畫(huà)出小羊吃草的草地的形狀，接著畫(huà)大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓，然后是徒手畫(huà)圓和用圓規(guī)畫(huà)圓相比較，最后嘗試畫(huà)出由圓組成的復(fù)雜圖案。

德國(guó)的教材對(duì)本課的編排意圖是讓學(xué)生在“畫(huà)”中學(xué)，用“畫(huà)”解決問(wèn)題，在“畫(huà)”中感知圓的特點(diǎn)、位置關(guān)系、大小，在各式各樣“畫(huà)”的活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)價(jià)值，體驗(yàn)成功喜悅。

中國(guó)的教材的特色體現(xiàn)在“認(rèn)識(shí)”上。以北師大版和人教版教材為例，教材圍繞“認(rèn)識(shí)”的主題，設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)：先從生活現(xiàn)象中感受圓存在的必要性；接著嘗試畫(huà)圓，自學(xué)圓的有關(guān)概念；再在畫(huà)、折、比、推理等過(guò)程中感悟圓的特征。

中國(guó)的教材這些環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)邏輯緊密、環(huán)環(huán)相扣，既有靜悄悄的思考、自學(xué)，又有熱騰騰的活動(dòng)、交流。學(xué)生的學(xué)習(xí)途徑和方法是多元的，體驗(yàn)是豐富的。

一個(gè)小小的課題反映出了兩國(guó)不同的教育理念。

2.邏輯順序的區(qū)別。

德國(guó)的教材是從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“畫(huà)小羊吃草的區(qū)域”開(kāi)始的，感知木桿（圓心）、繩子（半徑）、羊的吃草區(qū)域（圓形），感受同圓中半徑處處相等，逐漸從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出圖形圓，再研究決定圓的大小、位置的因素。教材的設(shè)計(jì)是從具體到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

以北師大版教材為例來(lái)看中國(guó)的教材編排的邏輯順序。從生活情境導(dǎo)入后，讓學(xué)生自主探究圓的畫(huà)法，學(xué)習(xí)圓的概念，研究圓的直徑、半徑的關(guān)系，以及圓的大小、位置的決定因素。當(dāng)學(xué)生明晰了圓的特點(diǎn)之后，出現(xiàn)了生活中的問(wèn)題 “車(chē)輪為什么是圓的”，學(xué)生通過(guò)小實(shí)驗(yàn)嘗試著尋找答案，解釋生活中有關(guān)圓的現(xiàn)象。中國(guó)的教材是按照從“圖形研究”到“解決問(wèn)題”的順序，體現(xiàn)了學(xué)以致用的思想。

3.側(cè)重點(diǎn)的區(qū)別。

德國(guó)的教材對(duì)于圓的特征只是讓學(xué)生感知，沒(méi)有關(guān)于圓、直徑、半徑概念的定義，也沒(méi)有研究同一個(gè)圓中直徑、半徑的長(zhǎng)度關(guān)系，而對(duì)圓的位置和大小的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)得十分飽滿，通過(guò)畫(huà)大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓等過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)圓的大小、位置和什么因素有關(guān)。

以德國(guó)westermann版教材為例，如圖1，A中的同心圓是位置相同、大小不同的圓，而B(niǎo)中是大小相同、位置不同的圓。學(xué)生在畫(huà)圓的過(guò)程中探究決定圓的大小、位置的因素，這樣可以充分培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。可見(jiàn)，德國(guó)的教材力求通過(guò)豐富、多層次的“畫(huà)圓”活動(dòng)讓學(xué)生解決問(wèn)題，體驗(yàn)、感悟圓的特征，從而幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值。

圖1 德國(guó)westermann版本

中國(guó)各種版本教材對(duì)圓的半徑、直徑的概念有規(guī)范的定義，并設(shè)計(jì)有折、比、畫(huà)、量等活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中認(rèn)識(shí)圓各部分的名稱(chēng)，發(fā)現(xiàn)圓的特征，意圖讓學(xué)生在探究活動(dòng)中不斷衍生出新的疑問(wèn)，促使學(xué)生在不斷的思索中豐盈、完善對(duì)圓的認(rèn)知，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而對(duì)圓的位置和大小的探究環(huán)節(jié)略顯單薄，只是通過(guò)畫(huà)同心圓和大小相同、位置不同的圓來(lái)體會(huì)。