“三角形邊的關系”教學設計與思考

◇脫中菲

一、內(nèi)容分析

三角形邊的關系是學生在初步了解三角形定義和分類的基礎上，從“邊”的角度研究三角形的特征，即研究三角形邊的關系存在“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”這一事實性特征。這一知識的本質(zhì)是由歐式幾何中“兩點之間直線段最短”這一公理在三角形內(nèi)容上的推論。這一公理，學生在三年級時已經(jīng)學習過。這一特征可以用來作為判斷“三條線段能否圍成三角形”的依據(jù)，即學生只需要用兩條較短邊之和與第三條邊進行比較，就可以判斷出來，這是判定性的知識。所以，學生在本節(jié)課不僅僅要學習事實性的知識，還要初步理解事實性知識與判定性知識二者之間的關系。

北師大版教材在編寫上充分體現(xiàn)了探究與發(fā)現(xiàn)的學習方式，共設計了三個問題：首先，學生進行自主用小棒圍三角形的活動，思考“能否圍成三角形與什么有關”，體會影響能否圍成三角形的因素是邊的長度。其次，引導學生研究 “什么樣的三根小棒能夠圍成三角形”，學生初步發(fā)現(xiàn)只要兩條較短的邊之和大于第三條邊，就能夠圍成三角形。這也是學生對判斷能否圍成三角形的“依據(jù)”的學習。再次，針對能圍成的三角形來研究三邊存在什么樣的關系。教材中的設計側重于探索與發(fā)現(xiàn)，通過設計操作活動，讓學生在觀察、操作、比較的過程中推導出三角形三邊關系的特征。

二、教學過程

活動一：提出問題，大膽猜測。

教師為學生提供一種扣條，進行圍三角形的游戲。

師：同學們，今天我們用扣條代替小棒玩圍三角形的游戲，好嗎？老師為大家準備了五組不同的扣條，請同學們?nèi)我膺x一組扣條，把扣條當作小棒用，看看誰圍得又快又好！

設計意圖：教師準備的5組不同的小棒中，有的可以圍成，有的無法圍成，通過這個游戲讓學生了解到不是任意的三根小棒都能圍成三角形，引發(fā)思考。

師：我看到好多同學都圍成了，你們的手真巧?。ü室庖苫螅┰趺戳?？有同學遇到困難了。還有好幾位同學說圍不成三角形，是嗎？誰的那組小棒擺不成？

（教師讓學生分別將圍成的和圍不成的小棒放到投影儀上展示）

師：同學們，看到這個情況，你有什么想說的嗎？

生：有的三根小棒能夠圍成三角形，有的不能圍成。

師：看來不是隨便拿出三根小棒都能圍成三角形。那么，你們覺得能否圍成一個三角形與什么有關系呢？

生：與邊有關。

生：如果兩條較短的邊都再長一些就能圍成三角形了。

師：好，那我們今天就來研究一下，怎樣的三條線段能夠圍成一個三角形。

設計意圖：在北師大版和人教版的教材中，該內(nèi)容都是以四組長度不同的邊作為學習內(nèi)容的起點。這樣設計的思路是用已知的長度去圍三角形，按照這樣的實際，學生首先關注的應該是“邊”。但是正如我們對學生經(jīng)驗的分析，學生對三角形的整體認知，不能一下子聚焦到邊的長度這一問題上，因此按照教材中直接給出不同的邊的長度，對學生來說有些突然，而從三角形入手，以游戲的方式圍三角形，學生通過觀察和對比已經(jīng)圍成的三角形和沒有圍成的圖形，能夠初步意識到：能否圍成三角形與邊的長度有關，與三角形兩條較短的邊有關。這樣的設計，一方面讓學習在學生已有的經(jīng)驗基礎上展開，另一方面，也讓接下來的探究活動更具有目的性和方向性。

活動二：小組探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教師出示小組學習任務：怎樣的三根小棒能擺成三角形？并提出學習要求：①將小組中圍成三角形的小棒放一組，圍不成三角形的放另外一組。②對比這兩組小棒，按順序和同學說一說你的發(fā)現(xiàn)。

教師提示：組員分別觀察圍成的三角形，看看三角形的邊有什么樣的特征；再仔細觀察沒有圍成三角形的小棒，看看它們的長度有怎樣的特點。

5分鐘后，教師組織學生依次匯報。（見表1）

表1

學生首先匯報了各組所用的三根小棒圍三角形的情況（能或不能），接著匯報了三條邊的長度。

師：同學們仔細觀察黑板上的這些數(shù)據(jù)，我們將能圍成三角形的分成一類，將不能圍成三角形的分成一類，然后仔細觀察一下，這兩類不同情況的小棒長度有什么規(guī)律嗎？

學生在教師的引導下，逐漸歸納出：在這五種情況中，能圍成三角形的三根小棒中，較短的兩條邊之和大于第三條邊。不能圍成三角形的三根小棒中，較短的兩條邊之和小于或者等于第三條邊。

設計意圖：①探究活動不止步于觀察和操作，而是在數(shù)學經(jīng)驗的積累過程中發(fā)展抽象思維。本環(huán)節(jié)從觀察實物到借助數(shù)據(jù)進行驗證進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，其目的是讓學生逐步抽象發(fā)展空間觀念。②小棒的數(shù)據(jù)并非教材中事先設計好的，而是學生基于學習需要主動獲取的，體現(xiàn)了學習的生成性。③基于兩種情況進行分類比較，經(jīng)歷從個別到一般的過程，是不完全歸納的數(shù)學思想在教學中的滲透。學生在此處，結合之前游戲中的猜想和圖表中的數(shù)據(jù)，結論的得出便水到渠成了。

師：同學們，從剛才拼擺的五組小棒中，我們發(fā)現(xiàn)了三角形邊的奧秘。那么老師這里還有這么多三角形（大屏幕出示不同的三角形，圖略），你說它們的邊都具有剛才你們得出的那個結論嗎？

生：我覺得應該具備，我們可以量量它們的邊的長度。

師：這么多三角形我們能挨個量嗎？

生：不用，我認為三角形一定滿足兩條較短的邊大于第三條邊的條件，因為三角形要拱起來（做手勢），否則就拱不起來。

師：看來給出三根小棒的長度，我就只需要判斷兩根較短的和與第三根小棒之間的關系就能夠判斷能否圍成三角形了，對嗎？

學生點頭表示同意。

活動三：反向猜測，推理論證。

師：既然我們通過計算就能夠判斷出三根小棒能否圍成一個三角形，那么，思考一下：三角形的三條邊有什么特征呢？誰能說一說？

生1：兩條較短的邊之和大于第三條邊。

師：好，這個觀點同意嗎？他關注到了較短的兩條邊和第三條邊的關系，還有其他觀點嗎？

生2：最短的邊和最長的邊的和也大于第三條邊。

師：為什么呢？你的根據(jù)呢？

生2：兩條較短的邊的和都比第三條大了，那么最短的邊和最長的邊的和也大于第三條邊。

師：他的觀點大家聽清了嗎？什么意思呢？

生3：就是隨便兩條邊的和都比第三條大。

師：“隨便”，這個詞挺好，還能換個詞嗎？

生4：任何兩條邊，任意兩條邊。

師：剛才同學們猜測是三角形的三條邊中任意兩條邊之和都大于第三條邊，你們同意嗎？

有的學生點頭，有的搖頭。

師：那我們來驗證一下，請各小組驗證剛才我們已經(jīng)圍成的三角形的三條邊的關系。

師板書：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

表2

匯報兩組后，有一個學生發(fā)言。

生：老師，我們不用再挨個算了，第三組也是這樣的規(guī)律。

師：為什么不算了？

生：較短的兩條邊的和都比第三條大，那么任意的兩條邊的和一定比第三條邊大。

師：你們同意嗎？真的不用再算了？那關于三角形的三條邊你們發(fā)現(xiàn)什么特征了？

生：任意的兩條邊的和都大于第三條邊。

設計意圖：從二次猜測到嘗試驗證，再到演繹推理，學生直接從數(shù)據(jù)中推導出三角形三邊的特征，經(jīng)歷了從歸納到演繹的過程，學生的抽象思維得到進一步發(fā)展。

活動四：揭示本質(zhì)，關聯(lián)生活。

師：（出示圖1）小明想從點A到點C，你建議他怎么走？說說為什么。

圖1

生：小明可以從A到B再到C，也可以直接走到C。

生：要想盡快走到C，我認為應該直接從A走到C。

師：為什么呢？

生：因為我們可以把ABC看成一個三角形，三角形的兩條邊之和一定大于第三條邊。

生：我們以前學過兩點之間直線段最短，AC就是最短的直線段，其他路都得拐彎。

師小結：你們都同意嗎？其實我們今天學習的三角形三邊關系和以前我們學習的“兩點之間直線段最短”的線段公理是密切相關的。我們今天不僅學習了新知識，還找到了新知識和以前學習的知識之間的關系，你們太棒了。

師：同學們，其實生活中有利用三角形邊的關系改進交通的案例，比如杭州市專門設計了這樣的路口（出示圖2）。看來我們今天學習的數(shù)學還真能解決生活中的大問題。

圖2

設計意圖：選擇路線的問題考查的是學生從多個角度思考解決方案的道理和依據(jù)，進而引發(fā)學生主動將三角形三邊關系本質(zhì)歸結到線段公理這一知識本源。這一環(huán)節(jié)教師點到為止，讓學生在討論與分析過程中，主動打通知識之間的聯(lián)系，在恍然大悟之后深化認識。