新型軟亞BCI-代數(shù)的進(jìn)一步研究

黃 昱，廖祖華，李 論

1.無錫太湖學(xué)院，江蘇 無錫 214064

2.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

3.中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190

1 引言

邏輯代數(shù)是人工智能、邏輯電路設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)推理等領(lǐng)域的邏輯基礎(chǔ)。BCK/BCI-代數(shù)作為兩類重要的邏輯代數(shù)，是由Imai和Iseki[1-2]于1966年提出的。BCI-代數(shù)是BCK-代數(shù)的推廣。BCK/BCI代數(shù)自引入以來，得到了許多學(xué)者的擴(kuò)展研究[3-7]。2005年，陳露和蒲義書[8]推廣了BCI-代數(shù)，提出了亞BCI-代數(shù)及其理想的概念。2010年，彭家寅[9]引入了亞BCI-代數(shù)的模糊理想的概念并討論了相關(guān)性質(zhì)。

軟集理論是Molodtsov[10]于1999年創(chuàng)立的。它是處理不確定性問題的一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具。其理論已被應(yīng)用于不確定決策、近似推理、軟計(jì)算、數(shù)據(jù)分析等[11-16]諸多領(lǐng)域。將軟集與代數(shù)系統(tǒng)相融合是研究的熱點(diǎn)之一。Aktas和Cagman[17]率先將軟集與群論相結(jié)合提出了軟群的概念。Jun[18]提出了軟BCK/BCI-代數(shù)的概念。伏文清等[19-20]進(jìn)一步把軟集思想應(yīng)用于BCK代數(shù)，研究了軟BCK代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。劉春輝[21]將軟集概念及其相關(guān)運(yùn)算運(yùn)用于FI代數(shù)，提出濾子化軟FI代數(shù)并討論其代數(shù)性質(zhì)。彭家寅[22]利用軟集理論去處理BCC-代數(shù)的結(jié)構(gòu)，討論了軟BCC-理想與理想的軟BCC-代數(shù)。

2008年，溫永川[23]將參數(shù)集賦予群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，提出了新型軟群的概念。這種將參數(shù)集賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法引入的軟集代數(shù)可以得到更深刻的結(jié)果。廖祖華的團(tuán)隊(duì)利用這一思想，研究了一系列新的軟集代數(shù)[24-27]。2014年，Jun等[28-29]將猶豫模糊集引入MTL-代數(shù)和BCK/BCI代數(shù)中，開創(chuàng)了猶豫模糊代數(shù)的新領(lǐng)域。接著，國內(nèi)外學(xué)者獲得了一系列研究成果[30-35]。值得指出的是猶豫模糊代數(shù)的研究是這種新型軟集代數(shù)的特例（泛集U=[0,1]時(shí)的情形）。對(duì)于一般的U，文獻(xiàn)[23]引進(jìn)的對(duì)偶軟集是與猶豫模糊集的α-水平集不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。某種代數(shù)的模糊子集是某種猶豫模糊代數(shù)的充要條件是猶豫模糊集的α-水平集是某種代數(shù)。而本文的研究表明某種代數(shù)的軟集是某種新型軟代數(shù)的充要條件是對(duì)偶軟集是某種代數(shù)，但與α-水平集是某種代數(shù)不等價(jià)（相關(guān)論文A new type soft prime ideal of KU-algebras已被斯普林格出版社Advances in Intelligent and Soft Computing錄用）。因此U取一般集合是有研究意義的。

文獻(xiàn)[27]將參數(shù)集賦予亞BCI-代數(shù)，給出了新型軟亞BCI-代數(shù)的新概念，并研究了兩個(gè)新型軟亞BCI-代數(shù)的且運(yùn)算及限制交仍然是新型軟亞BCI-代數(shù)。利用對(duì)偶軟集給出了新型軟亞BCI-代數(shù)的等價(jià)刻畫。同時(shí)還給出了新型軟亞BCI-代數(shù)的同態(tài)像與原像的性質(zhì)。

本文在文獻(xiàn)[27]的基礎(chǔ)上對(duì)新型軟亞BCI-代數(shù)做了進(jìn)一步研究。

2 預(yù)備知識(shí)

本章給出了文中需要的軟亞BCI-代數(shù)、軟集的相關(guān)知識(shí)。

定義1[8]（亞BCI-代數(shù)）一個(gè)（2，0）型代數(shù)(X,?,0)如果滿足條件：?x,y,z∈X，有：

（1）x?0=x ；

（2）x?x=0 ；

（3）(x?y)?z=(x?z)?y 。則稱X為一個(gè)亞BCI-代數(shù)。

定義2[8]（亞BCI-代數(shù)的子代數(shù)）亞BCI-代數(shù)X的非空子集S稱為 X的子代數(shù)，如果對(duì)?x,y∈S，有x?y∈S 。

注1任意子代數(shù) S都包含0，因?yàn)??x∈S，有0=x?x∈S。

定義3[10]（軟集）設(shè)U是一個(gè)初始集合，E是參數(shù)集，A?E，P(U)是U的冪集，設(shè)F:A→P(U)為一個(gè)映射，則稱(F,A)是U上的軟集，也稱F為A的軟集。

定義4（笛卡爾積）設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合，稱A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}為A,B的笛卡爾積。

定義5[36]（軟集的且運(yùn)算）(F,A),(G,B)是U上的軟集，令 (F,A)∧(G,B)=(H,A×B)，其中 H(x,y)=F(x)?G(y),?(x,y)∈A×B ，則稱 (F,A)∧(G,B)是軟集 (F,A)與(G,B)的且運(yùn)算。

定義6[27]（新型軟亞BCI-代數(shù)）設(shè)X為一個(gè)亞BCI-代數(shù)，H:X→P(U)為一個(gè)軟集，若?x,y∈X，滿足H(x?y)?H(x)?H(y)，則稱 H 為 X的一個(gè)新型軟亞BCI-代數(shù)，記為 (H,X)。

引理1[27]H為X的一個(gè)新型軟亞BCI-代數(shù)，則?x∈X ，有 H(0)?H(x)。

3 新型軟亞BCI-代數(shù)的一些新性質(zhì)

本章給出兩個(gè)亞BCI-代數(shù)的并代數(shù)、并代數(shù)上的擴(kuò)展交以及軟平移等新概念，討論新型軟亞BCI-代數(shù)在并代數(shù)上的擴(kuò)展交、軟平移以及投影等基本性質(zhì)。

定義8 設(shè) (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)是兩個(gè)亞 BCI-代數(shù)，又設(shè) X=X1?X2，且X1?X2={0}，在X上定義運(yùn)算?如下：

記 X=X1⊕X2。

注2由定義x,y在X1與X2的并集中取元素，所以x?y在X1⊕X2中的運(yùn)算結(jié)果與它在X2⊕X1中的運(yùn)算結(jié)果相同。因此X1⊕X2=X2⊕X1。

引理2 設(shè) (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)是兩個(gè)亞 BCI-代數(shù)，若 X=X1⊕X2，則 (X,?,0)是一個(gè)亞BCI-代數(shù)。這時(shí)稱 (X,?,0)為 (X1,?1,0)與 (X2,?2,0)的并代數(shù)。

證明?x∈X=X1?X2，有 x∈X1或 x∈X2。若x∈X1，則 x,0∈X1，由定義得，x?0=x?10=x 及x?x=x?1x=0。若 x∈X2，則 x,0∈X2，由定義得，x?0=x?20=x及 x?x=x?2x=0。

?x,y,z∈X=X1?X2，

（1）若 x∈X1,y∈X1,z∈X1，由定義1得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（2）若 x∈X1,y∈X1,z∈X2，有(x?y)?z=(x?1y)?z=x?1y ，(x?z)?y=x?y=x?1y ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（3）若x∈X1,y∈X2,z∈X1，有(x?y)?z=x?z=x?1z，(x?z)?y=(x?1z)?y=x?1z ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（4）若 x∈X1,y∈X2,z∈X2，有 (x?y)?z=x?z=x ，(x?z)?y=x?y=x ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（5）若 x∈X2,y∈X1,z∈X1，有 (x?y)?z=x?z=x ，(x?z)?y=x?y=x ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（6）若x∈X2,y∈X1,z∈X2，有(x?y)?z=x?z=x?2z，(x?z)?y=(x?2z)?y=x?2z ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（7）若 x∈X2,y∈X2,z∈X1，有(x?y)?z=(x?2y)?z=x?2y ，(x?z)?y=x?y=x?2y ，得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

（8）若 x∈X2,y∈X2,z∈X2，由定義1得 (x?y)?z=(x?z)?y 。

綜上所述，(X,?,0)是一個(gè)亞BCI-代數(shù)。

例1 設(shè) X1={0,1}，定義“ ?1”，其運(yùn)算表如表1。容易驗(yàn)證(X1,?1,0)是亞BCI-代數(shù)，它的子代數(shù)有{0}，{0，1}。

表1 運(yùn)算“ ?1”

設(shè) X2={0,2,3}，定義“ ?2”，其運(yùn)算表如表2。容易驗(yàn)證 (X2,?2,0)是亞 BCI-代數(shù)，它的子代數(shù)有{0}，{0，2}，{0，2，3}。

表2 運(yùn)算“ ?2”

則由X=X1⊕X2的運(yùn)算定義知X的運(yùn)算“?”如表3。

表3 運(yùn)算“?”

由引理2知(X,?,0)是亞BCI-代數(shù)，它的子代數(shù)有{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，{0，2，3}，{0，1，2，3}。

定義9設(shè)X1,X2是兩個(gè)亞BCI-代數(shù)，(H1,X1),(H2,X2)是U上的軟集，若軟集(H,X)滿足：

（1）X=X1⊕X2；

在一定條件下，有下面的定理。

證明因?yàn)?X1?X2={0}，故?x∈X1⊕X2，有：

（1）若 x,y∈X1-X2,則 H(x)=H1(x),H(y)=H1(y)，如果 x?y≠0，則 x?y=x?1y∈X1-X2，因?yàn)?H1是 X1的新型軟亞 BCI-代數(shù)，故 H(x?y)=H1(x?1y)?H1(x)?H1(y)=H(x)?H(y)。

在偉晶作用發(fā)育的全過程中，不是所有偉晶巖區(qū)的偉晶巖脈中都可以見到偉晶巖各結(jié)構(gòu)帶，只在一些典型的脈中能夠見到。特別是構(gòu)造活動(dòng)頻繁、圍巖滲透性較強(qiáng)的地區(qū)形成的偉晶巖，往往不具有良好的帶狀構(gòu)造，各種礦物組合在脈中分布無明顯的規(guī)律[9]。

如果 x?y=0 ，則 H(x?y)=H1(0)?H2(0)，因?yàn)?H1是 X1的新型軟亞BCI-代數(shù)，故 H1(0)?H1(x)=H(x),H2(0)=H1(0)? H1(y)=H(y)，即 H(x?y)?H(x)?H(y)。

（2）若 x,y∈X2-X1,同理可證 H(x?y)?H(x)?H(y)。

（3）若x∈X1-X2，y∈X2-X1，則x?y=x，H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（4）若x∈X2-X1，y∈X1-X2，則x?y=x，H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（5）若 x∈X1-X2，y∈X1?X2={0}，則 x?y=x?0=x,H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（6）若 x∈X2-X1，y∈X1?X2={0}，則 x?y=x?0=x,H(x?y)=H(x)?H(x)?H(y)。

（7）若 x∈X1?X2={0}，y∈X1-X2，則 x?y=0?1y。

如果0?1y∈X1-X2，因?yàn)镠1是X1的新型軟亞BCI-代 數(shù)，故 H(x?y)=H(0?1y)=H1(0?1y)?H1(0)?H1(y)=H1(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

（8）若 x∈X1?X2={0}，y∈X2-X1，則 x?y=0?2y。如果0?2y∈X2-X1，因?yàn)镠2是X2的新型軟亞BCI-代數(shù)，故 H(x?y)=H(0?2y)=H2(0?2y)?H2(0)?H2(y)=H2(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

如 果 0?2y=0 ，則 H(x?y)=H(0)=H1(0)?H2(0)=H2(0)?H2(y)=H(y)?H(x)?H(y)。

（9）若 x,y∈X1?X2={0}，則 x=y=0，故 x?y=0，H(x?y)=H(0)=H(0)?H(0)=H(x)?H(y)。

綜上所述，H是X1⊕X2的新型軟亞BCI-代數(shù)。

定理2設(shè) XH:={x|x∈X,H(x)=H(0)}，如果H為X的一個(gè)新型軟亞BCI-代數(shù)，則XH為X的子代數(shù)。

證明顯然0∈XH，所以XH為X的非空子集。又?x,y∈XH，有H(x)=H(y)=H(0)，因H 是X 的新型軟亞BCI-代數(shù)，有 H(x?y)?H(x)?H(y)=H(0)，又由引理1知 H(0)?H(x?y)，進(jìn)而有 H(x?y)=H(0)，即 x?y∈XH，所以，XH是X的子代數(shù)。

定義10設(shè)X是任一參數(shù)集，H:X→P(U)是一個(gè)軟集，λ∈P(U)，對(duì)于?x∈X，Htλ(x)=H(x)?λ稱為H相對(duì)于λ的一個(gè)軟平移。

定理3設(shè)X為亞BCI-代數(shù)，H:X→P(U)為一個(gè)軟集，λ∈P(U)，若H是X的新型軟亞BCI-代數(shù)，則H相對(duì)于λ的軟平移Htλ是X的新型軟亞BCI-代數(shù)。

證明?x,y∈X，有：

證明若存在λ?ΣH使得H相對(duì)于λ的軟平移是X的新型軟亞BCI-代數(shù)，則有?x,y∈X，，即H(x?y)?λ?(H(x)?λ)?(H(y)?λ)=[H(x)?H(y)]?λ。?z∈H(x)?H(y)，有z∈[H(x)?H(y)]?λ?H(x?y)?λ。因?yàn)?z?λ，所以 z∈H(x?y)，即 H(x)?H(y)?H(x?y)。

因此，H是X的新型軟亞BCI-代數(shù)。

定理5設(shè)X1,X2為兩個(gè)亞BCI-代數(shù)，若(F,X1)和(G,X2)分別為X1和X2的軟集，且(H,X)=(F,X1)∧(G,X2)是 X的新型軟亞BCI-代數(shù)，則(HX1,X1)和(HX2,X2)分別是X1和X2的新型軟亞BCI-代數(shù)。

證明?x,y∈X1，有：

所以，(HX1,X1)是X1的新型軟亞BCI-代數(shù)。同理可證(HX2,X2)是X2的新型軟亞BCI-代數(shù)。

4 新型軟亞BCI-代數(shù)的一些新的等價(jià)刻畫

本章給出亞BCI-代數(shù)上的兩個(gè)軟集的合成運(yùn)算的新概念，同時(shí)利用軟集的合成運(yùn)算、水平集、廣義特征函數(shù)給出新型軟亞BCI-代數(shù)的新的等價(jià)刻畫。

定義11設(shè)(F,A)是A上的軟集，(G,B)是B上的軟集，若滿足：

（1）A?B；

（2）?x∈A，有 F(x)?G(x)。

注3 顯然，若且，則(F,A)=(G,B)。

定義12設(shè)X是亞BCI-代數(shù)，(F,X)和(G,X)分別為X的兩個(gè)軟集。定義(F°G,X)：

則(F°G,X)是X的軟集，并稱F°G為兩個(gè)軟集的合成。

因?z∈X,z?0=z，于是 X中的元素均有分解式x?y=z成立，所以上述定義是合理的。

定理6設(shè)X為亞BCI-代數(shù)，H:X→P(U)為一個(gè)軟集，則H是X的新型軟亞BCI-代數(shù)的充要條件是(H2,X)=(H,X)。

定理7設(shè)X為一個(gè)亞BCI-代數(shù)，H:X→P(U)為一個(gè)軟集，則H是X的新型軟亞BCI-代數(shù)的充要條件是 H 的 α -水平集 Hα:={x|H(x)?α,α∈P(U)}≠? 是X的子代數(shù)。

證明必要性：?x,y∈Hα，則 H(x)?α，H(y)?α,由 H 是 X 的新型軟亞BCI-代數(shù)，知 H(x?y)?H(x)?H(y)?α,即 x?y∈Hα，所以，Hα是 X 的子代數(shù)。

充分性：?x,y∈X ，若 H(x)?H(y)=?，則 H(x)?H(y)?H(x?y)；若 H(x)?H(y)≠? ，令 H(x)?H(y)=α，有H(x)?α且H(y)?α，那么，x∈Hα且y∈Hα。由Hα≠? 是 X 的子代數(shù)，知 x?y∈Hα，進(jìn)而有 H(x?z)?α=H(x)?H(y)。

因此，H是X的新型軟亞BCI-代數(shù)。

定義13 設(shè)X 是亞BCI-代數(shù)，X1是X 的子集，X→P(U)是一個(gè)軟集，γ1,γ2∈P(U)，γ2?γ1，且滿足：

定理8設(shè)X為亞BCI-代數(shù)，X1是X的非空子集，則 X1是 X的子代數(shù)的充分必要條件是是 X的新型軟亞BCI-代數(shù)。

證明必要性：?x,y∈X，若x?X1或 y?X1，則有或，所以，。若 x,y ∈ X1，因 X1是 X 的子代數(shù)，有 x?y∈ X1,故H X1(γ1,γ2)(y)。

5 結(jié)束語

本文是文獻(xiàn)[27]研究工作的繼續(xù)。引入了兩個(gè)亞BCI-代數(shù)的并代數(shù)，這對(duì)亞BCI-代數(shù)本身研究也很有意義。由此產(chǎn)生了兩個(gè)軟集在并代數(shù)上的擴(kuò)展交的新概念。另外還引入了軟集的軟平移、合成運(yùn)算，利用這些代數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)新型軟亞BCI-代數(shù)進(jìn)行了新的刻畫。值得指出的是當(dāng)U=[0,1]時(shí)，就得到了相應(yīng)的猶豫模糊亞BCI-代數(shù)的結(jié)果（猶豫模糊集時(shí)的情形也未見研究）。進(jìn)一步會(huì)用上述的這些代數(shù)結(jié)構(gòu)去研究其他的邏輯代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。