“信號分析與處理”課程的核心-轉(zhuǎn)移算子

王書明

(中國地質(zhì)大學(xué) 地球物理與空間信息學(xué)院，湖北 武漢 430074)

地球物理工作有幾個重要的環(huán)節(jié)，包括數(shù)據(jù)采集、資料分析處理、定性與定量解釋等[1]， “信號分析與處理”則是地球物理專業(yè)重要的理論基礎(chǔ)，是我校地球物理專業(yè)的必修課[2-3]。該課程涉及線性代數(shù)、微分方程、電子線路等基礎(chǔ)知識，公式繁多，內(nèi)容復(fù)雜[4-7]。因此，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們時常感覺教學(xué)內(nèi)容枯燥難懂。如何梳理知識脈絡(luò)，熟悉幾個核心概念及其內(nèi)在聯(lián)系，進而理解和掌握整個課程內(nèi)容，是講解和學(xué)習(xí)這門課程的關(guān)鍵。其中，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子是這門課程的核心內(nèi)容[5,8]。

1 基本知識架構(gòu)

自然界中的地球物理信號一般都是連續(xù)信號，地球物理信號分析與處理的理論基礎(chǔ)是連續(xù)時間系統(tǒng)[3,9-12]，處理對象的激勵信號和系統(tǒng)響應(yīng)都是連續(xù)時間信號。地球物理領(lǐng)域，一般假設(shè)所研究的系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)，這種系統(tǒng)對應(yīng)的方程是時間域常系數(shù)高階微分方程。做系統(tǒng)分析時，需要結(jié)合初始條件求解微分方程，這是一件比較復(fù)雜和困難的事情。為了便于求解，引入了傅氏變換和頻率域的概念。為了擴展傅氏變換的應(yīng)用范圍，繼而引入了拉氏變換和復(fù)頻域。在頻率域中，高階常系數(shù)微分方程變換為代數(shù)方程，系統(tǒng)分析的問題就轉(zhuǎn)變成為解代數(shù)方程，這極大簡化了系統(tǒng)方程的求解[4-5]。

雖然實際地球物理信號是連續(xù)的，但利用現(xiàn)有的地球物理儀器無法采集到連續(xù)的時間信號，實際采集信號是離散的[9,13]。分析處理實際地球物理數(shù)據(jù)，必須先要學(xué)習(xí)和研究離散時間信號。離散系統(tǒng)的處理對象是離散信號，在地球物理領(lǐng)域，所對應(yīng)的系統(tǒng)方程常為高階常系數(shù)差分方程。類似于在頻率域解決連續(xù)時間系統(tǒng)問題，為了便于求解，引入了Z變換。在Z域中，差分方程可變換為代數(shù)方程，離散系統(tǒng)分析迎刃而解[13-16]。

2 幾個重要概念

對于連續(xù)時間系統(tǒng)，系統(tǒng)方程可以表示為

y(t)=H(p)f(t)

(1)

式中，f(t)和y(t)分別表示連續(xù)激勵信號和系統(tǒng)響應(yīng)，H(p)表示轉(zhuǎn)移算子。在已知H(p)的前提下就可以建立系統(tǒng)方程，繼而做系統(tǒng)分析。因此，H(p)是連續(xù)時間系統(tǒng)的核心。

連續(xù)時間系統(tǒng)在頻率域中零狀態(tài)的解可以表示為

Y(jω)=H(jω)F(jω)

(2)

其中，F(xiàn)(jω)和Y(jω)分別表示連續(xù)激勵信號和系統(tǒng)響應(yīng)頻譜，H(jω)表示系統(tǒng)函數(shù)。顯然，求得系統(tǒng)函數(shù)即可完成系統(tǒng)分析，得到系統(tǒng)響應(yīng)的解。H(jω)是連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的關(guān)鍵。

連續(xù)時間系統(tǒng)在復(fù)頻域中零狀態(tài)的解如下

Y(s)=H(s)F(s)

(3)

其中，F(xiàn)(s)和Y(s)分別表示連續(xù)激勵信號和系統(tǒng)響應(yīng)頻譜，H(s)表示系統(tǒng)函數(shù)。同上，基于系統(tǒng)函數(shù)，可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的解，H(s)是連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的關(guān)鍵。

如前言所述，對于實際地球物理信號，需要用到離散時間系統(tǒng)，系統(tǒng)方程如下

y(k)=H(s)f(k)

(4)

式中，f(k)和y(k)分別表示離散激勵信號和離散系統(tǒng)響應(yīng)，H(s)表示離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子。注意，此處的H(s)不同于上述的H(s)。上述的H(s)中的s表示復(fù)頻率，此處H(s)中的s則代表移序算子。為了區(qū)別，將離散系統(tǒng)的H(s)改寫為H(s(-))。根據(jù)H(s(-))，可以建立離散系統(tǒng)方程，H(s(-))是離散時間系統(tǒng)的重點。

在Z域中，離散系統(tǒng)響應(yīng)如下

Y(Z)=H(Z)F(Z)

(5)

其中，F(xiàn)(Z)和Y(Z)分別表示離散激勵信號和系統(tǒng)響應(yīng)的Z變換，H(Z)表示離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。顯見，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，可以得到離散系統(tǒng)響應(yīng)的解，H(Z)是離散系統(tǒng)Z域分析的關(guān)鍵。

3 系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子的核心地位分析

深入分析會發(fā)現(xiàn)，另外一個重要概念——沖激響應(yīng)也可以和轉(zhuǎn)移算子聯(lián)系起來：對于連續(xù)系統(tǒng)，若對頻率域中的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)作逆傅氏變換，可得單位沖擊響應(yīng)h(t)；在連續(xù)系統(tǒng)中，對復(fù)頻域中的系統(tǒng)函數(shù)H(s)作逆拉氏變換，可得單位沖擊響應(yīng)h(t)；在離散系統(tǒng)中，對Z域中系統(tǒng)函數(shù)H(Z)作逆Z變換，可得單位函數(shù)響應(yīng)h(k)。這些內(nèi)在關(guān)聯(lián)可以表示成如下形式：對于連續(xù)時間系統(tǒng)，已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(p)，可以建立系統(tǒng)方程

(6)

上式展開后可得系統(tǒng)方程的一般高階微分方程形式，即

(7)

對轉(zhuǎn)移算子H(p)中的變量p做變量替換，可得頻率域中的系統(tǒng)函數(shù)

(8)

對系統(tǒng)函數(shù)H(jω)作逆傅氏變換，可得系統(tǒng)分析中一個重要變量單位沖激響應(yīng)

h(t)=f-1[H(jω)]

(9)

基于H(jω)和h(t)，容易得到系統(tǒng)方程在時間域和頻率域中的零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=h(t)*f(t);
Y(jω)=H(jω)·F(jω)

(10)

復(fù)頻域中，基于連續(xù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(p)，可以用上述類似的方法得到系統(tǒng)函數(shù)H(s)，以及系統(tǒng)方程在時間域和復(fù)頻域中的零狀態(tài)響應(yīng)。

對于離散時間系統(tǒng)，已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(·)，亦可建立系統(tǒng)方程

(11)

上式展開后，可得系統(tǒng)方程的一般高階差分方程形式

y(k+n)+an-1(k+n-1)+…+a0y(k)=
bmf(k+m)+bm-1f(k+m-1)+…+b0f(k)

(12)

(13)

對系統(tǒng)函數(shù)H(Z)作逆Z變換，可得離散系統(tǒng)分析中一個重要變量單位函數(shù)響應(yīng)

h(k)=Z-1[H(Z)]

(14)

基于H(Z)和h(k)，可得系統(tǒng)方程在時間域和Z域中的零狀態(tài)響應(yīng)

y(k)=h(k)*f(k);
Y(Z)=H(Z)·F(Z)

(15)

上述分析表明，通過系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(p)和H(·)，可以把“信號分析和處理”課程的主要內(nèi)容串聯(lián)起來。如果能深刻理解和掌握轉(zhuǎn)移算子這個核心概念，不僅能建立連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的系統(tǒng)方程，而且可以完成系統(tǒng)分析。

4 結(jié)束語

“信號分析與處理”是地球物理專業(yè)的基礎(chǔ)課，內(nèi)容繁雜，公式較多。為了使學(xué)生能夠深入理解和掌握這門重要課程，本文論述了該課程的基本知識架構(gòu)和幾個重要概念，重點分析了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子、系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應(yīng)。它們之間的內(nèi)在聯(lián)系說明，基于系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子不僅可以建立系統(tǒng)的系統(tǒng)方程，而且可以完成系統(tǒng)分析。通過轉(zhuǎn)移算子這個點，可以支撐起整個這門課程的主要理論體系，因此系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子是這門課程的核心概念和內(nèi)容。深入理解和掌握系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，認識轉(zhuǎn)移算子和系統(tǒng)函數(shù)、及沖激響應(yīng)之間的關(guān)系，是學(xué)習(xí)這門課的關(guān)鍵。