用廣義帕累托分布估計極端尾部風險
——以上海、深圳股市為例

郭森，孫志賓

（北方工業(yè)大學，北京 100144）

1 引言

通過相關(guān)文獻的研究，我國學者對我國股市尖峰厚尾數(shù)據(jù)的風險測量研究達成了較大程度上的共識。但是在一些細節(jié)的方面存在一些差異，如閾值的確定，唐勇，唐振鵬應(yīng)用平均超額函數(shù)圖法、核擬合優(yōu)度統(tǒng)計量法的閾值選取方法；吳慧慧運用平均超額函數(shù)圖法；郭燕湄運用SME散點圖的方法；花擁軍，張宗益（2010）利用峰度法定量選取了閾值。在GPD參數(shù)估計方面大多數(shù)學者都選擇了極大似然估計法。

本篇論文編寫了自動順序測試程序找出閾值，并且運用Jin ZHANG（2009）提出的一個新的估計方法，這種方法改進了最大似然估計并且避免了計算問題。

2 GPD模型介紹

廣義帕累托分布（GPD）由Pickands在1975年命名，GPD是兩參數(shù)分布族，它的概率分布函數(shù)為

其中σ和ξ分別為刻度和形狀參數(shù)（σ>0）。

3 POT模型介紹

EVT的一個基本結(jié)果是著名的Pickands-Balkema-de Haan定理，它指出，對于過剩損失（X-u|X>u）從具有大閾值u>0的這種分布收斂到具有正帕累托參數(shù)ξ>0的廣義帕累托分布（GPD）。也就是說，

其中xF<∞是F的右端點，Gξ，σ（x）是GPD分布函數(shù)。因此，這個定理提供了POT框架的基礎(chǔ)，該框架能夠從u開始為GPD的尾部提供單獨的數(shù)據(jù)集建模[1]。GPD的分布函數(shù)被定義為Gξ，σ（x）=1-（1+ξx/σ）-1/ξ，x>0，ξ>0

其中σ>0是刻度參數(shù)，k是形狀參數(shù)，1/ξ=γ是尾部指數(shù)。

4 尾部風險測量

在100p%水平上的連續(xù)隨機變量X的VaR是X的分布的100p分位數(shù)，表示為

令F（x）是任意連續(xù)分布的分布函數(shù)，并定義超過u的損失事件的超出分布為Fu（y）=Pr（X-u≤y|X>u）=

該分布假設(shè)服從GPD（ξ，σ）。然后我們可以將F（x）寫成

當F（x）是三參數(shù)的GPD分布時，其估計形式變?yōu)?/p>

其中Fn是經(jīng)驗分布函數(shù)，ξ，σ是來自樣本的估計的GPD參數(shù)。VaR估計值從下式獲得

其中un是超過閾值u的超出數(shù)量，n是觀測總數(shù)。

5 實證分析

本文數(shù)據(jù)采用來自網(wǎng)易財經(jīng)的上海和深圳的日收盤綜合指數(shù)，數(shù)據(jù)取2005年1月4日至2018年6月4日，共3260個數(shù)據(jù)。日收益率采用對數(shù)收益，考慮到實際計算時收益率數(shù)字水平太小，故放大 100 倍，即：Rt=log（Pt/Pt-1）*100，其中 Pt表示第t天的日收盤價[2]。

第一，偏態(tài)分布檢驗。

表1 滬深對數(shù)收益率統(tǒng)計特征

表1給出了上證綜指和深證綜指的對數(shù)收益率的統(tǒng)計特征，我們可以看到上證綜指的峰度4.41大于3，則認為峰的形狀比較尖，比正態(tài)分布峰要陡峭；偏度為-0，57小于0，則認為有向左偏移；深證綜指的峰度2.87，則認為峰的形狀比較平，偏度為-0.72小于0，則認為有向左偏移。偏度和峰度證明了上證綜指和深證綜指的對數(shù)收益率具有厚尾的特征。K-S檢驗統(tǒng)計量為0.071332和0.11288，P-value為0，拒絕數(shù)據(jù)是正態(tài)分布。

第二，獨立性檢驗。由BDS檢驗統(tǒng)計量都為正可知，上證綜指和深證綜指對數(shù)收益率為非獨立分布。

第三，平穩(wěn)性檢驗。對序列做ADF檢驗，結(jié)果顯示序列是平穩(wěn)的。

以上的檢驗結(jié)果表明：上證綜指的對數(shù)收益率是尖峰厚尾向左偏移的分布，數(shù)據(jù)之間不獨立但是是平穩(wěn)的；深證綜指是厚尾向左偏移的分布，數(shù)據(jù)之間不獨立但是是平穩(wěn)的。

6 閾值選擇

閾值的選擇在極值分析中是至關(guān)重要的。若我們選擇的閾值太高，則觀測數(shù)據(jù)就會過少，導致方差增大；若選擇的閾值太低，則GPD近似可能不成立，產(chǎn)生有偏差的估計量。本文采取自動順序測試程序找出閾值。

由于數(shù)據(jù)量龐大本文利用統(tǒng)計軟件R編寫了自動順序測試程序，得出的結(jié)果是取閾值為2.038和2.572774。選定閾值后，對POT模型的擬合狀況進行診斷。下圖為上證綜指的對數(shù)收益率超出量的GPD估計和尾部分布的估計。從圖中可以看出，散點緊密圍繞參照線分布，深證綜指對數(shù)收益率的圖也同樣，說明擬合得非常好，模型也是適宜的。

7 參數(shù)與VaR估計

最大似然估計方法在統(tǒng)計學中一直是重要的方法，但史密斯（1984）指出，只有當k<1/2時，GPD的MLE是一致的，漸近正態(tài)的和高效的。Jin ZHANG（2009）提出了一個新的估計方法，改進了MLE并且避免了計算問題。本文運用Jin ZHANG（2009）提出的方法進行了參數(shù)估計，估計的上證綜指和深證綜指的 Sigma和 k值分別為 3.999672、0.4234715和5.017539、0.5750684。在99%的置信水平下滬市和深市的VaR分別為15.64447、18.53955

8 結(jié)語

本文從極值的視角對上證綜指和深證綜指的對數(shù)收益率利用pot模型計算了VaR。實證結(jié)果表明上證綜指和深證綜指均表現(xiàn)為尖峰厚尾，深市股票收益率VaR高于滬市股票收益率的VaR值，即深市股票收益率的潛在風險高于滬市股票的潛在風險。