高中數(shù)學(xué)排列組合解題方法與技巧研究

江西省贛州市贛縣中學(xué)北校區(qū) 王子慧

一、認真區(qū)分排列與組合，提高解題正確率

排列與組合，學(xué)生經(jīng)常把兩組概念弄混，學(xué)生如果對兩組概念沒有清晰的認知，當(dāng)面對題目時就會出現(xiàn)錯誤。教師教學(xué)時要對兩組概念進行詳細的分析，讓學(xué)生清晰地知道，排列是有順序的排列，而組合是無順序的組合。讓學(xué)生不僅對概念有了清晰的認識，在解題時也可以正確運用。教師可以從一道題目，引導(dǎo)學(xué)生認識到自己是否對兩組概念有了清晰的認知。例如：將完全相同的4個紅帽子和6個黑帽子排成一排，共有多少種不同的排法？學(xué)生思考這道題目時，如果沒有經(jīng)過充分的思考，就會認為將10個相同的帽子進行排序。此道題目核心的一點是完全相同的4個紅帽子和6個相同的黑帽子，顏色相同的帽子即使位置發(fā)生了變化，排法仍舊是一樣的。學(xué)生面對這道題目，正確的分析方法是10個帽子對應(yīng)10個位置，我們將4個紅帽子的位置先確定下來，那么剩下6個位置，就是黑色帽子的，4個紅色帽子也是相同的，這也是屬于組合的問題。接下來對問題進行分析就清晰明了。

所以在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多思考，對問題進行不同角度的解析，讓學(xué)生再面對此類問題時可以觸類旁通，輕而易舉地解決問題。

二、引導(dǎo)學(xué)生掌握常用的基本解題方法

1．插空法

插空法是排列組合題目中常用的方法，是指題目中要求某些元素不相鄰，使用其他元素隔開，先將其他元素進行排序，然后將抽離的元素插到其他元素的空隙及兩端內(nèi)。插空法經(jīng)常用在解決“教師學(xué)生座位”的問題中。例如：學(xué)校組織老師和學(xué)生一起看電影。同一排電影票有11名7名學(xué)生和4名教師。教師必須是學(xué)生中的一員，而教師并不相鄰。那有幾種不同的坐的方式？一排有一定數(shù)量的學(xué)生，然后將老師插入學(xué)生之間的差距，有4個缺口需要插入。兩個或兩個以上元素不相鄰的問題，可以使用插入方法，先排列沒有限制的元素，然后根據(jù)需要插入具有限制的元素。對問題進行思考后，得知7名學(xué)生之間的空隙共有8個位置，將4名教師插進去，共有 種。教師在教學(xué)中多灌輸插空法，幫助學(xué)生可以靈活使用此方法。

2．特殊優(yōu)先法

特殊優(yōu)先法是對有限制條件的特殊元素，我們優(yōu)先對它們進行考慮，這種方法在“小球排列”問題中較為常見。例如：桌面上有12個小球，白顏色的小球有1個，紅顏色小球5個，藍顏色小球6個，排列的要求是相同顏色的小球必須排在一起，且白球不能在兩端。請問有多少種排列的方法？對于這類題目，我們思考的角度是將三個不同顏色的小球看作一個整體，此題目中白球不能在兩端是限制條件，所以我們優(yōu)先對小白球考慮，其他的小球各自全排列即可。

3．捆綁法

捆綁法是指當(dāng)幾個元素相鄰時，我們可以將這幾個元素作為一個整體，在題目中進行排列。例如：教室里有7把椅子，椅子并排成一列，對椅子按照順序進行標(biāo)號，標(biāo)號順序為：a，b，c，d，e，f，g，對7把椅子進行排序，要求a，b椅子總在一起，請問一共有多少排序方法？題目中a，b椅子必須在一起，我們這時候可以使用捆綁法，將a，b椅子看作一個整體，其余的5把椅子進行全排列，a，b兩把椅子的排列順序有2個，兩者相乘即可解決此問題。

在實際教學(xué)中，這三種方法是常常用到的，題目中常常需要三種方法相互使用，所以教師一定要教導(dǎo)學(xué)生靈活運用。

三、引導(dǎo)學(xué)生進行實際操作，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合的興趣

很多教師在進行排列組合的教學(xué)時，只是一味枯燥地講解或者給學(xué)生留很多習(xí)題作業(yè)，這些教學(xué)方法不能激發(fā)學(xué)生對知識的興趣。另外，排列組合的題目因為涉及很強的邏輯性，學(xué)生有時就是無法理解其中的關(guān)鍵步驟，對排列組合知識產(chǎn)生畏難心。排列組合題目雖然抽象，但很多題目來源于生活的現(xiàn)實問題，設(shè)計排列組合的游戲是一個非常好的方法，教師可以組織學(xué)生參與排列組合的游戲中，例如：有4把1～4號椅子，有四個同學(xué)也按照1～4號進行編號，要求兩個同學(xué)選兩把椅子坐，同學(xué)編號必須與凳子的標(biāo)號相同。請問共有多少排列的方式？教師指導(dǎo)學(xué)生參與游戲，學(xué)生在參與的過程中，可以將看不見、摸不著的邏輯思維外化在游戲中。這樣化解了排列組合的教學(xué)難點，學(xué)生可以很清晰地理解排列組合的數(shù)學(xué)思維。

總之，排列組合問題既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的能力，也考查了學(xué)生解決現(xiàn)實生活中的問題的能力。教師在進行排列組合教學(xué)時，一定要多結(jié)合現(xiàn)實生活進行講解，讓學(xué)生可以使用多種方法理解題目蘊含的數(shù)學(xué)思想，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，準確地解決現(xiàn)實生活遇到的問題。