巧借集合運算理解簡易邏輯

吉林省實驗中學(xué) 王 磊 施麗娜

數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用。在現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)教育是終身教育的重要方面，它是公民進(jìn)一步深造的基礎(chǔ)，是終身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教學(xué)任重道遠(yuǎn)。

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代公民應(yīng)具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思考、交流還是從事各項工作，都需要正確使用邏輯用語來準(zhǔn)確表達(dá)自己的思維。那么在實際教學(xué)中，怎樣幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和理解這部分內(nèi)容，值得一線教師去思考。經(jīng)過課堂實踐教學(xué)經(jīng)驗表明，將學(xué)生熟悉的集合關(guān)系和集合運算與邏輯部分對照教學(xué)，可以取得意想不到的學(xué)習(xí)效果?，F(xiàn)分以下幾種情況進(jìn)行闡述：

一、“集合的包含關(guān)系”與“互為逆否命題的兩個命題同真同假”的對照教學(xué)

對“互為逆否命題的兩個命題同真同假”的理解是學(xué)生在簡易邏輯部分學(xué)習(xí)中遇到的第一個難點。雖然我們可以通過對多個命題的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但是總會給學(xué)生帶來以點帶面的遺憾。借助集合間的包含關(guān)系說明這一問題，則使學(xué)生理解起來簡單明了。

若原命題“若p則q”為真，即研究對象只要具備條件p，則其必定滿足結(jié)論q。我們不妨設(shè)P={x|x滿足條件p}，Q={x|x滿足條件q}，則命題“若p則q”為真可以理解為 ,則必有x∈Q成立，即 。研究逆否命題“若 則 ”，即研究對象不具備條件q，則一定不滿足結(jié)論P。從集合角度理解，其含義為如果元素 ,則

。由于原命題為真，表示P是Q的子集，集合Q包含集合P，故此元素不屬于集合Q，則其不屬于集合P一定成立，于是原命題的逆否命題為真。若原命題為假，集合P和集合Q不存在包含關(guān)系，那么元素不屬于集合Q，推不出該元素不屬于集合P，其逆否命題為假。

二、“集合的包含關(guān)系”與“充分條件、必要條件”的對照教學(xué)

定義指出：“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得到q，我們說，由p可推出q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件。為什么對q而言，p是充分的？為什么對p而言，q是必要的？

從前面的分析和設(shè)定可以知道，“若p則q”為真，可視為P是Q的子集。例如設(shè)集合P={x|x＞1}, 集合Q={x|x＞0},，那么x∈P，即 x ＞1的條件滿足充分保證了x＞0，即x∈Q的成立，p的出現(xiàn)充分保證了q的成立；當(dāng)x＞0時，未必有x＞1，但x如果都不能大于0，則它不可能大于1，故對于x∈p來說，x∈q是必要的。這樣看來，“充分條件和必要條件”的稱謂實至名歸。

三、集合運算“交、并、補”與邏輯聯(lián)詞“且、或、非”的對照教學(xué)

通過學(xué)習(xí)我們了解到，對于邏輯聯(lián)詞“且”聯(lián)接的命題，有下列規(guī)定：若p、q都是真命題，則命題P∧q為真命題；若命題p和q中有假命題（僅有一個或兩個），則P∧q為假命題。再來回顧“交集”的含義：當(dāng)x∈p和x∈Q同時成立時，才有x∈P∩Q成立；當(dāng)x∈p和x∈Q只要有一個不成立時，x∈P∩Q就不成立。如果讓“真”“假”分別對應(yīng)“屬于”“不屬于”，那么“且”和“交”就取得含義和表達(dá)形式的一致性。

從“并集”的角度出發(fā)，可以更加清晰準(zhǔn)確地理解對使用邏輯聯(lián)詞“或”聯(lián)接的命題真假的規(guī)定。什么是P和Q的并集？它包含三個獨立部分，分別是P∩CUQ、P∩Q、CUP∩Q，只要元素x屬于其中的任何一部分，就都可以認(rèn)為x∈P∩Q。剛好對應(yīng)了“P∨q”形式的命題中，P真Q假、P真Q真、P假Q(mào)真時都是真命題，只有P假Q(mào)假時才是假的規(guī)定。

命題p和它的否定必定一真一假，若認(rèn)為“命題p為真”對應(yīng)“x∈P”,則x CUP,即命題p的否定“為假命題”；若“命題p為假”對應(yīng)“x∈P”,那么“x∈CUPn”,即“命題p的否定 為真”成立。從補集的角度理解對命題p的否定，使得全稱命題和特稱命題的否定更加容易接受。

無論全稱量詞“任意一個”還是特稱量詞“存在一個”，強調(diào)的都是滿足某個條件的元素的數(shù)量，例如“任何一個矩形都是平行四邊形”，指出“不是平行四邊形的矩形一個都沒有”，即數(shù)量n=0，得到集合P=｛n∈N＊|n=0｝,而集合P的補集為｛n∈N＊|n＞0｝，可以理解為“不是平行四邊形的矩形的個數(shù)至少有一個”，即“存在一個矩形不是平行四邊形”。

從以上分析可以看出，在命題與集合之間，建立起邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”與集合運算“交、并、補”的對應(yīng)關(guān)系，體現(xiàn)聯(lián)系的觀點，借助已知去學(xué)習(xí)未知，用熟悉的內(nèi)容理解陌生的知識，往往可以取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。