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    從代數(shù)式運(yùn)算角度看數(shù)學(xué)問題

    2018-11-30 07:03:10程足根
    讀寫算 2018年10期
    關(guān)鍵詞:四位數(shù)代數(shù)式魔術(shù)師

    摘 要 初中數(shù)學(xué)中代數(shù)式運(yùn)算看似是一種形式運(yùn)算,實(shí)際它在一定程度上可以簡化計(jì)算,也可通過運(yùn)算看清問題本質(zhì),甚至可以把問題一般化,從而把問題推廣,本文通過具體實(shí)例展示從代數(shù)式運(yùn)算看數(shù)學(xué)問題。

    關(guān)鍵詞 代數(shù)式運(yùn)算;數(shù)學(xué)問題

    中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1002-7661(2018)10-0072-01

    問題一:兩位數(shù)相乘,十位相同,個(gè)位相加等于10。

    例如:14×16=224;13×17=221;22×28=616;35×35=1225

    上式運(yùn)算規(guī)律屢見不鮮。筆者從代數(shù)式運(yùn)算角度加以說明。

    解:假設(shè)被乘數(shù)與乘數(shù)十位都是x,個(gè)位分別是y和z,則(10x+y)(10x+z)=100x(x+1)+yx,yz就是被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位的乘積,100x(x+1)表示x(x+1)落在百位位置。那么當(dāng)個(gè)位相加不足十或超過十如何處理,現(xiàn)假設(shè)y+z-10=m(m≠0),則(10x+y)(10x+z)=100x(x+1)+yz+100xm

    如何看上述代數(shù)運(yùn)算,例如26×27,則x=2,y=6,z=7,m=3。我們同樣運(yùn)用上述規(guī)律6×7=42,2×3=6,結(jié)果642,但是還要加100xm=10×2×3=60,所以最終結(jié)果642+60=702。

    那么對于三位數(shù)乘以三位數(shù),百位數(shù)相等,去掉百位數(shù)后兩數(shù)相加等于100。例如234×266。運(yùn)算規(guī)律為34×66=2244,2×3=6,結(jié)果為234×266=62244,代數(shù)運(yùn)算原理同上。

    數(shù)與數(shù)的運(yùn)算在很多情況下都有簡便快速的運(yùn)算方法,在小學(xué)就經(jīng)常訓(xùn)練簡便運(yùn)算,甚至有很多書籍專門介紹簡便運(yùn)算,究其原理,大多可以從代數(shù)運(yùn)算層面解釋。

    問題二:

    當(dāng)然此類問題是高中數(shù)列中求和問題,在初中數(shù)學(xué)競賽中可能出現(xiàn),可從代數(shù)運(yùn)算角度思考。

    解:因?yàn)?所以

    本題先從代數(shù)式運(yùn)算出發(fā),通過運(yùn)算完美地開方,關(guān)鍵開方后實(shí)現(xiàn)裂項(xiàng)相消,從上述解答來看,已對問題作了推廣。

    問題三:當(dāng) , ,代數(shù)式 的值是多少?

    解: ,代入a,b的值,則原式

    在初中階段,代數(shù)式求值運(yùn)算是一類常見的題型,如果直接代數(shù)運(yùn)算,求解過程將顯得復(fù)雜、粗心的話還將陷入絕境,若通過代數(shù)運(yùn)算先把代數(shù)式化簡,再代數(shù),才能真正實(shí)現(xiàn)撥云見霧,給人一種柳暗花明的感覺。

    問題四:求解方程: 。

    解:因?yàn)榇朔匠虨榈箶?shù)方程且x=0不是方程的解。方程兩邊同時(shí)x2得 ,整理得

    設(shè) ,則 ,原方程化為y2+y-6=0,解得y=2或y=-3。當(dāng)y=2時(shí),解得x=1;當(dāng)y=-3時(shí),解得 或 。

    上述方程從結(jié)構(gòu)上看是一元四次方程,但通過代數(shù)運(yùn)算和換元之后變成一元二次方程,問題變得清晰明了。初中階段絕大部分無從下手的方程基本都是熟悉的陌生人,通過代數(shù)運(yùn)算,往往“原形畢露”。

    問題五:魔術(shù)師的數(shù)學(xué):魔術(shù)師讓觀眾任意寫一個(gè)四位數(shù)(四個(gè)數(shù)字不要都相同),然后用這四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字再隨意組成另外一個(gè)四位數(shù),接著兩四位數(shù)相減(大數(shù)減小數(shù)),最后讓觀眾心中記住所得差中的任意一位數(shù)字,把剩下數(shù)告訴你魔術(shù)師。例如:四位數(shù)一:8745;調(diào)序后四位數(shù)二:4758;相減得3987;心中記住:7;余下的告訴魔術(shù)師:398;那么魔術(shù)師怎么能猜透你心中的7呢?代數(shù)原理如下:

    假設(shè)四位數(shù)為 ,不妨調(diào)一下順序 ,那么abcd-dcba=9(111a+

    10b-10c-111d)

    可見結(jié)果必為9的倍數(shù),那么其各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù),魔術(shù)師就是抓住此必然規(guī)律。

    數(shù)學(xué)魔術(shù)蘊(yùn)含必然的數(shù)學(xué)規(guī)律,需轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,而此時(shí)的數(shù)學(xué)問題往往是代數(shù)問題,通過對代數(shù)問題的分析,抽絲剝繭,才能揭開魔術(shù)的神秘面紗。

    教學(xué)反思。初中代數(shù)式運(yùn)算貫穿數(shù)與式的運(yùn)算、方程與不等式求解、函數(shù)問題,幫助學(xué)生從數(shù)量關(guān)系角度準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識(shí)、描述以及理解現(xiàn)實(shí)世界。但是如果只追求代數(shù)式運(yùn)算的科學(xué)性和系統(tǒng)性,過分追求“形式化”,忽略其與生活的聯(lián)系和應(yīng)用價(jià)值,這將使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣,本文通過代數(shù)式運(yùn)算角度闡述數(shù)學(xué)問題的解答,尋求解答規(guī)律,展示其原理,一定程度上讓學(xué)習(xí)感受到代數(shù)式運(yùn)算的實(shí)用性,加強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的理解。實(shí)際上,初中教學(xué)不應(yīng)停留在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)層面,應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考,用數(shù)學(xué)的眼光探索數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,甚至看清世界。

    參考文獻(xiàn):

    [1]李龍.競賽中代數(shù)式求值問題的常用解法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2018(1):8-11.

    [2]劉明偉.巧求代數(shù)式的值[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2012(1):43-44.

    [3]黃格群.換元法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)練研究,2018(2):68.

    作者簡介:程足根(1967-),男,江西南昌,學(xué)歷:本科,職稱:中學(xué)一級(jí)教師,研究方向:代數(shù)數(shù)論。

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