近五年國內(nèi)外數(shù)學影視作品中的數(shù)學探析＊

龔 暉，萬安華

（中山大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510275）

數(shù)學之樹，經(jīng)過數(shù)千年的不斷成長，如今已枝繁葉茂、花團錦簇。奧妙無窮的數(shù)學理論、浩如煙海的數(shù)學書籍、神秘傳奇的數(shù)學人物，衍生了多樣的數(shù)學文化作品，比如數(shù)學影視作品。如今越來越多的具有數(shù)學專業(yè)性的紀錄片和電影被拍攝出來，它們不僅展現(xiàn)了數(shù)學和數(shù)學家們更加真實的面貌，也提供給了觀眾一條更有趣的了解數(shù)學的途徑。

近五年涌現(xiàn)了很多優(yōu)秀的數(shù)學影視作品，比如傳記電影《知無涯者》講述了印度傳奇數(shù)學家拉馬努金如璀璨流星的一生；傳記電影《模仿游戲》聚焦于圖靈在布萊切利園解密“英格瑪”協(xié)助盟軍獲得二戰(zhàn)勝利的故事；紀錄片《大海撈針：張益唐與孿生素數(shù)猜想》介紹了當代華人數(shù)學家張益唐在孿生素數(shù)研究方面取得的突破性進展。這三位數(shù)學家已廣為人知，不再贅述。

本文選取了近五年出現(xiàn)的四部優(yōu)秀數(shù)學理論紀錄片，并對影片中的數(shù)學理論做了一些深入的挖掘，旨在給非數(shù)學專業(yè)的觀影者一些專業(yè)的數(shù)學指導(dǎo)和給數(shù)學專業(yè)的人一些觀影建議。

1 數(shù)學與數(shù)學理論的魅力

1.1 《邏輯的樂趣》中的數(shù)學

1.1.1 邏輯的發(fā)展史

1.1.1.1 亞里士多德與三段論

邏輯的歷史可以追溯到2500年前的古希臘時期，亞里士多德創(chuàng)造了第一個正式的邏輯規(guī)則——三段論。

1.1.1.2 道奇森與批判思維

19世紀，數(shù)學家查爾斯·道奇森改變了只有哲學家鉆研邏輯的現(xiàn)狀，他為邏輯游戲和數(shù)理邏輯著書，是普及邏輯推理和批判思維的第一人。

1.1.1.3 布爾代數(shù)和布爾邏輯

1847年，喬治·布爾出版了關(guān)于邏輯的里程碑式的專著《邏輯的數(shù)學分析》，這本書搭起了邏輯與代數(shù)之間的橋梁。1854年，更為完善的邏輯書籍《思維的規(guī)則》被出版，布爾在書中創(chuàng)立了布爾代數(shù)和布爾邏輯，這本書也因此成為了他最著名的著作。

1.1.1.4 弗雷格與新邏輯量詞

德國數(shù)學家戈特洛布·弗雷格證明了邏輯能夠勝任對確定性的研究。19世紀末，他提出了新邏輯量詞，打開了邏輯學的新篇章。

1.1.1.5 羅素與悖論

英國哲學家伯特蘭·羅素花了9年時間寫出了具有里程碑意義的《Principia Mathematica》，在書中，他提出了關(guān)于集合的著名悖論，并論證了他的論點：數(shù)學和邏輯是一致的。

1.1.1.6 哥德爾與數(shù)學邏輯系統(tǒng)的有限性

哥德爾通過研究羅素的著作得出結(jié)論：任何邏輯系統(tǒng)不是非矛盾的就是完整的，但它不能同時具備兩種屬性。他發(fā)現(xiàn)了羅素著作中的矛盾，那就是不完全性，并證明了所有數(shù)學邏輯系統(tǒng)都是有局限的。

1.1.1.7 圖靈與邏輯的實用性

圖靈提出了“圖靈機”和“有些問題是不可計算的”的觀點，無意間開啟了一個全新的更注重實踐的邏輯革命，成功地把邏輯與現(xiàn)代世界連接了起來。

1.1.2 邏輯的潛能

邏輯在數(shù)學理論上的發(fā)展似乎已到盡頭，但卻成為了計算機的根基，在所有工程科學中獲得了意義重大的成就；邏輯不僅掀起了數(shù)字革命，也是我們用來分類、檢索、獲取網(wǎng)絡(luò)信息的工具，幾乎所有復(fù)雜的系統(tǒng)都會用到它；邏輯推理能力也是人工智能機器應(yīng)該具備的基礎(chǔ)和重要的能力。

1.2 《現(xiàn)代生活的秘密規(guī)則：算法》中的算法

1.2.1 最大公約數(shù)算法

已知的最古老的算法，是古希臘數(shù)學家歐幾里得提出的求最大公約數(shù)的算法——歐幾里得算法，拓展歐幾里得算法則在公鑰密碼學中有著廣泛的應(yīng)用。

1.2.2 排序算法

除了冒泡排序算法和歸并排序算法這兩種經(jīng)典算法之外，世界上還有20多種排序算法，比如選擇排序、插入排序、希爾排序、快速排序、堆排序等。它們有不同的時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度和穩(wěn)定性，各有優(yōu)缺點。

1.2.3 網(wǎng)頁排名算法

網(wǎng)頁排名算法的思想在于一個頁面的重要性取決于鏈接過來的其他頁面的重要性；此算法還適用于其他領(lǐng)域的圖形或者網(wǎng)絡(luò)，它現(xiàn)在常用于文獻計量學、社會和信息網(wǎng)絡(luò)分析以及量化研究者的科學影響。

1.2.4 人臉識別算法

人臉識別算法在日常生活中被廣泛應(yīng)用，比如拍照時的面部識別、監(jiān)控布控公共場所、公安照片搜索系統(tǒng)、門禁出入、身份識別等等。該算法還需要攻克光照、姿態(tài)、遮擋、年齡、樣本缺乏、海量數(shù)據(jù)等難題，有很大的進步空間。

1.2.5 延遲接受算法

1962年，美國數(shù)學家David Gale和Lloyd Shapley發(fā)明了一種可以得到穩(wěn)定匹配方案的策略，人們稱之為蓋爾-沙普利算法，也稱為延遲接受算法。該算法應(yīng)用非常廣泛，比如網(wǎng)站交友匹配、解決擇校問題、醫(yī)學問題等等；改進的蓋爾-沙普利算法還被應(yīng)用到價格起作用的市場中，比如拍賣。

1.2.6 啟發(fā)式算法

面對像旅行推銷員這類難題時，人們雖然還沒能找到有效的算法得到最優(yōu)解，但能夠通過啟發(fā)式算法找到盡可能接近最優(yōu)解的解決方案。啟發(fā)式算法以仿自然體算法為主，主要有仿動物，比如蟻群算法；仿植物，比如模擬植物生長算法；仿人類，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；其他，比如模擬退火法。

1.2.7 機器學習

機器學習是一門多領(lǐng)域交叉學科，是人工智能的核心。它有著非常廣泛的應(yīng)用，比如數(shù)據(jù)挖掘、計算機視覺、搜索引擎、圖像識別、語音和手寫識別等。

1.3 《CHAOS》中的理論淺析

1.3.1 混沌

混沌，是指確定性動力學系統(tǒng)因?qū)Τ踔禈O度敏感而表現(xiàn)出的不可預(yù)測的、類似隨機的不規(guī)則運動?；煦绗F(xiàn)象在現(xiàn)實生活中無處不在，具有不確定、不可重復(fù)和不可預(yù)測的特性。

1.3.2 混沌性

1.3.2.1 洛倫茲吸引子

美國氣象學家洛倫茲發(fā)現(xiàn)混沌存在于自己提出的大氣模型中，但也發(fā)現(xiàn)這些隨機軌線最終會穩(wěn)定到形如蝴蝶翅膀的奇異吸引子上。這個奇異吸引子被發(fā)現(xiàn)，意味著混沌具有某種有序性。

1.3.2.2 馬蹄鐵

斯梅爾提出了抽象的馬蹄鐵，蹄鐵中的軌跡對于初始條件高度敏感，但蹄鐵的整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定?；煦缧?，即單個軌跡的不穩(wěn)定性和整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，兩者并存。

1.3.2.3 紙條模型

柏曼、古根海墨和和威廉斯提出了簡單的數(shù)學模型——紙條模型，來理解洛倫茨吸引子內(nèi)部的動力系統(tǒng)如何運作；其后，數(shù)學家塔克則給出了關(guān)于兩者有關(guān)聯(lián)的嚴謹證明。

1.3.2.4 洛倫茲理論

除了蝴蝶效應(yīng)，洛倫茲還提出，微小的變化不會改變天氣事件發(fā)生的概率，只能改變這些事件所發(fā)生的順序。科學家們猜測天氣氣象的混沌和統(tǒng)計數(shù)值的穩(wěn)定性兩種現(xiàn)象共存。因此，人們不再嘗試預(yù)測未來某一天的準確的大氣狀態(tài)，轉(zhuǎn)而尋找某種概率，因為比如平均值、概率等統(tǒng)計數(shù)值可能不敏感于初始條件。

1.3.2.5 混沌理論的應(yīng)用

混沌理論，尤其是蝴蝶效應(yīng)，通常用于天氣、股票市場等在一定時段難以預(yù)測的比較復(fù)雜的系統(tǒng)中；混沌理論在經(jīng)濟學、語音研究領(lǐng)域也開始被應(yīng)用；近幾年來，英、日等國科學家還在開發(fā)用混沌信號隱藏機密信息的信號傳輸方法。

1.4 《數(shù)學大迷思》中的數(shù)學哲思

1.4.1 自然中的數(shù)學

數(shù)學與自然之間存在著深刻又神秘難懂的聯(lián)系，比如，斐波拉契數(shù)列常常出現(xiàn)在植物里；常數(shù)π出現(xiàn)在任何有波紋的模型中；分子中的原子比和行星公轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)比都對應(yīng)著簡單的數(shù)學比率等。數(shù)學似乎在自然界中無處不在，真實存在的事物本身就有數(shù)學特質(zhì)嗎？

1.4.2 抽象思維中的數(shù)學

伽利略從自由落體運動中得到了數(shù)學規(guī)律；牛頓得到了存在于星球間相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學定律——萬有引力定律……科學家們建立了數(shù)學公式，成功地描述和解釋了很多現(xiàn)象，很像是人們自己組建了理解世界的語言——數(shù)學。因此，數(shù)學來自于人類的大腦嗎？

1.4.3 數(shù)學的正確性

數(shù)學的正確性保證了數(shù)學預(yù)測的準確性。約200年前，人們利用數(shù)學預(yù)測發(fā)現(xiàn)了海王星；麥克斯韋建立的電磁理論預(yù)測了電磁波的存在；上帝粒子也被預(yù)測存在。數(shù)學在揭示宇宙奧秘時有著不可思議的精確性，那么數(shù)學理論是毋庸置疑地正確嗎？

1.4.4 數(shù)學的局限性

數(shù)學模型在物理領(lǐng)域已是大放異彩，但在其他領(lǐng)域，比如天氣預(yù)測、大腦中神經(jīng)元互動的方式、心理學的很大一部分、生物學的很多問題等，還包括像生物學系統(tǒng)、經(jīng)濟學系統(tǒng)這些復(fù)雜的動力系統(tǒng)，都很難對其建立精準的數(shù)學模型。

1.4.5 數(shù)學的近似用法

在現(xiàn)實世界里，精確數(shù)學往往要讓步于近似數(shù)學。因為人們對實用的部分更感興趣，所以，會稍微犧牲數(shù)學的精確性，采用取巧的簡潔方法——作近似，忽略掉一些項從而使方程更簡單。工程師們往往要犧牲一部分數(shù)學的精確性，以便使得數(shù)學在實際生活中更加好用，使得數(shù)學像是我們自己制造的一個不完美的工具。數(shù)學到底是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明，至今沒有明確的答案。

2 結(jié)論

本文側(cè)重于補全和理清影視作品中關(guān)于數(shù)學理論的內(nèi)容，揭示了紀錄片中出現(xiàn)的數(shù)學知識和介紹了數(shù)學理論的應(yīng)用，比如梳理了邏輯發(fā)展的歷史和應(yīng)用、現(xiàn)代生活中最常用的算法、對混沌理論做出了淺顯的解釋等。將數(shù)學影視資源適當、有效地融入到數(shù)學的學習和教學中，對于提高學習興趣和推進教學效果來說都是一個有意義的舉措。