一個(gè)最值問(wèn)題的探究之旅

丁君斌 陳香云

課堂中，學(xué)生提出了教師事先沒(méi)有想到的問(wèn)題，教師該如何對(duì)待呢？是視而不見(jiàn)或生硬扼殺地拉回到自己原先設(shè)計(jì)好的軌道上來(lái)，還是順勢(shì)借力使學(xué)生的提問(wèn)真正成為課堂的教學(xué)資源，讓學(xué)生在課堂上探索他們自己產(chǎn)生的、有興趣、有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，筆者在一節(jié)“平面向量”復(fù)習(xí)課中，就出現(xiàn)這樣的情景，茲實(shí)錄如下：

通過(guò)巡視教室發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生都是這樣做的，筆者準(zhǔn)備講下一道例題時(shí)，忽然，有一個(gè)學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“老師，向量具有幾何、代數(shù)雙重身份，你的方法是用代數(shù)法，解得也非常巧妙，可是我覺(jué)得這道題幾何特征明顯，是不是可以用幾何法解決呢？我根據(jù)題意畫(huà)出如圖2所示的圖形，即點(diǎn)P在以0為圓心1和2為半徑的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B1，B2分別在在半徑為3和4的圓上，點(diǎn)A，P是矩形PB1AB2的兩個(gè)頂點(diǎn)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在圖2中求|OA|的取值范圍.”

學(xué)生提出了問(wèn)題，而且是教師也不知道能不能解決的問(wèn)題，怎么辦？如果想解決這個(gè)問(wèn)題，很可能最后會(huì)無(wú)功而返，教師“面子丟盡”.正準(zhǔn)備留給學(xué)生一句話：“這個(gè)問(wèn)題提的很好，我們留到課后再探究”然后繼續(xù)今天的預(yù)設(shè)教案，轉(zhuǎn)眼看到這個(gè)學(xué)生期許的眼光，筆者猶豫了，學(xué)生能夠提出問(wèn)題，說(shuō)明他對(duì)所學(xué)的內(nèi)容感興趣，他在積極的思考，他有解決這個(gè)問(wèn)題的期許，他想從老師那里得到自己需要的東西，如果留到課后探究，效果可能大打折扣，于是決定放棄自己既定的教學(xué)目標(biāo).

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你自己的困惑，或者說(shuō)你在哪里卡住了？

（課堂上面對(duì)新問(wèn)題，把問(wèn)題拋還給學(xué)生，激發(fā)他們思考的熱情，同時(shí)也為自己留點(diǎn)思考時(shí)間.）

生1：主要是動(dòng)點(diǎn)太多，有PB1，A2B2個(gè)動(dòng)點(diǎn).

師：真的有4個(gè)動(dòng)點(diǎn)嗎？或者說(shuō)是否可以不妨固定某個(gè)動(dòng)點(diǎn)嗎？

生1：可以固定B或B2，因?yàn)锽1，B2都可以在圓上任意動(dòng)，固定其中的一點(diǎn)不會(huì)影響題目的結(jié)果，我就把B1點(diǎn)固定在（3，0）.另外根據(jù)向量的加法原理，如果P點(diǎn)定了A點(diǎn)和B2也隨之確定，所以我這道題目實(shí)際上就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

師：那以前碰到動(dòng)態(tài)問(wèn)題怎么處理的呢？

生1：特殊化原則，當(dāng)點(diǎn)P在半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，甚至更特殊就取P（1，0），如圖3.

師：好，那我們就特殊化試試看.（1分鐘后）

生1：老師，當(dāng)P（1，0）時(shí)，如圖求得|OA|=2√6.好像就是最大值，如果能證明P點(diǎn)在其它地方都比2√6小就可以了.

師：能證明嗎？其他同學(xué)一起試試看能否證明？（5分鐘后）

生2：老師，我另外取了幾個(gè)特殊點(diǎn)P（O，1），P（一1，0），P（√2/2，√2/2），算出來(lái)結(jié)果都是|OA|=2√6，所以我猜想只要是同一個(gè)圓上任意點(diǎn)P，恒有OA=2√6.

師：這位同學(xué)想法很好，由特殊到一般，形成猜想，這是數(shù)學(xué)中的很重要的思想，老師也不知道這個(gè)猜想是否正確，下面我們分兩組對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，一組繼續(xù)取特殊值驗(yàn)證是不是定值;另一組嘗試能否證明這個(gè)猜想？（5分鐘后，取特殊點(diǎn)的一組同學(xué)還是無(wú)法找到反例，另一組同學(xué)也無(wú)法找到證明，這時(shí)突然一個(gè)學(xué)生站起來(lái)）

生3：通過(guò)對(duì)取特殊點(diǎn)計(jì)算的過(guò)程，我發(fā)現(xiàn)|OA|的值僅與|OB1|，|OB2|，|OP|有關(guān)，且有|OA|2=|OB1|2+ |OB2|2-|OP|2，所以我形成另一個(gè)猜想，無(wú)論點(diǎn)p在哪里都有|OA|2= |OB1|2+|OB2 |2一|OP|2.如果能證明這個(gè)等式，那么上面的猜想就證明了.

師：（真是一波未平一波又起）為了證明一個(gè)猜想，只需證明另一個(gè)猜想，這也是數(shù)學(xué)中的一種重要思想等價(jià)轉(zhuǎn)化是想，那我們來(lái)試試看能否證明？

（通過(guò)巡視，教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生陷入僵局，此時(shí)教師已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)就是平面幾何中的一個(gè)結(jié)論，利用向量很容易證明，至此本題已經(jīng)解決，于是老師做了以下引導(dǎo)）

師：P，B1，A2，B2這四點(diǎn)有什么特征嗎？或者說(shuō)，他們之間有什么聯(lián)系？ （4分鐘后）

生4：P，B1，A，B2，四點(diǎn)共圓，并且AP和B1B2分別是這個(gè)圓的兩條不同直徑（如圖4）.于是又轉(zhuǎn)化為只需證明以下結(jié)論：AB是圓M的任意一條直徑，Ⅳ為平面上一定點(diǎn)（如圖5），則|NA|2+ |NB|2為定值.

師：能證明嗎？（3分鐘后）

生4：利用向量可以證明，因?yàn)镹A+ NB= 2MN，NA - NB= AB，兩式平方和可得到|NA|2+ |NB|2=4|MN|2 +|AB|2（為定值）.因此在圖4中因?yàn)镻，B1，A，B2四點(diǎn)共圓，且AP及B1B2分別是的兩條不同直徑，O為定點(diǎn)，|OA|2 +|OP|2=|OB1|2 +|OB2|2，所以原題就很容易解決（如圖6）：

因?yàn)閨OA|2= |OB1|2+|OB2|2-|OP|2= 25-|OP|2，由1<|OP|<2.

所以|OA|的取值范圍為（√21，2√6）.

至此下課時(shí)間到了，學(xué)生們還沉浸在發(fā)現(xiàn)的喜悅中，意猶未盡，筆者趁熱打鐵，提出下面兩個(gè)問(wèn)題當(dāng)做課后作業(yè)：

1.（2017年高考浙江卷·理15）已知向量a，6滿足|a|=1，|b|=2，則a+bl+|a-b|的最小值是____，最大值是____.

2.（2016年高考浙江卷·理6改編）已知平面向量a，b滿足|a|=√3/4：b=e1+ λe2（λ∈R），其中e1，e2為不共線的單位向量，若對(duì)符合上述條件的任意向量a，b恒有|a-b|≥√3/4，則e1，e2夾角的最小值為（ ）

A.π/6

B.π/3

C. 2π/3

D. 5π/6

課后大家熱情高漲，通過(guò)批改作業(yè)發(fā)現(xiàn)這兩題的解法非常之多，對(duì)“向量”這一節(jié)內(nèi)容真正做到了靈活運(yùn)用.

葉圣陶先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“要讓課堂活起來(lái)”，當(dāng)課堂上遇到學(xué)生的突然發(fā)問(wèn)，這些發(fā)問(wèn)不一定是我們?cè)趥湔n中能預(yù)料到的，有的甚至是些稀奇古怪的問(wèn)題，怎么辦？本節(jié)課教師把學(xué)生的問(wèn)題還給學(xué)生解決，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究興趣，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的尊重，使課堂鮮活生動(dòng).

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程應(yīng)當(dāng)是學(xué)生“做中學(xué)”、“悟中學(xué)”的過(guò)程，學(xué)生在課堂的突然發(fā)問(wèn)，恰恰說(shuō)明了學(xué)生思維的活躍，往往是課堂的閃光之處，如果充分利用這些突然發(fā)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己討論把問(wèn)題解決掉，可以為教師處理教學(xué)爭(zhēng)取一點(diǎn)時(shí)間，還會(huì)把學(xué)生的思維引向深入，另外，當(dāng)堂解決問(wèn)題，也是對(duì)學(xué)生的發(fā)展負(fù)責(zé).

王尚志教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能離開(kāi)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、創(chuàng)新…它們綜合體現(xiàn)在‘發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中，”課堂中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉學(xué)生思維的火花，給他們提供適當(dāng)?shù)奈枧_(tái)，創(chuàng)新的見(jiàn)解就會(huì)源源不斷地涌現(xiàn)出來(lái).