高一解析幾何初步教學(xué)的“適度”解讀

汪清珠

解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，在建立的坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)能夠與有序?qū)崝?shù)對之間建立起對應(yīng)關(guān)系，從而使平面上某些曲線與某些方程之間建立對應(yīng)關(guān)系;使平面圖形的某些性質(zhì)（形狀、位置、大?。┛梢杂孟鄳?yīng)的數(shù)、式表示出來;使平面上某些幾何問題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題來研究.學(xué)習(xí)解析幾何，要特別重視以下兩方面的問題：（1）熟練掌握圖形、圖形性質(zhì)與方程、數(shù)、式的相互轉(zhuǎn)化和利用;（2）與代數(shù)、三角、平面幾何密切聯(lián)系和靈活應(yīng)用.

高一必修二的解析幾何包括兩個(gè)章節(jié)的內(nèi)容：直線與方程、圓與方程，這一部分內(nèi)容的教學(xué)奠定了高中解析幾何教學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該引起高一數(shù)學(xué)教師重視，這部分的教學(xué)不單單是知識本身，還有相關(guān)的思想方法，處理問題的辦法等等，在以往的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生甚至有的教師會覺得只要能解決問題就可以了，忽略了其他一些方法的教與學(xué)，這樣處理高一解析幾何初步的教與學(xué)是非常危險(xiǎn)的，這對于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)發(fā)展其實(shí)是相當(dāng)不利的，以下筆者從兩個(gè)方面來解讀高一解析幾何部分教學(xué)的適度問題：

1直線與方程部分

兩條直線的平行和垂直的判定以及根據(jù)兩條直線的平行或垂直求參數(shù)的問題是回避不了的問題，由于在教學(xué)的時(shí)候會先涉及到直線的斜截式，因此學(xué)生最先接觸到的必然是如何利用直線的斜率和截距去判斷兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線的平行和垂直的等價(jià)條件.這一方法在教材里也有明確的例題闡述說明，分類討論的思想在這里也得到了落實(shí).

對于高一的學(xué)生而言，上述要求是比較高的，但也是必須掌握的.

由于在學(xué)完直線的一般式方程后，教材沒有再補(bǔ)充如何應(yīng)用直線的一般式方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線的平行和垂直的等價(jià)條件在這種形式下又是什么，沒有再進(jìn)行明確的闡述，僅在課后習(xí)題中設(shè)置一道證明兩條直線垂直的問題，有的教師甚至提出對于兩直線平行或者垂直在直線方程一般式下的等價(jià)條件不予教學(xué)，全部要求學(xué)生分類討論，考慮直線斜率存在與否，直線斜率存在問題轉(zhuǎn)化為斜截式進(jìn)行判斷求解，筆者覺得這種教學(xué)方式非常的片面，是不可取的，直線方程的一般式作為適用范圍最廣的形式，在題目設(shè)計(jì)中是最為常見的，而且作為直線一般式方程更一般的結(jié)論，是應(yīng)該讓學(xué)生知道并掌握，因此，在教學(xué)過程中有必要給出直線方程一般式的相關(guān)結(jié)論及相應(yīng)證明，相關(guān)結(jié)論如下：

已知直線l1：A1x+ B1y+C1=O（A1，B1不同時(shí)為0），l2：A2X+ B2y+C2=0（A2，B2不同時(shí)為0），

（1）l1//l2 A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0，或A1C2 - A2Cl≠0;

（2）l1⊥l2 A1A2+B1B2 =0.

以下通過一道例題來比較兩種不同解法，孰優(yōu)孰劣可一目了然.

2圓與方程部分

圓與方程的部分一定會涉及到直線和圓的位置關(guān)系、涉及到直線和圓相交相切等相關(guān)問題的求解.

眾所周知，圓是非常簡潔完美的幾何圖形，因此在解答有關(guān)圓的問題時(shí)我們不僅有代數(shù)法，還有基于圓的幾何性質(zhì)的幾何法，這兩種方法在教材里都有詳細(xì)的闡述，對于這兩種方法，教材都是明確要求掌握的，但是在實(shí)際教學(xué)討論及教學(xué)實(shí)施過程中，有的教師會有這樣的想法，認(rèn)為代數(shù)法較為繁瑣，因此不予講授，要求學(xué)生要用幾何法來解答問題，以避免發(fā)生計(jì)算量大，計(jì)算錯(cuò)誤的情況，筆者認(rèn)為這樣的教學(xué)也是非常片面的.

比如以下例題：

同樣的問題在求兩圓的公共弦時(shí)也會出現(xiàn)，如果像某些教師那樣認(rèn)為交點(diǎn)法和利用弦長公式這兩種代數(shù)方法較為繁瑣，不予講解，那么學(xué)生的思維就沒有得到開發(fā)，解析幾何的核心并沒有得到體現(xiàn)，這會給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線埋下了隱患.

因?yàn)榻馕鰩缀问窃诮⒌淖鴺?biāo)系中，平面上的點(diǎn)能夠與有序?qū)崝?shù)對之間建立起對應(yīng)關(guān)系，從而使平面上某些曲線與某些方程之間建立對應(yīng)關(guān)系;使平面圖形的某些性質(zhì)（形狀、位置、大?。┛梢杂孟鄳?yīng)的數(shù)、式表示出來;使平面上某些幾何問題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題來研究，很多解析問題并不是都可以用幾何法來解決的，學(xué)生應(yīng)該在高一學(xué)習(xí)直線和圓的時(shí)候就建立起這種意識，作為教師應(yīng)該注意引導(dǎo)，而不是追求純粹的解題正確率，而忽視了數(shù)學(xué)核心思想方法的教學(xué).

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)，是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是我們思考和解決問題的工具，不同于歐氏幾何把幾何與邏輯思想結(jié)合起來，用邏輯推理方法研究幾何問題，解析幾何通過坐標(biāo)系，把幾何中的點(diǎn)與代數(shù)的基本研究對象數(shù)（有序數(shù)對）對應(yīng)，然后建立圖形（曲線）與方程的對應(yīng)，從而把幾何與代數(shù)緊密結(jié)合起來，用代數(shù)方法解決幾何問題，這是數(shù)學(xué)的重大進(jìn)步.

因此，在解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系中建立直線和圓的代數(shù)方程，能夠運(yùn)用代數(shù)方法研究他們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.