一道高考試題的多解、多思與多變

虞懿

2017年高考已經(jīng)落下帷幕，筆者特別關(guān)注了全國(guó)卷I理科第10題，這是一道集拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)之和的最值問(wèn)題等知識(shí)于一體的綜合性客觀題，此題看似平淡，卻精彩紛呈;看似常規(guī)，卻彰顯能力，本文擬從一題多解、一題多思與一題多變等角度作一探析，供讀者參考.

1題目再現(xiàn)

例（2017年高考全國(guó)新課標(biāo)卷I.理10）已知F為拋物線C：y2= 4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線f2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為

A.16

B.14

C.12

D.10

2立意解讀

本題題面簡(jiǎn)潔、意境幽深、內(nèi)涵豐富，可以從多個(gè)角度思考求解，細(xì)細(xì)賞玩，感覺韻味十足，本題主要考查了拋物線的定義、直線和拋物線的位置關(guān)系、焦點(diǎn)弦及其應(yīng)用，旨在考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3解法探究

3.1一題多解

一題多解就是利用不同的思路，不同的知識(shí)，不同的方法達(dá)到解題的目的，它不僅改變了以往學(xué)生單一的思維模式，而且還可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，

評(píng)注 直線與拋物線聯(lián)立，求判別式、利用韋達(dá)定理是通法，需要重點(diǎn)掌握，涉及到最值問(wèn)題，要能想到用函數(shù)方法解決或利用基本不等式解決，

評(píng)注 對(duì)于拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題，重點(diǎn)要抓住拋物線定義，可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，

評(píng)注 凡涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦半徑問(wèn)題，選用極坐標(biāo)系，常常會(huì)使解題步驟簡(jiǎn)潔、方便，本題中要求的問(wèn)題與焦點(diǎn)弦有關(guān)，應(yīng)當(dāng)建立以焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，對(duì)稱軸為極軸的極坐標(biāo)系，不能受直角坐標(biāo)方程的束縛而把極點(diǎn)選在原點(diǎn)，靈活合理地建立極坐標(biāo)系十分重要，

評(píng)注 運(yùn)用直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)t的幾何意義直接求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔、明了.

3.2一題多思

本題載體為直線與拋物線，考察的是解析幾何的通性通法，解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究幾何性質(zhì)（量），我們?cè)诮忸}時(shí)一定要從數(shù)與形兩個(gè)角度入手，不可偏頗一方，既要弄清圖形的幾何特征，又要熟練應(yīng)用各種代數(shù)工具（解方程組、弦長(zhǎng)公式等），多方聯(lián)想，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}，

題目豐富的內(nèi)涵是展開“一題多解”的基礎(chǔ)，這要求教師在試題講評(píng)之前認(rèn)真研究試題，對(duì)試題的內(nèi)涵及其考查情況要了然于胸，選擇內(nèi)涵豐富、學(xué)生易錯(cuò)、思維價(jià)值高的試題做重點(diǎn)講評(píng)，本道試題不僅問(wèn)題典型，解法豐富，而且有助于提高學(xué)生對(duì)解析幾何本質(zhì)的深度理解，因此，對(duì)這樣一種一題多解，又有一定教學(xué)意義的題目進(jìn)行重點(diǎn)講評(píng)，做到講深講透，可以有效摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高解題教學(xué)的有效性，

體會(huì)其思想是展開“一題多解”活動(dòng)的靈魂，數(shù)學(xué)萬(wàn)變不離其宗，不管高考怎么考，都離不開考查數(shù)學(xué)的最基本的思想方法，

高中數(shù)學(xué)思想盡管不少，但總的看來(lái)主要也就四大數(shù)學(xué)思想，即函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，這些都是高中數(shù)學(xué)的精髓，但這些“思想”有時(shí)只能意會(huì)，教學(xué)中教師往往也只能是“滲透”，這就要求教師在復(fù)習(xí)中要貫穿始終不離主線，也要培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)自我領(lǐng)悟，在反思中重構(gòu)自己的經(jīng)驗(yàn)，形成自己的行動(dòng)策略和方式，使得只能意會(huì)的知識(shí)變成可能.

3.3一題多變

新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，”眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的體操，要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，還是要從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)興趣上下功夫，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用教材中的例習(xí)題和經(jīng)典的高考試題進(jìn)行一題多變，把一個(gè)題目反復(fù)變化為多個(gè)與原題內(nèi)容不同，但解法相同或相近的題目，有利于深化知識(shí)，舉一反三，觸類旁通，使學(xué)生主動(dòng)探討、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，真正“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，這是發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)造性的一條有效途徑，

變式1已知橢圓c：X2/8+Y2/4=1，過(guò)左焦點(diǎn)F1（-2，0）作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值，

變式2 F是拋物線G：x2 =4y的焦點(diǎn)，設(shè)A，B為拋物線G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足FA·FB=0，延長(zhǎng)AF， BF分別交拋物線G于點(diǎn)C，D，求四邊形ABCD面積的最小值，

變式3 已知AC，B為圓O：x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，√2），則四邊形ABCD面積的最大值為____.

變式4 設(shè)圓X2+y2 +2x-15=o的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線，交Cl于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍，

變式5 已知橢圓c：x2/4+y2/3=1，過(guò)右焦點(diǎn)F作兩條斜率之積為-2的直線分別交橢圓C于點(diǎn)P，Q和M，N，則四邊形PMQN的面積S的最小值為___-，

變式6 已知AC，B為圓O：x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，√2），當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時(shí)，試求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值，

在習(xí)題教學(xué)中適當(dāng)?shù)夭捎谩耙活}多變”，可以對(duì)高考題進(jìn)行大膽的組合與拓展，但要由易到難，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的層遞性，使學(xué)生的思維得到自然發(fā)散，而不感到突然，通過(guò)題目間相近或相似的聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，用不同的思路去分析思考，能夠極大地鍛煉學(xué)生類推能力和歸納能力，有助于啟發(fā)學(xué)生分析思考，逐步把學(xué)生引入勝境，從而開拓學(xué)生視野，增強(qiáng)分析問(wèn)題的能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維，

總之，題目是做不盡、探不完的，《莊子·養(yǎng)生主》中說(shuō)：“吾生而有涯，而知也無(wú)涯，”通過(guò)對(duì)2017年高考全國(guó)卷I理科第10題的探析，筆者有一種感觸：學(xué)生在考場(chǎng)上的思路探尋，教師在考后的解法探究，命題者在命題時(shí)的頂層設(shè)計(jì)，儼然構(gòu)成了一幅李白筆下的“舉杯邀明月，對(duì)影成三人”的精彩且具有濃厚新課標(biāo)風(fēng)味的美妙畫卷.