因數(shù)和倍數(shù)的多種關(guān)系

◎相 輝

一、因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系

【例1】判斷：4是因數(shù)，24是倍數(shù)是否正確？

【分析與解】

在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。例如24÷4=6，我們就說(shuō)24是4的倍數(shù)，4是24的因數(shù)。24÷6=4，所以24是6的倍數(shù)，6是24的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的關(guān)系，不能單獨(dú)說(shuō)某個(gè)數(shù)是因數(shù)，或者說(shuō)某個(gè)數(shù)是倍數(shù)，一定要說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。所以上面的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

二、因數(shù)的找法

【例2】24的因數(shù)有哪些？

【分析與解】

找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)可以用一一列舉的方法。為了防止重復(fù)和遺漏，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，我們要一對(duì)一對(duì)地找。例如24的因數(shù)有1和24、2和12、3和8、4和6，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)比較接近，直至相等時(shí)，就說(shuō)明找全了。如果數(shù)字比較大時(shí)，還可以用短除法一一求出。

一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，還能用它不同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1，然后相乘求出。例如24=23×31，所以24的因數(shù)有（3+1）×（1+1）=8（個(gè)）。

三、最大公因數(shù)與因數(shù)的關(guān)系

【例3】已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)有哪些？

【分析與解】

由于這兩個(gè)數(shù)沒(méi)有直接告訴，我們可以借助具體數(shù)字，先找一找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和它們的因數(shù)之間有什么關(guān)系？比如30和45，它們的公因數(shù)有1、3、5、15，其中最大公因數(shù)是15，15的因數(shù)有1、3、5、15，也是它們的公因數(shù)。從中我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)，就是它們的公因數(shù)。所以6的因數(shù)有1、2、3、6，即這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)為1、2、3、6。

四、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)與這兩個(gè)數(shù)的關(guān)系

【例4】甲、乙兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是10，最小公倍數(shù)是120，甲數(shù)是30，乙數(shù)是多少？

【分析與解】

根據(jù)公倍數(shù)的意義，我們知道兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)和各自獨(dú)有因數(shù)的積，120=10×3×4，10是公因數(shù)，3是甲數(shù)獨(dú)有的因數(shù)，4就是乙數(shù)獨(dú)有的因數(shù)，所以乙數(shù)是10×4=40。

另外我們仔細(xì)分析，還能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的乘積就等于兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積，所以此類(lèi)題目還可以這樣求出乙數(shù)：10×120÷30=40。