以形貫之 水到渠成
——運(yùn)用G.D模型探索小學(xué)數(shù)學(xué)單位“1”問題的策略研究

嚴(yán) 騏

（浙江省杭州市錢塘外語學(xué)校，浙江 杭州 310000）

一、問題緣起

【問題情境】在教學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法的解決問題”中，遇到了這樣一題：在通常情況下，體積相等的冰的質(zhì)量比水的質(zhì)量少?，F(xiàn)在有一塊重9kg的冰，如果有一桶水的體積和這塊冰的體積相等，這桶水有多重？對(duì)于這題，學(xué)生們出現(xiàn)了兩種不同的算法，一種是把水作為單位“1”，一種是把冰看做單位“1”。

【分析】題目中把水作為單位“1”，而很多孩子把冰看做單位“1”。通過與學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)，找準(zhǔn)單位“1”對(duì)學(xué)生來說并非易事。

（一）找準(zhǔn)關(guān)鍵困難

在解決問題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生思維方式比較粗略，往往根據(jù)思維定式進(jìn)行解答，錯(cuò)誤率較高，并沒找準(zhǔn)關(guān)鍵詞句，沒有好的方法。

（二）引導(dǎo)思維抽象

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本以形象具體思維為主，但是在解決問題領(lǐng)域很多知識(shí)點(diǎn)比較抽象，缺乏代替抽象物體的數(shù)學(xué)載體。

（三）學(xué)習(xí)方式陳舊

很多數(shù)學(xué)課淪為灌輸知識(shí)點(diǎn)、傳送定理與規(guī)律并以應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)學(xué)會(huì)解題的課堂，缺少定理的探索、尋求規(guī)律以及知識(shí)點(diǎn)本身的來源。學(xué)習(xí)方式仍以應(yīng)試為主，套路陳舊，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏激情。

二、現(xiàn)狀分析

（一）單位“1”找不準(zhǔn)

尋找單位“1”解決問題一直是學(xué)生的難點(diǎn)，如何才能更好的幫助學(xué)生克服這個(gè)難點(diǎn)呢？我們發(fā)現(xiàn)，在分?jǐn)?shù)乘除法中，解決問題的出現(xiàn)無非伴隨著三種題型：①兩種數(shù)量比較 ②部分?jǐn)?shù)和總數(shù) ③愿數(shù)量與現(xiàn)數(shù)量

我們發(fā)現(xiàn)，不管是哪種情況，事物之間都存在著某種關(guān)系，如果將抽象的事物加之以“形”，將它展現(xiàn)在學(xué)生面前，那么單位“1”還會(huì)難找嗎？

（二）單位“1”難理解

針對(duì)以上學(xué)生出現(xiàn)的情況，我對(duì)六年級(jí)兩個(gè)班79名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查與統(tǒng)計(jì)，調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)學(xué)生比較“怕”分?jǐn)?shù)乘除法，并且“怕”的原因主要是因?yàn)檎也粶?zhǔn)單位“1”，由于單位“1”的理解比較抽象，學(xué)生理解起來難度較大。

三、意義探尋

利用已有知識(shí)畫出線段圖，找到數(shù)量關(guān)系，然后解決問題。通過平時(shí)的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，G.D模型在小學(xué)低段就已經(jīng)有所涉及，但是并非廣泛使用，導(dǎo)致學(xué)生知道方法，但是不常練習(xí)，久而久之，便會(huì)生疏。

（一）何為G.D模型

G.D模型：是指在解題過程中運(yùn)用畫圖的方式，畫出與題意相關(guān)的圖形或圖案，借以幫助解題者觀察、推理、思考，是解決數(shù)學(xué)問題的一種手段。通過畫圖的方式使問題具體化，形象化，進(jìn)而找出解題的途徑。

（二）G.D模型的意義

根據(jù)統(tǒng)計(jì)，在分?jǐn)?shù)乘除法的解決問題中，學(xué)生用的方法主要有算數(shù)法、解方程、通過對(duì)學(xué)生分?jǐn)?shù)乘除法解決問題常見錯(cuò)誤的收集、整理與分析，利用G.D模型解決此類問題，旨在改進(jìn)教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)效率。

三、策略研究

示范演繹——感受“G.D”魅力

斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！毙W(xué)高段學(xué)生的思維正從形象思維到抽象思維轉(zhuǎn)變，純文字的問題在語言表述上比較簡(jiǎn)潔，桔燥乏味，以至使他們常常讀不懂題意。

（一）創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)情景

在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)情境，讓學(xué)生在思考的過程中產(chǎn)生畫圖的需要，在自己畫圖的活動(dòng)中體會(huì)方法、感悟策略、發(fā)展思維、獲得思想。

1.生為本：以圖代題。讓學(xué)生自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助線段圖或?qū)嵨飯D把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，還原問題的本來面目，拓展解決問題的思路，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

2.思為重：以畫代學(xué)。從圖形中尋求關(guān)聯(lián)的特激發(fā)孩子們的興趣，再現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)與圖形結(jié)合，以畫促思，最終可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為直觀，同時(shí)，讓他們?cè)趪L試中體會(huì)到用圖解題的快樂，體驗(yàn)用G.D模型解題帶來的成功感和價(jià)值感。

（二）建立G.D模型

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的課程目標(biāo)中，把解決問題作為重要的課程目標(biāo)，并指出：要使學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略。

1.學(xué)為思：以繹代問。G.D模型是眾多的解題策略中最基本的、也是一個(gè)很重要的策略。通過畫圖，為學(xué)生解決抽象的數(shù)學(xué)問題搭好了橋，幫助學(xué)生化抽象為直觀，揭示概念本質(zhì)；化繁為簡(jiǎn)，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系；化隱為顯，再現(xiàn)想象模型；化無為有，梳理事件規(guī)律等等。

2.遷為移：以析代想。教學(xué)要真正做到培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形演繹策略解決問題的能力，不僅是在加深問題的難度上下功夫，更要通過有代表性的又為學(xué)生容易接受的題目，著重培養(yǎng)學(xué)生的圖形演繹策略，使學(xué)生能夠產(chǎn)生遷移，這樣即使遇到一些未解過的題目，學(xué)生經(jīng)過自己的畫圖、分析也能找出解答的方法。

（三）學(xué)習(xí)演繹——掌握“G.D”策略

1.抽象數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。學(xué)生對(duì)畫圖有了興趣，并初步掌握了畫圖的方法時(shí)，要真正做到培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略解決問題的能力，就要有意識(shí)地找有代表性的又為學(xué)生容易接受的題目，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的畫圖策略，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用畫圖策略，并產(chǎn)生遷移。

2.外化演變內(nèi)化。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)習(xí)都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)從“外化”到“內(nèi)化”的過程。正因?yàn)檫@個(gè)過程，讓學(xué)生的學(xué)有了質(zhì)的變化。

（四）視需選擇——體驗(yàn)“G.D”多樣

1.G.D模型優(yōu)選?！靶纬山鉀Q問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》確定的課程目標(biāo)之一。

2.選到定：最優(yōu)策略?！笆苤隰~不如授之于漁”，教學(xué)生解題還不如教他們解題的方法。希望學(xué)生能運(yùn)用畫圖的策略來解決問題，首先要教會(huì)他們?nèi)绾蝸懋媹D，并選擇合理的畫圖方式來解題。

3.一到多：殊途同歸。畫圖的形式除了大家熟悉的線段圖、平面圖、立體圖 、集合圖、統(tǒng)計(jì)圖，還包括學(xué)生運(yùn)用自己的方式給出的圖形表征。

（五）G.D模型延伸

學(xué)生有著不同的知識(shí)背景和思考角度，他們的差異是客觀存在的，對(duì)同一個(gè)問題，由于學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知風(fēng)格的不同，常常會(huì)出現(xiàn)不同的解題方法，這正是學(xué)生具有不同個(gè)性的體現(xiàn)。

1.角不同：靈活多變。教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用已有的經(jīng)驗(yàn)大膽思維，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程，尋求解決問題的途徑。圖形演繹策略固然是一種很重要的解題策略，但在解決實(shí)際問題中要靈活應(yīng)用，有時(shí)需要與其它策略相結(jié)合，才能充分發(fā)揮其作用，達(dá)到提高學(xué)生解決問題能力的效果。

2.度不一：各有千秋。學(xué)生有著不同的知識(shí)背景和思考角度，認(rèn)知水平和領(lǐng)悟力的不同，常常會(huì)出現(xiàn)不同的解題方法，這正是學(xué)生不同個(gè)性的體現(xiàn)。畫圖方法固然是一種很重要的解題策略，但在解決實(shí)際問題中要靈活應(yīng)用，需要與其他學(xué)習(xí)方法相結(jié)合，充分發(fā)揮其作用，達(dá)到提高學(xué)生解決問題能力的效果。

（七）靈活演繹——提升“G.D”效果

1.G.D發(fā)散策略。盡管形式上變化多端，其本質(zhì)或目的不變。掌握G.D模型，不管題目如何變，它的思想始終不變，抓住不變量去解決因變量，最終達(dá)到解決問題的目的。

2.數(shù)促形：數(shù)形結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對(duì)象的兩個(gè)側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題和解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。

3.散而活：返璞歸真。學(xué)生的創(chuàng)造性思維是遇到了要解決的問題引發(fā)出來的。問題是激發(fā)思維的起點(diǎn)，矛盾是推動(dòng)思維的動(dòng)力。問題設(shè)計(jì)得科學(xué)藝術(shù)，能激起學(xué)生動(dòng)機(jī)，開闊學(xué)生思路，誘發(fā)求知的欲望，使學(xué)生的思維由潛伏狀態(tài)轉(zhuǎn)入活動(dòng)狀態(tài)，有利于發(fā)散思維的形成。設(shè)疑要從學(xué)生熟悉的角度和關(guān)心的事物入手，提出具有趣味性、啟發(fā)性、探索性的問題，使學(xué)生產(chǎn)生探究的認(rèn)知心理。

4.G.D知識(shí)遷移。小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想是指：滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法具有普遍而強(qiáng)有力適應(yīng)性的本質(zhì)思想?？梢苑譃檗D(zhuǎn)換思想、對(duì)應(yīng)思想、歸納思想、化歸思想、類比思想等，這些思想是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的基石，也是數(shù)學(xué)通向科學(xué)殿堂的橋梁。因此教師在培養(yǎng)學(xué)生利用畫圖策略解決實(shí)際問題的過程中應(yīng)有意識(shí)的滲透數(shù)學(xué)思想，從而來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（七）量與率：一一對(duì)應(yīng)

分?jǐn)?shù)解決問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系是指量與率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、量與率直接對(duì)應(yīng)，在復(fù)雜的應(yīng)用題中，量與率的對(duì)應(yīng)關(guān)系是間接的，這種間接的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有時(shí)“量”是隱蔽條件，有時(shí)“率”是隱蔽條件，也有時(shí)“量”與“率”都是隱蔽條件。畫圖策略在幫助我們明確對(duì)應(yīng)關(guān)系中發(fā)揮了重要的作用。

題與圖：G.D轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，有些應(yīng)用題，按原題的條件，數(shù)量關(guān)系解答起來比較復(fù)雜，如果根據(jù)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，變換一種方式去思考，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用直觀圖形轉(zhuǎn)化題中的數(shù)量關(guān)系，把原來的問題轉(zhuǎn)化為另一種容易解決的問題，從而打開解題思路，順利解決問題。

所以在分?jǐn)?shù)解決問題時(shí)，當(dāng)題意和數(shù)量關(guān)系比較抽象時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地通過畫線段圖幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，化抽象為具體，這樣就能化難為易，從而提高學(xué)生分析和解答問題的能力。

五、成效與反思

（一）實(shí)踐發(fā)現(xiàn)

G.D模型確實(shí)是一種“美麗”的資源，有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生分析與解決問題的能力，對(duì)今后的學(xué)習(xí)生活將有很大的幫助。

（二）思考

單位“1”解決問題始終是小學(xué)階段的一個(gè)難點(diǎn)，如何讓學(xué)生克服這個(gè)難點(diǎn)，是每一屆六年級(jí)教師的思考方向。合理利用學(xué)生通俗易懂的G.D模型來解決此類問題，能達(dá)到教學(xué)上事半功倍的效果，也能讓學(xué)生學(xué)的扎實(shí)，學(xué)的輕松。