設(shè)備振動傳遞路徑的頻響函數(shù)計(jì)算方法研究

王 楷， 鄭 凱， 張小磊， 石學(xué)濤， 姚抒均

（齊魯工業(yè)大學(xué)（山東省科學(xué)院） 山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所， 山東 青島 266000）

引言

隨著振動源分離技術(shù)的發(fā)展，傳遞路徑分析（TPA）法[1]被引入到船舶領(lǐng)域。傳遞路徑分析法可以準(zhǔn)確分析系統(tǒng)中各臺設(shè)備的貢獻(xiàn)量，確定主要振源，從而針對主要振源，有的放矢的提出改進(jìn)設(shè)計(jì)。但是，由于傳遞路徑分析需要測量大量的頻響函數(shù)，測試工作量大且測試不便，限制了傳遞路徑分析法的應(yīng)用范圍。近年來，國內(nèi)外學(xué)者為解決這一問題進(jìn)行了很多探索和研究，其中工況傳遞路徑分析（OPA）法[2]得到了很大重視。工況傳遞路徑分析不需要測量頻響函數(shù)，僅需要獲得系統(tǒng)在工作狀態(tài)下評估點(diǎn)和激勵點(diǎn)的響應(yīng)即可進(jìn)行分析。Gert De Sitter和ChristofDevriendt[3]等人提出一種不用拆解系統(tǒng)即可識別傳遞路徑的方法。該方法首先運(yùn)用在簡單離散系統(tǒng)上，通過整理得到關(guān)于傳遞函數(shù)的表達(dá)式，然后運(yùn)用H1估計(jì)得到傳遞函數(shù)的計(jì)算式。但是在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)表達(dá)式很難獲得，且各個激勵力不相關(guān)的條件難以滿足，以至于限制該方法的應(yīng)用。K.Janssens和A.Ossipov[4-5]等人介紹了一種運(yùn)用傳遞率理論的OPA方法。文中指出盡管該方法可以減少測量時間，減輕測量的復(fù)雜程度，但是也存在很多限制：首先，輸入載荷應(yīng)是不相關(guān)的；其次，結(jié)構(gòu)輸入路徑之間不應(yīng)存在互耦合；最后，在測量中可能遺漏重要路徑。

1 基本原理

工況傳遞路徑分析法是在傳遞路徑分析法[6]的基礎(chǔ)上發(fā)展演變而來的，其基本原理基于假設(shè)：來自不同路徑的所有部分響應(yīng)構(gòu)成了總響應(yīng)。

式中：Xj為評估點(diǎn)j處的總響應(yīng)，Xij為傳遞路徑ij在評估點(diǎn)j處的響應(yīng)分量。

響應(yīng)分量Xij是激勵點(diǎn)處的激勵力通過頻響函數(shù)在評估點(diǎn)處引起的響應(yīng)，其表達(dá)式為：

式中：Hij為激勵點(diǎn)i到評估點(diǎn)j的頻響函數(shù)，F(xiàn)i為作用于激勵點(diǎn)i處的激勵力。

在傳遞路徑分析法中，頻響函數(shù)Hij是通過錘擊實(shí)驗(yàn)[7]獲得的，但是在工況傳遞路徑分析法中，頻響函數(shù)是通過計(jì)算得到的。因此，頻響函數(shù)Hij的計(jì)算方法即為工況傳遞路徑分析法的關(guān)鍵技術(shù)。

為計(jì)算頻響函數(shù)，本文提出三種方法：多工況法、分段函數(shù)法和多工況分段函數(shù)法。下面分別予以說明。

1.1 多工況法

利用多工況法計(jì)算頻響函數(shù)，振動系統(tǒng)需要具有足夠多的不同工況。對于具有一臺或多臺設(shè)備的振動系統(tǒng)，可以通過改變設(shè)備的工作狀態(tài)或者開關(guān)某臺設(shè)備，以獲得不同的工況。假設(shè)系統(tǒng)有m個頻響函數(shù)，k個工況。根據(jù)式（1），每個工況列一個方程，其公式如下：

式中：下標(biāo)m為頻響函數(shù)編號，下標(biāo)k為工況編號，下標(biāo)j為評估點(diǎn)編號。

當(dāng)工況數(shù)目k大于或等于頻響函數(shù)數(shù)目m時，即可求得m個激勵點(diǎn)到評估點(diǎn)j的頻響函數(shù)：

式中：[H]為頻響函數(shù)矩陣，[X]為評估點(diǎn)響應(yīng)矩陣，[F]為激勵力矩陣，[F]+為[F]的廣義逆。

1.2 分段函數(shù)法

利用分段函數(shù)法[8]計(jì)算頻響函數(shù)，首先假設(shè)頻響函數(shù)在某頻段內(nèi)為一個可以用參數(shù)a1，a2，…，an表示的函數(shù)：

式中：下標(biāo)n表示參數(shù)的編號。

利用在這個頻段內(nèi)多個采樣頻率點(diǎn)ωx測量得到的響應(yīng)值Xj（ωx）與激勵力的值F（ωx），列出足夠多的方程，求解頻響函數(shù)中的參數(shù) a1，a2，…，an。

假設(shè)系統(tǒng)有m個頻響函數(shù)，每個頻響函數(shù)在[ω1，ω2]頻段內(nèi)可以表示為含有n個參數(shù)的函數(shù)H（ωx），則在[ω1，ω2]頻段內(nèi)至少需要 m·n 個采樣頻率點(diǎn)，才能求得頻響函數(shù)中的m·n個參數(shù)。根據(jù)式（1），在每個采樣頻率點(diǎn)ωx處列一個方程，如式（6）所示：

式中：ωx∈（ω1，ω2），下標(biāo) m 為頻響函數(shù)編號，下標(biāo) j為評估點(diǎn)編號。

如果在分析頻段內(nèi)，頻響函數(shù)分為s段，則其表達(dá)式為：

式中：下標(biāo)m為頻響函數(shù)編號，下標(biāo)j為評估點(diǎn)編號，下標(biāo)s為頻響函數(shù)分段編號，下標(biāo)n為頻響函數(shù)參數(shù)編號。

1.3 多工況分段函數(shù)法

在工程實(shí)際中，振動系統(tǒng)的可變工況數(shù)目不多，從而限制了多工況法的運(yùn)用；對于分段函數(shù)法，每個頻段內(nèi)采樣頻率點(diǎn)的數(shù)目不能過多，否則會因各采樣頻率點(diǎn)間的差異過小而產(chǎn)生奇異矩陣，導(dǎo)致求解錯誤。鑒于以上兩種方法的缺陷和不足，工程實(shí)際中兩種方法可以結(jié)合使用，增加可用方程的數(shù)目，以便提高計(jì)算精度。

假設(shè)振動系統(tǒng)有k個工況，m個頻響函數(shù)，每個頻響函數(shù)在[ω1，ω2]頻段內(nèi)可以表示為含有n個參數(shù)的函數(shù)，則在[ω1，ω2]頻段內(nèi)僅需要 m·n/k 個采樣頻率點(diǎn)，就能求得頻響函數(shù)中的m·n個參數(shù)。為了提高計(jì)算精度，需要增加方程的數(shù)目。因此采樣頻率點(diǎn)個數(shù)應(yīng)大于m·n/k。根據(jù)式（1），每個工況列一個方程，則在每個采樣頻率點(diǎn)ωx處可列一個含有k個方程的方程組，如式（8）所示：

式中：ωx∈（ω1，ω2），下標(biāo)為 m 頻響函數(shù)編號，下標(biāo) k為工況編號，下標(biāo)j為評估點(diǎn)編號。

由式（8）計(jì)算得到各參數(shù)后，即可按照式（7）獲得各頻響函數(shù)的表達(dá)式。

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)步驟

為了檢驗(yàn)通過多工況分段函數(shù)法計(jì)算得到的頻響函數(shù)的準(zhǔn)確性，在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)選用一臺海水泵進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。海水泵附有進(jìn)口管路和出口管路，其安裝如圖1所示。海水泵四個機(jī)腳通過隔振器與基座相連，進(jìn)口管路、出口管路通過隔振器與馬腳相連。

圖1 海水泵安裝示意圖

實(shí)驗(yàn)中，每個機(jī)腳考慮3個方向激勵，布置三向加速度傳感器。每個管路馬腳只考慮1個方向激勵，布置單向加速度傳感器。評估點(diǎn)選在距設(shè)備與管路激勵點(diǎn)距離相當(dāng)?shù)幕?，共?jì)4個，布置單向加速度傳感器。因此，該振動系統(tǒng)中，每個評估點(diǎn)對應(yīng)14條路徑，即14個頻響函數(shù)。

海水泵與管路安裝前，通過錘擊實(shí)驗(yàn)獲得各路徑的頻響函數(shù)，以便與計(jì)算得到的頻響函數(shù)進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)時,根據(jù)互易原理[9]，裝有力傳感器的力錘在靠近評估點(diǎn)的位置激勵,加速度傳感器安放在激勵點(diǎn)處采集響應(yīng)信號。通常一個位置敲5～10次，最后的結(jié)果取平均值。本次錘擊實(shí)驗(yàn)中，力錘錘頭使用的是鋼頭。一般而言，在中高頻段內(nèi)采用鋼頭進(jìn)行錘擊可以獲得較好的頻響函數(shù)。因此，本次實(shí)驗(yàn)的分析頻段選為 300～700 Hz。

海水泵與管路安裝后，開啟設(shè)備。待設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定后，采集各激勵點(diǎn)與評估點(diǎn)的響應(yīng)信號，作為工況一。停止采集后，調(diào)節(jié)進(jìn)出口管路壓力，待設(shè)備再次穩(wěn)定后，采集響應(yīng)信號，作為工況二。

2.2 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)中，各激勵點(diǎn)處的激勵力是基于隔振器阻抗特性[10]計(jì)算得到的。由于本實(shí)驗(yàn)中的頻響函數(shù)數(shù)目較多，且系統(tǒng)可變工況較少，不能準(zhǔn)確計(jì)算出全部頻響函數(shù)。在不失一般性的前提下，本實(shí)驗(yàn)僅對管路的頻響函數(shù)進(jìn)行計(jì)算和驗(yàn)證。因此，將錘擊實(shí)驗(yàn)中得到的設(shè)備機(jī)腳對應(yīng)的頻響函數(shù)作為已知量，代入式（9）中。將進(jìn)口管路和出口管路對應(yīng)的頻響函數(shù)作為未知量，運(yùn)用第2節(jié)中的三種方法分別進(jìn)行求解，并與錘擊實(shí)驗(yàn)得到的頻響函數(shù)進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 多工況法的計(jì)算結(jié)果

由圖2可知，兩曲線在分析頻段內(nèi)趨勢一致，但部分頻率處，方程組的奇異性嚴(yán)重，計(jì)算值曲線的峰值過大，導(dǎo)致總級誤差偏大，結(jié)果不可取。由圖3可知，兩曲線在分析頻段內(nèi)量級一致，但趨勢吻合較差，結(jié)果亦不可取。由圖4可知，兩曲線在分析頻段內(nèi)趨勢和峰值均吻合較好。在個別頻率處，計(jì)算值曲線的峰值偏大，這是由于在該頻率處方程組的奇異性無法消除，導(dǎo)致誤差被放大。經(jīng)計(jì)算，多工況分段函數(shù)法的計(jì)算值與錘擊實(shí)驗(yàn)的測試值在分析頻段內(nèi)的總級相差1 dB，滿足工程要求。這表明：由多工況分段函數(shù)法計(jì)算得到的頻響函數(shù)具有較高的準(zhǔn)確度，運(yùn)用該方法計(jì)算振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)是切實(shí)可行的。

圖3 分段函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果

圖4 多工況分段函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)論

運(yùn)用多工況分段函數(shù)法計(jì)算得到的頻響函數(shù)與錘擊實(shí)驗(yàn)得到的頻響函數(shù)，在分析頻段內(nèi)吻合較好，兩者總級僅相差1 dB，滿足工程要求。由此可知，多工況分段函數(shù)法計(jì)算的頻響函數(shù)具有較高的精度。

在振動系統(tǒng)具有足夠多可變工況的情況下，完全可以運(yùn)用該方法計(jì)算所有的頻響函數(shù)，避免測量頻響函數(shù)，實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的工況傳遞路徑分析。多工況分段函數(shù)法為工況傳遞路徑分析提供了重要技術(shù)支撐，為工況傳遞路徑分析的推廣應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。