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    細(xì)說中考高頻題

    2018-11-24 02:37:42戴曉燕樊翠霞
    初中生世界 2018年42期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)方法

    戴曉燕 樊翠霞

    (作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)茅麓中學(xué),江蘇省常州市金壇區(qū)西崗中學(xué))

    勾股定理及其逆定理在近幾年的中考中是熱點問題,以下老師就以部分中考試題為例進(jìn)行評述,希望為大家?guī)硪恍┧伎己徒梃b.

    一、弦圖的應(yīng)用

    【例1】(2017·長春)圖 1是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖2,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四個全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,則AB 的長為 .

    圖1

    圖2

    解:AF=DE=8,EF=2,AE=6,由勾股定理求得AD=10,故AB=AD=10.

    【例2】(2017·石家莊一模)圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍,得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個風(fēng)車的外圍周長是( ).

    A.52 B.42 C.76 D.72

    圖甲

    圖乙

    圖3

    解:如圖3,由AC=6,得DC=12.在直角△DBC中,由BC=5、DC=12得BD=13,所以BD+AD=19,故周長為19×4=76.

    【評析】教材中應(yīng)用“趙爽弦圖”證明勾股定理.“趙爽弦圖”是初中數(shù)學(xué)的重要基本圖形之一,近年來在全國各地的中考試題里也常有出現(xiàn).

    二、折疊問題

    【例3】(2017·武威)如圖4,一張三角形紙片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.現(xiàn)將紙片折疊:使點A與點B重合,那么折痕長等于 cm.

    圖4

    圖5

    解:如圖5,作AB的垂直平分線,分別交AB、AC于D、E,在Rt△BEC中,由勾股定理得(8-BE)2+62=BE2,解得,進(jìn)一步算得

    【例4】(2017·嘉興)一張矩形紙片 ABCD,已知AB=3,AD=2.小明按下圖步驟折疊紙片,則線段DG長為( ).

    解:由翻折得到△A′DE,△B′GE是等腰直角

    【評析】統(tǒng)觀近年各省市的中考試題,不難發(fā)現(xiàn)“折疊”問題在中考試題里頻頻出現(xiàn),而利用勾股定理建立方程是解決問題的重要方法.命題者通常以直角三角形為載體,以數(shù)形結(jié)合、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想為依托,實現(xiàn)綜合考查.

    三、逆定理的應(yīng)用

    【例5】(2017·益陽)如圖6,△ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則CD=

    .

    圖6

    解:由AC=5,BC=12,AB=13知△ABC是直角三角形,故CD=6.5.

    【例6】(2017·南京)“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無處不在.如圖7,已知∠AOB.請仿照小麗的方式,再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角(僅限用直尺和圓規(guī)).

    小麗的方法:如圖8,在OA、OB上分別取點C、D,以C為圓心,CD長為半徑畫弧,交OB的反向延長線于點E.若OE=OD,則∠AOB=90°.

    圖7

    圖8

    圖9

    圖10

    解:方法 1.如圖9,在 OA、OB上分別截取OC=4,OD=3.若 CD=5,則 ∠AOB=90°.

    方法 2.如圖10,在 OA、OB 上分別取點 C、D,以CD為直徑畫圓.若點O在圓上,則∠AOB=90°.

    【評析】勾股定理的逆定理主要是由數(shù)量關(guān)系確定三角形是否為直角三角形,然后在直角三角形的背景下解決有關(guān)問題.勾股定理的逆定理體現(xiàn)了由數(shù)到形的重要數(shù)學(xué)思想,在近年來各地的中考題中常有出現(xiàn),但往往考查定理本身,故難度不是太大.

    四、旋轉(zhuǎn)問題

    【例7】(2013·包頭)如圖11,點E是正方形ABCD內(nèi)的一點,連接AE、BE、CE,將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C= °.

    圖11

    圖12

    解:本題采用分割的方式.如圖12,通過連接EE′將∠BE′C轉(zhuǎn)化為∠BE′E與∠EE′C的和.首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,那么,在Rt△EBE′中,由等腰直角三角形可得∠BE′E=45°,由勾股定理可得EE′=22.此時△EE′C的三邊長都已知了.又因為E′E2+E′C2=8+1=9,EC2=9,即E′E2+E′C2=EC2,所以由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形,則∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.

    【評析】根據(jù)已知得出△EE′B是等腰直角三角形比較容易,但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解題關(guān)鍵.勾股定理常用,同學(xué)們也比較容易想到,而勾股定理的逆定理,也是將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系的常用方法,同學(xué)們可要用心哦!

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