找準(zhǔn)內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型

王思儉

考試結(jié)束了，學(xué)生涌出考場(chǎng)，邊走邊議論，“今天的應(yīng)用題，我沒(méi)有想到它是什么模型”“我又沒(méi)有理解題意，不知道如何建立數(shù)學(xué)模型”“題目中的參量較多，不知道選擇哪一個(gè)作為自變量”“應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型究竟有哪些，我背了前幾年的數(shù)學(xué)模型，但一到考場(chǎng)里就全忘記了，不知道怎樣尋找?guī)讉€(gè)量之間的聯(lián)系”……我為此邀請(qǐng)幾位學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模問(wèn)題進(jìn)行交流，旨在通過(guò)對(duì)幾道應(yīng)用題的分析，引導(dǎo)學(xué)生尋找變量與變量、變量與參量的內(nèi)在聯(lián)系，掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本思路.

生甲：如圖1，某海島觀察哨A測(cè)得在海島北偏東60°的C處有一輪船，80 min后測(cè)得船在海島北偏西60°的B處，又過(guò)20 min輪船到達(dá)位于海島正西方且距離海島5 km的E港口.如果輪船始終做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求輪船的速度.

我沒(méi)有讀懂題意，這題的數(shù)學(xué)模型是什么？我建立直角坐標(biāo)系求解，運(yùn)算量較大，過(guò)程太繁瑣，沒(méi)有成功！

師：首先要弄清楚本題有哪些條件，結(jié)論要求什么？條件有4個(gè)，結(jié)論是計(jì)算輪船的速度，我們只要計(jì)算BE或BC的長(zhǎng).你們知道線段BC與BE所用的時(shí)間之比是多少嗎？

眾生：4：1.

師：于是問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為我們要求的線段長(zhǎng)度之比是多少？

眾生：也是4：1.

師：你們?cè)匍喿x題目，找一找還有哪些已知條件？

師：這些邊與角的條件出現(xiàn)在3個(gè)三角形中，建立解三角形的數(shù)學(xué)模型就可以解決問(wèn)題.

師：很好！本題是以解三角形為背景的應(yīng)用題，數(shù)學(xué)模型就是路程與速度的模型.從解題過(guò)程來(lái)看，關(guān)鍵是要找出或設(shè)出角度，實(shí)質(zhì)是解斜三角形，將問(wèn)題涉及的有關(guān)量集中在某一個(gè)或者幾個(gè)三角形中，靈活地運(yùn)用正弦定理、余弦定理來(lái)加以解決.

師：你們閱讀理解這句話：“若該參與者通過(guò)浮橋AB的過(guò)程中，從點(diǎn)0處發(fā)出的水波圈始終沒(méi)能到達(dá)此人跑動(dòng)時(shí)的位置，則認(rèn)定該參與者在這個(gè)游戲中過(guò)關(guān)；否則，認(rèn)定在這個(gè)游戲中不過(guò)關(guān)，”領(lǐng)會(huì)它的含義是什么？能否提供建立數(shù)學(xué)模型的相關(guān)信息？

師：本題的第（2）小題數(shù)學(xué)模型是三次函數(shù)模型，通過(guò)點(diǎn)在直線上建立函數(shù)關(guān)系式，將解三角形、直線方程、兩點(diǎn)間距離公式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)整合在一起，然后再利用導(dǎo)數(shù)求解，最后再回到實(shí)際問(wèn)題中來(lái).

生甲：如圖3，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車(chē)場(chǎng)，PQ =5.2 km.某旅游團(tuán)游覽完島嶼后，乘游船回停車(chē)場(chǎng)Q，已知游船以13 km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，sinθ=-5/13，游船離開(kāi)觀光島嶼3 min后，因事耽擱沒(méi)有來(lái)得及登上游船的游客甲為了及時(shí)趕到停車(chē)地點(diǎn)Q與旅游團(tuán)會(huì)合，立即決定租用小船先到達(dá)湖濱大道M處，然后乘出租汽車(chē)到點(diǎn)Q（設(shè)游客甲到達(dá)湖濱大道后能立即乘到出租車(chē)）.假設(shè)游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車(chē)的速度為66 km/h.

（l）設(shè)sin α=4/5，問(wèn)小船的速度為多少km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q；

（2）設(shè)小船速度為10 km/h，請(qǐng)你替該游客設(shè)計(jì)小船行駛的方位角α，當(dāng)角α余弦值的大小是多少時(shí)，游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q.

第（l）小題的數(shù)學(xué)模型是方程類(lèi)的問(wèn)題，解直角三角形，建立方程；第（2）小題是三角函數(shù)模型.但由于我沒(méi)能正確理解方位角，導(dǎo)致建模錯(cuò)誤，因此本題沒(méi)有得分.

師：解數(shù)學(xué)應(yīng)用題首先是對(duì)相關(guān)概念、信息要理清楚，如方位角的概念，它是指從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角；其次正確選擇數(shù)學(xué)模型，如本題是屬于追及類(lèi)問(wèn)題（方程、函數(shù)），要抓住同時(shí)到達(dá)；再次選擇合理的運(yùn)算方法進(jìn)行求解；最后回到實(shí)際問(wèn)題中去.

師：正確！本題的數(shù)學(xué)模型并不是很復(fù)雜，但關(guān)鍵是挖掘題目中的隱含條件，收集題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)并認(rèn)真分析，當(dāng)遇到困難時(shí)，再讀題，再思考還有哪個(gè)條件或數(shù)據(jù)沒(méi)有用上.

解應(yīng)用題的關(guān)鍵就是提出問(wèn)題，收集數(shù)據(jù)，整理分析數(shù)據(jù)，建立模型，分析求解，回歸檢驗(yàn)，正弦定理、余弦定理在測(cè)量（角度、距離）、合理下料、設(shè)計(jì)規(guī)劃等方面有著廣泛應(yīng)用，從以上3題的分析過(guò)程我們可以獲得求解應(yīng)用題的基本策略：

（l）弄清題意是前提，通過(guò)閱讀，知道講的是什么，訓(xùn)練自己獨(dú)立獲取知識(shí)的能力.

（2）建立模型是關(guān)鍵，需要把實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，要有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)檢索的能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

（3）正確解模是目標(biāo)，建立了數(shù)學(xué)模型后，要正確解出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，并加以檢驗(yàn)，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

（4）提高能力是根本，正確快捷地求解應(yīng)用題需要提高各種綜合能力，