圓柱的變化

劉善娜（特級教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

學(xué)完人教版六年級下冊《圓柱的表面積》《圓柱的體積》之后。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過畫圓柱的切割圖，讓學(xué)生進(jìn)一步理解“截面”的含義，培養(yǎng)其空間能力。

2.通過畫圓柱的切割圖，進(jìn)一步優(yōu)化表面積、體積問題的解決策略。

3.通過圖形的動態(tài)變形，讓學(xué)生感受圓柱表面積與體積的變化，在解決問題中發(fā)展其幾何直觀能力。

【教學(xué)過程】

一、回顧“如何得到圓柱體”

師：在我們的學(xué)習(xí)過程中，遇到了大量的關(guān)于圓柱的“解決問題”。在這些問題中，圓柱體是怎么得到的？出現(xiàn)過哪些形式？（課件呈現(xiàn)）

●卷出來——長方形紙卷出側(cè)面。

●切割——從長方體中切割而得。

●旋轉(zhuǎn)——紙片旋轉(zhuǎn)運動，紙片為圓柱的半個截面。

●平移——水柱管道運動，水柱運行的長度作為圓柱的高。

師：我們已經(jīng)畫過了“卷出來”，今天重點研究“切割”“旋轉(zhuǎn)”“平移”。

二、分層研究

1.切割。

師：一個長方體的三種棱長度分別為10厘米、8厘米、5厘米，以不同的面為底面，切出三種盡可能大的圓柱，比較一下它們的體積。

（1）理解信息，想象“切割”的畫面。

（2）畫簡單的草圖，找到基本數(shù)據(jù)。

問1：剛才同學(xué)們都畫了三個草圖，有了自己動手畫的體驗后，你能看懂這個草圖嗎？（如上圖）這樣畫有什么好處？

生：簡單，也能得到基本信息。

問2：那你能從中得到哪些基本信息？

生：①號，底面在上面，直徑為8，高為5；②號，底面在前面，直徑為5，高為8；③號，底面在側(cè)面，直徑為5，高為10。

問3：根據(jù)已知的基本信息，你能比較這三個圓柱體的大小嗎？

一種確定：③號一定比②號大。

兩種猜想：①號比③號大，或者③號比①號大。

用數(shù)據(jù)驗證：①號是4×4×π×5=80π；③號是 2.5×2.5×π×10=62.5π。

問4：你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：體積要大，就要盡可能讓底面半徑大。

【設(shè)計意圖：學(xué)生往往會根據(jù)信息去畫三個切割圖，這對解題而言，支架過于累贅。因此，教師在學(xué)生體驗后，直接示范簡單作圖法，再次體驗到畫草圖的目標(biāo)是找到問題解決的關(guān)鍵信息。草圖無需精確到位，合理、簡潔即可，甚至可以取巧，只要能幫助找到關(guān)鍵信息就可以?！?/p>

（3）變化。

師：從長方體、正方體中可以切割出圓柱體，圓柱體自身也可以再切割，得到小圓柱體。

①把一根長為400厘米的圓柱形木料沿橫截面鋸成四段，表面積比原來增加了90平方厘米，原來這根木料的體積是多少立方厘米？

②把一根長為400厘米的圓柱形木料沿橫截面鋸了四次，表面積比原來增加了90平方厘米，原來這根木料的體積是多少立方厘米？

問1：你能畫草圖、標(biāo)數(shù)據(jù)，并列出式子嗎？

問2：兩道題的草圖對比，說說你的理解。

【設(shè)計意圖：切割是從表面積增加的角度來求出原體積，是學(xué)生較為常見的問題。通過題組比較的形式，讓學(xué)生借助草圖深度理解題意，掌握解題的關(guān)鍵點?！?/p>

（4）深化。

師：把一個高為10厘米的圓柱沿著底面直徑切成相等的兩半，表面積增加80平方厘米，這個圓柱的體積是多少立方厘米？先想象，再畫草圖找基本數(shù)據(jù)。

師：做完以后，同桌交流所畫草圖并說一說解題過程。

師：誰來介紹一下自己畫草圖解答的過程？

【設(shè)計意圖：這種數(shù)據(jù)隱含的切割問題比較難，學(xué)生借助草圖就能輕松理解并解決。畫草圖之前，一定要讓學(xué)生多想象，再用圖形予以表達(dá)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間感?！?/p>

2.旋轉(zhuǎn)。

師：有一張長4厘米、寬3厘米的長方形紙片，以其中的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)可以得到圓柱體，兩種圓柱體的體積分別是多少？

（1）理解題意，進(jìn)行想象。

（2）教師帶領(lǐng)作圖。

畫好兩個長方形→哪一條為軸，就把它“綁”在小棒上→旋轉(zhuǎn)，想象，另一條邊就是底面半徑。

師：這兩個圓柱哪個體積大？為什么？

小結(jié)：短邊為軸、長邊為底面半徑的圓柱體的體積更大。

【設(shè)計意圖：學(xué)生已經(jīng)具備利用長方形的兩個數(shù)據(jù)畫草圖的能力，但是在方法上還不夠清晰，需要教師提點、引導(dǎo)、規(guī)范來凸顯草圖的有效性。因此，不再讓已經(jīng)有相關(guān)畫圖體驗的學(xué)生去通過嘗試來積累經(jīng)驗，而是讓學(xué)生充分想象，然后教師直接示范引領(lǐng)，帶著學(xué)生有效作圖。】

3.平移。

師：在直徑0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分鐘流過的水有多少立方米？

師：確定形成了圓柱嗎？能找到關(guān)鍵信息試著畫一畫草圖嗎？

（反饋交流草圖，感受草圖的作用）

【設(shè)計意圖：動態(tài)的水柱是圓柱體，對學(xué)生而言是比較難以理解的，借助草圖，學(xué)生的理解難度就下降了。1分鐘是60秒，也是一個較大的數(shù)據(jù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用推想簡畫的策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和運用策略的過程中，感受策略對于解決問題的價值，并形成一定的策略意識?！?/p>

三、全課總結(jié)

師：關(guān)于畫圓柱的變化圖，你有什么收獲？

【教學(xué)建議】

學(xué)生在學(xué)習(xí)圓柱表面積、體積問題時，最大的困難不是根據(jù)公式進(jìn)行計算，而是其中的“變化”，需要在數(shù)與形兩個層面深度理解。本課的教學(xué)時機(jī)為學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積之后，一旦本課的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成，練習(xí)課的課時就可以適當(dāng)縮短。從某種角度而言，這是一種學(xué)科內(nèi)部的課程整合。在實際教學(xué)中要注重以下兩點：

一、對“如何得到圓柱體”，要從“問題”中抽取出直觀

問學(xué)生“圓柱體是怎么得到的，出現(xiàn)過哪些形式？”學(xué)生的快速回答離不開教師平時對“問題”特征的歸納。比如當(dāng)學(xué)生遇到“從長方體中切割出圓柱”的時候，要動態(tài)演示，給學(xué)生留下“切割”的動態(tài)印記，幫助學(xué)生看到問題的時候，就能想象出大致的運動形式。學(xué)生腦海中有這樣的“痕跡”，就有助于后續(xù)進(jìn)行抽象作圖，解決較為復(fù)雜的問題。

二、“平移”難點的突破，要順著學(xué)生的思考過程

水柱的流動，類似“平移”一段距離得到圓柱體。將已知的水流速度、流動時間和管道半徑的問題和具體的圓柱體關(guān)聯(lián)起來，學(xué)生有一定的困難。突破這一難點，學(xué)生要經(jīng)歷的思考過程有三步：一是理解流動的水柱是圓柱，流動的距離也就是路程，路程=速度×?xí)r間，教師最好給出形象的照片圖輔助理解；二是能指認(rèn)水柱（圓柱）的底面（橫截面）大小和管道半徑有關(guān)，高度（長）和水流前進(jìn)的距離有關(guān)；三是能結(jié)合指認(rèn)過程畫出簡單的草圖，并標(biāo)注關(guān)鍵數(shù)據(jù)。