從深刻性理解到結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)
——兼談《20以內(nèi)的進(jìn)位加法（第一課時）》教學(xué)

許衛(wèi)兵（特級教師）

如果從內(nèi)容形式上劃分，“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”應(yīng)當(dāng)屬于計算教學(xué)的范疇。但是，由于這是學(xué)生首次學(xué)習(xí)進(jìn)位加法，首次正式學(xué)習(xí)并應(yīng)用“湊十法”這一貫穿在整個加法運算中的重要算法，因此，本課教學(xué)又帶有濃濃的概念教學(xué)的意味。深刻地理解和把握這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點，正確看待“湊十法”的學(xué)習(xí)價值與意義，尋求科學(xué)有序的學(xué)習(xí)方式和路徑，是這節(jié)課需要考慮的幾個重要方面。

對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，并不能局限在教材內(nèi)容。馬立平博士在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書中提及，深刻理解數(shù)學(xué)包括三個“度”：寬度、深度和完整度。所謂寬度，就是能多角度地“欣賞”一個概念的不同側(cè)面和解決問題的不同路徑，以及它們的優(yōu)勢與不足。所謂深度，就是“顯示了積極的數(shù)學(xué)態(tài)度”，并特別清楚“簡單而又強大的基本數(shù)學(xué)概念和原理（數(shù)學(xué)思想）”。所謂完整度，就是能夠融會貫通——并不局限在某個年級的數(shù)學(xué)知識，而是對整個小學(xué)數(shù)學(xué)課程有全面把握。這種深刻理解，“不僅僅是對小學(xué)數(shù)學(xué)有很好的概念性理解，而且還是對小學(xué)數(shù)學(xué)中內(nèi)在的概念結(jié)構(gòu)和基本的數(shù)學(xué)態(tài)度的掌握，還有能為概念結(jié)構(gòu)提供的基礎(chǔ)并把那些基本的態(tài)度傳授給學(xué)生的能力”。

如何從知識系統(tǒng)性的角度理解“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的教學(xué)呢？這是因為，是10以內(nèi)加減法（即“不進(jìn)位加”“不退位減”）的延續(xù)和升華，又是后續(xù)兩位數(shù)（或多位數(shù)）加減法的基礎(chǔ)。實際上，看似“高級形式”的多位數(shù)加減最終都是分解為一步一步的20以內(nèi)的加減法來完成。因此，這一內(nèi)容，在整個加減法的知識系統(tǒng)中“分量”非同一般。從馬立平博士提供的加減法“知識包”（如下圖）可以看出，“20以內(nèi)加減法”與“進(jìn)位和退位”（用深色加以標(biāo)注），就是表明它們在整個知識系統(tǒng)中的關(guān)鍵作用，不僅承上啟下，而且“左通右達(dá)”。

了解到這一重要性后，就需要進(jìn)一步思考如此重要是通過什么來承載的，即到底是什么東西讓“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”變得如此重要？很顯然，那就是“湊十法”在其中發(fā)揮的重要應(yīng)用。因此，理解“湊十法”、學(xué)好“湊十法”、靈活應(yīng)用“湊十法”就成了本課教學(xué)的重點。

縱觀劉玉晗、錢麗兩位教師的教學(xué)設(shè)計，都聚焦在“湊十法”上大做“文章”，頗有異曲同工之效：首先是借助具體算式或圖示等直觀手段激活“10”的感覺，喚醒“10加幾等于十幾”的運算經(jīng)驗；然后是嘗試解決新問題（9加幾），從算法多樣化的背景中，將“湊十”的方法思路提取出來，聚焦并放大其在運算中的優(yōu)越性；接著通過拓展、遷移、對比、應(yīng)用，進(jìn)行鞏固練習(xí)，強化利用“湊十法”進(jìn)行進(jìn)位加法運算的熟練水平。應(yīng)該說，這兩節(jié)課在寬度、深度和完整度上都有充分的體現(xiàn)，并且教師努力將自己的理解轉(zhuǎn)化成學(xué)生積極的學(xué)習(xí)行動與能力培養(yǎng)?？陀^地講，這樣的設(shè)計思路和教學(xué)組織在傳統(tǒng)教學(xué)中是比較常見的，也在一定程度上印證了馬立平博士在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》中所述的觀點——“中國教師往往對一個概念第一次被引入的場合最為重視。他們?yōu)楹罄m(xù)的學(xué)習(xí)建立堅實的基礎(chǔ)。對他們來說，第一次和最初的學(xué)習(xí)越牢固，它能為后續(xù)的形式更為復(fù)雜的概念學(xué)習(xí)提供更多的幫助。”

當(dāng)然，同樣是重視“湊十法”，兩位教師的教學(xué)設(shè)計也體現(xiàn)出一定的差異。劉玉晗老師遵照教材的編排體例，第一課時只學(xué)習(xí)“9加幾”。因為學(xué)習(xí)內(nèi)容相對較少，因此課堂教學(xué)比較細(xì)膩，各部分展開比較充分，學(xué)習(xí)要求穩(wěn)步提升，鞏固訓(xùn)練比較扎實。錢麗老師不拘泥于教材的限制，將兩個課時的內(nèi)容整合在一節(jié)課學(xué)習(xí)（實際上還涉及到第三課時編排的部分內(nèi)容），以“湊十法”的學(xué)習(xí)為主線，串聯(lián)起9加幾、8加幾、7加幾的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)容量相對較大，思維要求相對較高，不過，因為課堂“主線”清晰，遷移過渡比較自然，加上學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)的支持，學(xué)起來也不見得有太大困難。更為重要的是，因為其跨度大，重視了知識間的整體性和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，學(xué)生經(jīng)歷了較為完整的認(rèn)知建構(gòu)過程，結(jié)構(gòu)化思維得到了很好的發(fā)展。

錢麗老師的教學(xué)設(shè)計觸發(fā)了我們對結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的思考。所謂結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，是指建立在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)和學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，以整體關(guān)聯(lián)為抓手，以動態(tài)建構(gòu)為核心，以發(fā)展思維為導(dǎo)向，以基礎(chǔ)學(xué)力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)追求的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方式和方法。數(shù)學(xué)常常就被說成“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，一方面是因為鄭毓信教授在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中提到“數(shù)學(xué)對象是明確定義的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)結(jié)論又是按照相應(yīng)的定義與給定的推理規(guī)則進(jìn)行推理的結(jié)果，因此，數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就完全反映于它們的相互關(guān)系。這也就是指，數(shù)學(xué)對象的建構(gòu)事實上是一種整體性的建構(gòu)活動。或者說，數(shù)學(xué)的對象并非各個孤立的模式，而是整體性的建構(gòu)”；另一方面也是因為學(xué)習(xí)總是一個連續(xù)的過程，前面的知識支持新的知識，新知識又加強和深化了原先的認(rèn)識，用美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納的話來講，即“學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的”。

正因為數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)具有很強的整體性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分順應(yīng)這種特征，抓住知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在建構(gòu)性學(xué)習(xí)中更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)，發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，催生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智慧。受錢麗老師的教學(xué)設(shè)計的啟示，我們可以發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是可以適度整合的，比如：借助于真實的鐘面，將“時”“分”“秒”三個時間單位安排在一節(jié)課學(xué)習(xí)；在學(xué)習(xí)“分米”和“毫米”時，將之嵌入到“米”和“厘米”的序列中。經(jīng)過整合，能少用課時，增強學(xué)習(xí)效果。當(dāng)然，我們不能為了整合而整合，還需要充分考慮學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)難度、學(xué)習(xí)容量。同時，也要看到，“結(jié)構(gòu)”的存在方式是多種多樣的，從范圍來看，有大結(jié)構(gòu)（比如，小學(xué)里學(xué)習(xí)的認(rèn)識方向、確定位置，實際上都是初中學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系模型；長方形、正方形、三角形、平行四邊形的面積都可以用梯形面積公式來計算，內(nèi)在具有“統(tǒng)一性”等）、小結(jié)構(gòu)（比如，錢麗老師教學(xué)設(shè)計中，開始五道含有“10”的加法算式的比較，中途將“9+4”的多樣化算法進(jìn)行比較，最后環(huán)節(jié)將“進(jìn)位加”和“不進(jìn)位加”進(jìn)行比較等，都具有明顯的結(jié)構(gòu)特色）。從內(nèi)容上來看，有知識層面的（比如，用“湊十法”計算進(jìn)位加），也有方法層面（比如，錢麗老師的教學(xué)設(shè)計中出現(xiàn)的“看、提、擺或圈、寫、說”的問題解決流程；用“先分后合”解決多位數(shù)乘法運算等）；有思維層面的（比如，正想想，反想想），也有思想層面的（比如，轉(zhuǎn)化的思想、建模的思想、方程的思想等）。從時序上看，有學(xué)習(xí)前結(jié)構(gòu)（原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)）和學(xué)習(xí)后結(jié)構(gòu)（經(jīng)過學(xué)習(xí)之后形成的新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)）。從對象上看，有個體結(jié)構(gòu)（學(xué)生個人具有的結(jié)構(gòu)方式）和群體結(jié)構(gòu)（學(xué)生集體擁有的結(jié)構(gòu)模式）。多樣化的結(jié)構(gòu)形式，必然會帶來多樣性的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，當(dāng)然，其根本的目標(biāo)還是促進(jìn)思維的發(fā)展，尤其是結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

總的說來，對教學(xué)內(nèi)容的深刻性理解是有效進(jìn)行教學(xué)活動和學(xué)習(xí)活動的前提，而結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)則是具體的過程、路徑和方式，它遵從了數(shù)學(xué)學(xué)科“整體性建構(gòu)”的本質(zhì)特征，順應(yīng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“四兩撥千斤”的內(nèi)在需求，彰顯了“素養(yǎng)為上”的教育教學(xué)價值，值得我們好好地思考和實踐。