多項式實根數(shù)目判定的Sturm方法

于沁涵

摘 要：一元多項式方程的求解是代數(shù)學(xué)的基本問題，本文通過探討Sturm方法的原理，對任意給定的一元多項式方程，可以判斷該多項式在任意給定區(qū)間上的實根的個數(shù)。

關(guān)鍵詞：多項式方程；Sturm方法；實根個數(shù)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）20-0210-02

1 引言

方程是最基本的數(shù)學(xué)表達式，可以用來描述各種已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。從9世紀(jì)開始數(shù)學(xué)家們就對方程求解有很多研究，如阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家M.Khowarizmi（約780-約850）給出了一次和二次方程的一般解法；1541年，意大利數(shù)學(xué)家N.Tartaglia給出了三次方程的一般解法；1545年意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano在他的名著《大術(shù)》中，把Tartaglia的三次方程的解法加以發(fā)展，并記載了數(shù)學(xué)家L.Ferrari的四次方程的一般解法。數(shù)學(xué)史上，如何求解五次以上代數(shù)方程的根式解很快變得撲朔迷離，在接下來的兩個多世紀(jì)中，很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家嘗試了不同的方法，試圖揭開謎團。1788年，法國數(shù)學(xué)大師J.L.Lagrange提出了五次方程根式解不存在的猜想。1824年，挪威年輕的數(shù)學(xué)家N.H.Abel成功的證明了五次以上一般方程沒有根式解。在Abel之后，人們已經(jīng)知道五次以上的一般方程無根式解，但很多特殊的方程，如x5=1，可根式求解。到底哪些方程可以根式求解，哪些不可以，具體判斷的依據(jù)是什么？1828年，法國天才數(shù)學(xué)家E.Galois巧妙而簡潔地證明了存在不能用開方運算求解的具體方程，同時還提出了一個代數(shù)方程能用根式求解的判定定理。

對于低次方程，可以利用根式求解方法求得其精確解，進而可以判斷實根的數(shù)目；但對于高次的情形，通常很難求出其精確解，而一些求近似實根的數(shù)值方法在實際應(yīng)用中又存在一定的局限性。為此，本文的研究目的：即任意給定的一個一元多項式，通過運用Sturm方法，判斷該多項式在任意給定區(qū)間上實根的個數(shù)。

2 多項式實根數(shù)目判定預(yù)備知識

對給定的多項式，首先要先對根的界進行估計，即可以找到一個數(shù)，使得的所有實根都包含在區(qū)間上。

定理1：設(shè)是實系數(shù)多項式，假設(shè)，并記：

則對任意或，有。

對多項式實根數(shù)目進行精確判定的結(jié)果最先由法國數(shù)學(xué)家J.C.Sturm給出，稱為Sturm定理[1-2]。在介紹Sturm方法之前，我們首先引入符號序列的變號數(shù)及相關(guān)概念。

設(shè)為一實數(shù)序列，稱 為A的符號序列。其中=1，若；=0，若；，若。

對給定的序列，令為其對應(yīng)的符號序列，定義的變號數(shù)為。并約定，時；若，同樣。所以有如下推論：

推論：一個符號序列的變號數(shù)與去掉中所有0元素后得到新序列的變號數(shù)一樣。

例1：求序列的變號數(shù)。

解1：對應(yīng)的符號序列為，從而變號數(shù)。

定義：對于一個多項式序列和一個實數(shù)，則在處的變號數(shù)為 。

注：上式中可以取無窮遠點，此時只需關(guān)注多項式序列中每一項的首項的正負號即可。

3 Sturm定理

由定理1知，存在一個正整數(shù)使得多項式的所有實根都在區(qū)間上。以下我們判斷多項式在任意給定區(qū)間上的實根數(shù)目，現(xiàn)引入Sturm序列的定義及Sturm定理。

Sturm序列[3]：一個有限的多項式序列 稱為多項式的Sturm序列，若滿足以下條件：

1）是無平方的（沒有重根）；2）若，則有；3）若，則有 ；4）的符號不改變。

可采用如下方法來構(gòu)造Sturm序列：

這里和表示多項式關(guān)于多項式的余式和商。由于構(gòu)造的多項式的次數(shù)滿足，上述過程一定可以終止。并且最后一項是多項式和的最大公因子。

Sturm定理：設(shè)為一元實系數(shù)多項式，為的Sturm序列，對任意一個區(qū)間，記為在區(qū)間上的不同實根的個數(shù)，則有： 。

4 舉例應(yīng)用

例2：考慮多項式，試判斷此多項式分別在區(qū)間，和上的實根數(shù)目。

解2：采用前一章Sturm序列的構(gòu)造過程，得對應(yīng)的Sturm序列，其中：

注意這里構(gòu)造的Sturm序列中的多項式首項系數(shù)已約減為±1。由Sturm定理，在區(qū)間上的實根數(shù)目為：

；類似可得到和 ?？梢钥闯觯憾囗検街挥?個實根，另外有2個復(fù)根。

通常工程和數(shù)學(xué)計算中，多項式的形式會相當(dāng)復(fù)雜、次數(shù)也會相當(dāng)高，此時Sturm序列將很難手動計算。為實現(xiàn)高次多項式實根數(shù)目的判定，計算機代數(shù)MAPLE軟件提供了計算Sturm序列和Sturm序列在相應(yīng)區(qū)間的變號數(shù)的命令。分別如下：

給定多項式，命令計算對應(yīng)的Sturm序列；再次調(diào)用命令計算多項式在區(qū)間上對應(yīng)的實根數(shù)目。現(xiàn)分析下例高次多項式。

例3：考慮多項式：

，試判斷此多項式在和上的實根數(shù)目。

解3：在MAPLE里調(diào)用得對應(yīng)的Sturm序列：

，其中：

再次調(diào)用命令，得到在區(qū)間上的實根數(shù)目為2；調(diào)用命令，得到在區(qū)間上的實根數(shù)目為6?？梢钥闯觯憾囗検揭还灿?個實根，2個復(fù)根。

參考文獻

[1]何青.計算代數(shù)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1997.

[2]王東明，夏壁燦，李子明.計算機代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[3]王東明，等.多項式代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2011.