兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)解研究

周 莉

( 齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006 )

0 引 言

兩相同部件并聯(lián)系統(tǒng)模型是可修系統(tǒng)模型的一種，是一種可靠性數(shù)學(xué)模型．可修系統(tǒng)模型包含串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)，允許對(duì)失效部件進(jìn)行修理，修理后的部件可繼續(xù)執(zhí)行其使命，使其恢復(fù)功能．在實(shí)際生產(chǎn)生活中，為了改善系統(tǒng)的可靠性，經(jīng)常采用維修的手段．由于引入了修理，模型的分析更加復(fù)雜．例如Huang等研究了多態(tài)連續(xù)n中取k可修模型[1-4]，補(bǔ)充和深化了可修系統(tǒng)理論．而并聯(lián)系統(tǒng)是包含多個(gè)部件，且有一個(gè)能夠正常工作的完好系統(tǒng)，是具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值的可修系統(tǒng)．王定江[5]討論了兩相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的穩(wěn)定性并應(yīng)用強(qiáng)連續(xù)算子半群理論證明了系統(tǒng)非負(fù)解的唯一存在性；史定華[6]在?p1(x，t)/?t=0條件下用Laplace變換給出了解的Laplace變換公式，即得到了解的存在性．文獻(xiàn)[7]中用C0半群理論研究了這個(gè)系統(tǒng)存在唯一非負(fù)的時(shí)間依賴解．郭衛(wèi)華[8]用迭代法證明了該系統(tǒng)非負(fù)解的存在性和唯一性．本文在兩相同部件并聯(lián)系統(tǒng)中用初等階梯函數(shù)對(duì)其修復(fù)率進(jìn)行逼近，用半離散算法[9-10]將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)離散化數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用泛函分析理論證明系統(tǒng)模型動(dòng)態(tài)解的逼近．

1 數(shù)學(xué)模型

一類(lèi)兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的模型見(jiàn)圖1．

圖1 兩個(gè)相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的模型

該模型可用積分-微分方程組(系統(tǒng)Ⅰ)描述為

(1)

(2)

p1(0，t)=λ(k+1)p0(t)

(3)

p0(0)=1，p1(x，0)=0

(4)

式中：p0(t)表示在時(shí)刻t兩個(gè)部件完好的概率；p1(x，t)dx表示在時(shí)刻t一個(gè)部件完好另一個(gè)部件故障并且故障的部件在(x，x+dx]內(nèi)被修好的概率；λ表示部件的平均壽命；μ(x)表示部件的修復(fù)率，滿足

0≤μ(x)<∞

k表示正比失效率，k=1時(shí)表示并聯(lián)，01時(shí)表示冷備．當(dāng)兩個(gè)部件都完好時(shí)一個(gè)部件工作，一個(gè)部件儲(chǔ)備，儲(chǔ)備的部件失效率為kλ．

2 泛函分析處理

下面在Banach空間中用抽象Cauchy問(wèn)題的形式來(lái)描述這個(gè)系統(tǒng)．

設(shè)算子

取狀態(tài)空間

顯然，X是Banach空間．算子A的定義域?yàn)?/p>

則式(1)～(4)可以描述成Banach空間X中一個(gè)抽象的Cauchy問(wèn)題．

(5)

p(0)=(1 0)T

(6)

3 計(jì)算模型半離散化

0=a0

令

Δi=[ai-1，ai]，x0∈(0，∞)

下面構(gòu)造階梯函數(shù)：

則由假設(shè)，對(duì)任意的ε>0，存在x0∈[0，∞)使得

|μ(x)-μ*|<ε

與

|μn(x)-μ(x)|<ε

進(jìn)而原模型經(jīng)離散后化為式(1)′～(4)′(即原系統(tǒng)的修復(fù)率μ(x)置換為μn(x))，則原偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠滔到y(tǒng)(1)′～(4)′，如同前面一樣把式(1)′～(4)′用Banach空間中的抽象Cauchy問(wèn)題來(lái)描述：

(7)

pn(0)=(1 0)T

(8)

4 動(dòng)態(tài)解逼近的證明

由線性算子半群對(duì)偏微分方程的應(yīng)用及文獻(xiàn)[11]知：A+B生成一個(gè)C0壓縮半群，又因?yàn)樯蒀0半群具有唯一性，所以此壓縮C0半群就是T(t)．

首先估計(jì)線性算子A+B和(An+Bn)的預(yù)解式分別為R(v；A+B)和R(v；An+Bn)，然后對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解的逼近問(wèn)題用Trotter定理加以證明．

考慮方程[vI-(A+B)]p(x)=y(x)，即

(9)

(10)

p1(0)=λ(k+1)p0

(11)

由式(11)可得

(12)

令

將式(12)代入式(9)得

(13)

令

整理得

(v+λ(k+1)(1-ω))p0=y0+φ(y1)

(14)

令

|D|=v+λ(k+1)(1-ω)=

所以由文獻(xiàn)[12]得出當(dāng)v>0時(shí)|D|≠0方程(14)的解是唯一的，因此方程組(9)～(11)的解也是唯一的，進(jìn)而有R(vI-A-B)X，(vI-A-B)是閉算子，且(vI-A-B)-1也存在并且是有界的．而|D|能用ω線性表示，所以當(dāng)v>0時(shí)

(exp(-vx)為減函數(shù))=

即0<|ω|<1，那么|D|也是有界的．所以由式(14)得

將p0代入p1(x)則有

取

因此A+B的預(yù)解式為

將(vI-A-B)-1中ω、φ(y1)、W、Q(y1)、|D|含有的μ(x)變?yōu)棣蘮(x)得到(vI-An-Bn)-1，相應(yīng)的ω、φ(y1)、W、Q(y1)、|D|記為ωn、φn(y1)、Wn、Qn(y1)、|Dn|，Λ記為Λn，于是得到

現(xiàn)在來(lái)證明系統(tǒng)修復(fù)率的逼近，只要證明R(v；An+Bn)y→R(v；A+B)y．

只需證明

且|Dn||D|≠0，|Dn|、|D|有界(n→∞)．|D|≠0同理|Dn|≠0，且|Dn|有界，|D|為ω的線性表示，ω中含有μ(x)，要證明|Dn|→|D|，只需證明ωn→ω(n→∞)．

考慮

則有|ωn|→|ω|(n→∞)，即|Dn|→|D|(n→∞)．

證明Λn→Λ(n→∞)，只需證明相應(yīng)元素逼近，即

φ(yn)→φ(y1)，Wn→W，

Q(yn)→Q(y1)(n→∞)

μ(ξ)|dξ→0 (n→∞)

0 (n→∞)

|μn(x)-μ(x)|·

μ(x)|dξdτdx→0 (n→∞)

綜上所述

|Λn|→|Λ| (n→∞)

亦即

即

R(v；An+Bn)y→R(v；A+B)y(n→∞)

這樣就證明了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解的逼近．

5 數(shù)值計(jì)算模型

為了驗(yàn)證以上離散后的常微分方程組解的收斂性，用實(shí)踐證明理論的正確性．下面利用數(shù)值計(jì)算方法[13]，對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬．

(15)

(16)

p0(0)=1，p1(0)=0

(17)

下面用Matlab數(shù)學(xué)軟件求常微分方程組的數(shù)值解，此時(shí)令λ=0.5，μ=0.5，其結(jié)果如圖2所示．

對(duì)圖2進(jìn)行分析表明本文建立的離散化模型具有系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解．這個(gè)結(jié)論與理論證明的結(jié)論是一致的，進(jìn)而說(shuō)明半離散算法對(duì)于該可修系統(tǒng)模型是可行的．

(a) p0

(b)p1

圖2 系統(tǒng)(Ⅱ)的數(shù)值解(μ(x)=μ，為常數(shù))

Fig.2 Numerical solution of system (Ⅱ) (μ(x)=μ,is constant)

6 結(jié) 語(yǔ)

理論分析表明半離散化逼近方程能夠保持許多原來(lái)重要問(wèn)題的物理意義，所以該逼近方程就可以作為原物理問(wèn)題的常微分方程模型[14-15]．本文利用半離散化方法將兩相同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為矩陣常微分方程組，證明了該方程組解是收斂的．當(dāng)假設(shè)修復(fù)率為常數(shù)時(shí)對(duì)模型解進(jìn)行數(shù)值分析與計(jì)算，得到該模型的擬合圖．