樁頂固定時單樁側向變形與受力的積分方程解法

曹 明 宋春雨

(1.上海開放大學理工學院,上海 200433; 2.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院,上海 200240)

0 引 言

由于支撐高層建筑、橋梁和海上平臺的樁基,除了承受上部工程結構自重的豎向荷載以外,同時要承受由于波浪、潮水和風等產(chǎn)生的水平力,因而水平受荷樁的研究受到了國內(nèi)外學者的關注。

最早,Poulos[1]采用將樁周土模擬為彈性連續(xù)介質的彈性理論法研究樁頂固定時水平荷載作用下單樁的樁-土相互作用。梁發(fā)云等[2]基于Chen等[3]的樁頂自由時樁-樁相互作用系數(shù)的虛擬樁解法建立了樁頂固定時樁-樁相互作用系數(shù)解法。虛擬樁模型最早由Muki[4]提出,由于其能夠考慮樁土分離以后在原樁所在位置留下的孔洞,所以相對彈性理論方法的計算結果更加準確。

梁發(fā)云等[2]和Chen等[3]都是基于Pak[5]的單樁虛擬樁分析模型,建立了求解兩根等長樁相互作用系數(shù)的第二類Fredholm積分控制方程。由于以上學者所求解的樁-土相互作用的第二類Fredholm積分控制方程中的間斷點都未能給出顯式解[2,3,5],因而給計算程序的編寫帶來了不便,同時計算的穩(wěn)定性也不易控制。為此Cao[6]通過廣義虎克定律推導出了該間斷點的顯式解,本文在此基礎上建立了沒有間斷點的第二類Fredholm積分控制方程,該積分控制方程與轉角方程聯(lián)立,可以直接求解樁頂固定時單樁的樁身彎矩和樁頂位移。由于本文方法通過求解給定轉角的方程組來求解樁頂固定時單樁的水平位移,相對梁發(fā)云等[2]的方法更加簡單。

1 單樁的分析方法

1.1 樁身彎矩的求解

Pak[5]按照Muki & Sturnberg[4, 7]的虛擬樁方法,將半無限彈性地基土中樁頂受到水平剪力V(0)和彎矩M(0)的樁-土相互作用問題,分解為圖1所示的地基擴展土B和虛擬樁B*的疊加。其中樁的長度為L,半徑為a。樁、虛擬樁和地基土的彈性模量分別為Ep、E*和Es。地基擴展土與虛擬樁間的相互作用力包括沿原樁身位置單位長度上的分布力p*(z);作用在截面Π0上的水平剪力V(0)-V*(0+)、V*(0+)和彎矩-[M(0)-M*(0+)]、-M*(0+);作用在截面ΠL上的水平剪力V*(L-)、-V*(L-)和彎矩-M*(L-)。根據(jù)Pak的樁身橫截面發(fā)生小的旋轉的假定,有

M*(L)=0

(1)

M(0)-M*(0+)=0

(2)

圖1 半空間地基土中受水平荷載樁Fig.1 Laterally loaded pile embedded in semi-infinite foundationsoil

曹明[8]根據(jù)廣義虎克定律建立了樁頂自由時求解樁身彎矩沒有間斷點的第二類Fredholm積分控制方程,即

(3)

1.2 樁頂自由時樁身位移和轉角的求解

由已知的樁頂自由時虛擬樁的樁身彎矩、樁頂和樁底的水平位移,虛擬樁樁身的位移用無量綱參數(shù)表示為

(4)

(5)

1.3 樁頂固定時樁身位移和轉角的求解

梁發(fā)云等[2]根據(jù)Hetenyi[9]的分析方法,首先分別計算樁頂自由條件下受水平荷載V(0)或彎矩M(0)等單一荷載作用時的樁頂轉角,繪制成樁頂轉角與荷載函數(shù)的關系曲線。通過該函數(shù)曲線再確定樁頂轉角等于零時,對應于樁頂作用的水平荷載和彎矩組合情況?；诮o定的水平荷載和等效彎矩作用,根據(jù)樁頂自由時單樁的積分方程求解方法,即可求解樁頂固定條件下的樁身荷載和位移。

在本文中,根據(jù)Poulos等[10]的分析方法,樁頂固定時樁頂轉角等于零的條件,由式(5)有

(6)

式(6)與式(1)、式(2)和式(3)聯(lián)立求解可以得到任意樁頂固定約束時的樁身彎矩,樁頂固定時單樁樁身的水平位移和樁身的轉角與樁頂自由時的求解方法相同,即同樣可以分別由式(4)和式(5)得到。

2 計算結果驗證與參數(shù)影響分析

2.1 計算結果驗證

為了說明本文計算結果與Poulos等[10]解答的區(qū)別,圖2給出了對比結果。土的泊松比μs=0.50,樁長細比L/d=10和25,d為樁的直徑。從圖2可以看出,對于不同的樁長細比,當KR≥0.5時,即樁身剛度較大的樁,兩種計算方法所得計算結果數(shù)值大小基本一致。但當KR<0.01時,即樁身剛度越小時,本文計算結果與Poulos等解答的區(qū)別越明顯。這是由于在計算樁-土相互作用時所采用的計算模型不同。

圖2 樁剛度系數(shù)對樁頂固定時樁身彎矩的影響Fig.2 Influence of pile stiffness rate on pile bending moment distribution for the fixed-head piles

2.2 參數(shù)影響分析

從圖3可以看出,當樁頂作用單位水平荷載時,為了保持樁頂轉角等于零,受約束的樁頂同時作用有負彎矩,最大負彎矩出現(xiàn)在樁頂處,樁身的負彎矩沿樁的埋深由大減小到0,具體有如下分布規(guī)律:

(1) 樁土彈性模量比對樁身彎矩的分布有明顯的影響,樁身剛度越大,樁身彎矩從負彎矩減小到0的位置越深,如圖3(b)-(d)所示。如果負彎矩為零的位置不在樁底,在該位置的下部會出現(xiàn)正彎矩,如圖3(a)所示,當樁土彈性模量比Ep/Es=100時,在樁埋深靠近L/a=2.7的位置,樁身負彎矩減小為0,在靠近樁埋深L/a=2.7以下位置出現(xiàn)了正彎矩。

(2) 從圖3(a)-(d)中可以看出,當樁土彈性模量比Ep/Es=100和1000時,樁埋深對樁身彎矩為0的位置沒有明顯的影響。但是,對于不同的樁身剛度,當樁埋埋深到一定的深度,樁身都會出現(xiàn)負彎矩為0的位置以及正彎矩,如對于樁土彈性模量比Ep/Es=100,在樁埋深L/a=20時,樁身沒有出現(xiàn)負彎矩,但當樁埋深靠近L/a=40、80和160時,樁身都出現(xiàn)了負彎矩。

(3) 樁土彈性模量比對樁頂最大負彎矩有明顯的影響,樁的剛度越大,樁頂?shù)淖畲筘搹澗刂狄苍酱?。樁長細比對樁頂最大負彎矩的大小沒有明顯的影響。

圖3 單位水平力作用下樁的彎矩分布Fig.3 Bending moment distributions under unit shear

從圖4可以看出,樁頂?shù)霓D角為0,說明樁頂固定。隨著樁的埋深增加,樁身的轉角具體有如下分布規(guī)律:

(1) 當樁長細比分別為L/a=20、40和80時,樁土彈性模量比對樁身轉角絕對值的最大值的分布有明顯的影響,樁的剛度越大,樁身轉角值絕對值的最大值越小,即樁身轉角值絕對值的最大值與樁身剛度成反比。但當樁長細比為L/a=160時,樁身轉角值絕對值的最大值與樁身剛度并不成反比關系。

(2) 對于不同的樁身剛度,當樁埋埋深到一定的深度,樁身轉角絕對值都是先增加,再逐漸減小。如對于樁土彈性模量比Ep/Es=10 000,在樁埋深L/a=40時,樁身沒有出現(xiàn)轉角為0的位置,但當樁埋深靠近L/a=80和160時,樁身都出現(xiàn)了轉角為0的位置。

(3) 樁長細比對樁身轉角絕對值的最大值的位置沒有明顯的影響。

圖4 單位水平力作用下樁的轉角分布Fig.4 Slope distributions under unit shear

從圖5可以看出,樁身的最大位移位置在樁頂,隨著樁的埋深增加,樁身的位移逐漸減小,具體有如下分布規(guī)律:

(1) 樁土彈性模量比對樁頂位移值大小有明顯的影響,樁的剛度越大,樁頂位移值越小。

(2) 對于不同的樁土彈性模量比,樁長細比分別為L/a=20、40、80和160的時候,樁長細比對樁頂位移值大小沒有明顯的影響。

3 結 論

本文采用虛擬樁的方法來計算樁-土相互作用,將樁與土的作用體系離散成半空間地基土和虛擬樁的疊加,由于該方法充分考慮了樁土分離以后樁體孔洞的存在,在與現(xiàn)有方法計算結果的比較中可以看出本文積分方程方法可以適當考慮樁的存在對土的變形的影響,即可以考慮樁在土中的“加筋效應”。

通過樁頂轉角固定的方程與求解樁-土相互作用彎矩的第二類Fredholm積分方程聯(lián)立,可以方便的得到樁頂固定時單樁的樁身彎矩、位移和轉角。

從對樁頂固定時單樁的參數(shù)分析中可以得到如下結論:

(1) 樁身彎矩從負彎矩減小到0的位置深度、樁頂?shù)淖畲筘搹澗刂蹬c樁身剛度成正比。但樁長細比對樁頂最大負彎矩的大小沒有明顯的影響。

(2) 對于不同的樁身剛度,當樁埋埋深到一定的深度,樁身轉角絕對值都是先增加,再逐漸減小。

(3) 樁的剛度與樁頂位移值大小成反比。

圖5 單位水平力作用下樁的位移分布Fig.5 Displacement distributions under unit shear