基于積分求導(dǎo)還原思想的新型邊坡變形預(yù)測(cè)UGM(1，1)建模方法

馮學(xué)茂

(廣西新恒通高速公路有限責(zé)任公司，廣西 南寧 530021)

0 引言

邊坡的變形變化受地質(zhì)因素和工程因素綜合影響，是一個(gè)復(fù)雜的非線形開(kāi)放系統(tǒng)[1]。傳統(tǒng)的GM(1，1)模型是基于等時(shí)距的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的，而在實(shí)際邊坡變形監(jiān)測(cè)中，所獲得的數(shù)據(jù)往往并非是等時(shí)距的?；疑到y(tǒng)理論的主要思想是以時(shí)間距離作為乘數(shù)，并將原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加，生成新的序列，從而削弱原始時(shí)間序列的隨機(jī)性[2-3]。UGM(1，1)模型的出現(xiàn)，有效地解決了非等時(shí)距數(shù)據(jù)序列等時(shí)距轉(zhuǎn)換問(wèn)題。傳統(tǒng)UGM(1，1)灰色模型先利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與時(shí)區(qū)長(zhǎng)度的乘積，再通過(guò)一階累加構(gòu)造新的數(shù)據(jù)序列，但傳統(tǒng)方法構(gòu)造的數(shù)據(jù)序列都會(huì)與實(shí)際情況存在出入。為了縮小兩者之間的差距，羅黨等人對(duì)灰色GM(1，1)模型進(jìn)行優(yōu)化，認(rèn)為灰色模型預(yù)測(cè)誤差主要來(lái)自計(jì)算式中構(gòu)造的背景值，并提出全新的背景值構(gòu)造式[4]；趙曉燕等人提出了對(duì)灰色模型平滑改進(jìn)以提高預(yù)測(cè)的方法[5]；胡華等人研究了邊坡變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)S型函數(shù)光滑處理對(duì)馬爾可夫模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響[6]；姜峰等人將優(yōu)化的背景值和新信息優(yōu)先原理運(yùn)用到傳統(tǒng)非等時(shí)距灰色模型中，研究表明該方法可以擴(kuò)大數(shù)據(jù)有效預(yù)測(cè)范圍[7]；李秀珍等人研究了灰色殘差修正模型的滑坡位移灰色預(yù)測(cè)結(jié)果具有很好的修正作用[8]。

在仔細(xì)研究了傳統(tǒng)UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理后，為了提高預(yù)測(cè)模型的新建序列和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的吻合度，本文從時(shí)間序列數(shù)據(jù)入手，提出一種新的UGM(1，1)模型。該模型基于積分法和近似逼近的思想，利用相鄰均值方法，通過(guò)一階累加構(gòu)造出新的數(shù)據(jù)序列，使得模擬數(shù)據(jù)變化情況更加接近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的走勢(shì)，再通過(guò)積分求導(dǎo)還原得到邊坡歷史累計(jì)變形的擬合函數(shù)，最后通過(guò)實(shí)例仿真來(lái)驗(yàn)證UGM(1，1)模型在數(shù)據(jù)模擬和數(shù)值預(yù)測(cè)方面的可行性和可靠性。

1 新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型建模原理

1.1 傳統(tǒng)UGM(1，1)模型

設(shè)有一組不等時(shí)距監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列：

X(0)={x(0)(t0)，x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，

x(0)(tn)}

(1)

各時(shí)段的時(shí)間間隔為：

Δti=ti-ti-1；Δtj=tj-tj-1

(2)

式中，Δti≠Δtj；i≠j；i，j∈{1，2，…，n}表示各段時(shí)間間隔不等。

傳統(tǒng)方法為將不等時(shí)距數(shù)據(jù)序列一階累加生成新的序列[9]：

(3)

通過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)找到數(shù)據(jù)序列的變化規(guī)律，然后根據(jù)數(shù)據(jù)序列的規(guī)律變化預(yù)測(cè)未來(lái)可能出現(xiàn)的數(shù)值，如果原始序列的變化情況在一階累加構(gòu)建新序列過(guò)程中沒(méi)有準(zhǔn)確反映，預(yù)測(cè)模型的模擬與預(yù)測(cè)精度都會(huì)受到影響。傳統(tǒng)UGM(1，1)模型的建模原理如圖1所示。

圖1 不等距序列構(gòu)造示意圖

(4)

由此建立的原始序列{x(0)(tk)}與新建序列{x(01)(tk)}之間的關(guān)系，表明了數(shù)據(jù)序列重構(gòu)是以原始數(shù)據(jù)變化為基礎(chǔ)，保證了新序列的合理性和科學(xué)性。

圖2 不等距序列誤差來(lái)源示意圖

1.2 新型UGM(1，1)模型

1.2.1 新型UGM(1，1)模型建模原理

對(duì)傳統(tǒng)UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理進(jìn)行仔細(xì)研究之后，針對(duì)傳統(tǒng)模型的誤差來(lái)源，通過(guò)對(duì)一階累加序列的構(gòu)建過(guò)程和模型的計(jì)算方法的改進(jìn)，提出了一種全新的UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型。該新模型的建模原理如下：

(5)

(2)在預(yù)測(cè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的邊坡變形時(shí)，基于連續(xù)函數(shù)積分求導(dǎo)還原思想，通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)模型所求得的面積變化的時(shí)間響應(yīng)式求導(dǎo)還原得到監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)變形時(shí)間序列方程。

如圖3所示，通過(guò)區(qū)間相鄰均值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積的變化值近似表示時(shí)間響應(yīng)方程在區(qū)間上的增量，灰色模型模擬和預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性就可以利用面積近似逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)提高。

圖3 相鄰均值法示意圖

1.2.2 新型UGM(1，1)模型構(gòu)建

設(shè)有一組不等時(shí)距監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列：

X(0)={x(0)(t0)，x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，x(0)(tn)}

(6)

各時(shí)段的時(shí)間間隔為：

Δti=ti-ti-1；Δtj=tj-tj-1

(7)

式中，Δti≠Δtj；i≠j；i，j∈{1，2，…，n}表示各段時(shí)間間隔不等。

建模前，將原始序列中任意兩個(gè)相鄰實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)取均值得到一組新序列：

(8)

處理后的數(shù)據(jù)序列即為：

X(00)={x(00)(t1)，x(00)(t2)，x(00)(t3)，…，x(00)(tn)}

(9)

對(duì)處理后的不等時(shí)距數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加：

X(01)(tk)=x(00)(t1)×Δt1+x(00)(t2)×Δt2+…+x(00)(tk)×Δtk

(10)

(11)

后續(xù)步驟與傳統(tǒng)UGM(1，1)模型建?；颈３忠恢?，采用最小二乘法解得新UGM(1，1)模型中時(shí)間響應(yīng)方程[10-11]：

(12)

(13)

(14)

(15)

2 新型灰色預(yù)測(cè)模型在邊坡位移中的算例分析

以某高速公路路基邊坡位移監(jiān)測(cè)為例，選取其中一組監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為依據(jù)，使用新型UGM(1，1)預(yù)測(cè)模型對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列建模并預(yù)測(cè)位移，以此來(lái)驗(yàn)證新模型在數(shù)據(jù)模擬與預(yù)測(cè)方面的準(zhǔn)確性與有效性。邊坡位移實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 監(jiān)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)表

2.1 模型建模及計(jì)算過(guò)程

根據(jù)灰色模型GM(1，1)適用范圍的討論結(jié)果[12-13]，發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始數(shù)據(jù)恒正且為凹函數(shù)時(shí)是其最佳的適用范圍；又因灰色預(yù)測(cè)模型的時(shí)間序列方程是基于指數(shù)函數(shù)建立的，本文將對(duì)計(jì)算的每一階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其時(shí)間-位移曲線為呈恒正的凹函數(shù)形式。

(1)初始序列

由表1，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理后構(gòu)成的原始數(shù)據(jù)序列為：

x(0)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(t10)}

={22.80，17.13，13.95，10.37，7.41，5.08，3.48，2.98，2.61，2.39，2.04}

(16)

(2)新建序列

原始位移數(shù)據(jù)一階累加生成的新序列為：

x(01)={x(01)(t1)，x(01)(t2)，…，x(01)(t10)

={578.985，967.485，1 393.085，1 668.675，1 856.025，1 992.985，2 073.735，2 168.765，2 236.265，2 311.575}

(17)

(3)時(shí)間響應(yīng)式

與傳統(tǒng)方法一樣通過(guò)最小二乘法來(lái)計(jì)算出灰色參數(shù)，并得到新型UGM(1，1)預(yù)測(cè)模型新建序列的時(shí)間響應(yīng)式：

(18)

根據(jù)初步得到的模型模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的差值，同樣采用相鄰均值方法建立對(duì)應(yīng)的殘差模型如下[14]：

一次殘差修正：

(19)

二次殘差修正：

(20)

最終得到傳統(tǒng)灰色UGM(1，1)預(yù)測(cè)模型的時(shí)間序列方程為：

(21)

2.2 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

通過(guò)建模計(jì)算取得的灰色預(yù)測(cè)模型的時(shí)間響應(yīng)式，對(duì)路基邊坡變形位移的預(yù)測(cè)結(jié)果分析如表2和圖4所示：

表2 新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析表

圖4 邊坡位移預(yù)測(cè)模型擬合預(yù)測(cè)圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文所述的新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型是通過(guò)研究傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的誤差來(lái)源和傳統(tǒng)UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型建模原理提出來(lái)的。以某高速公路一段路基邊坡實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為依據(jù)來(lái)驗(yàn)證新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型的模擬和預(yù)測(cè)效果，初步得到以下結(jié)論：

(1)新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型的模擬曲線與實(shí)測(cè)曲線非常吻合，且其預(yù)測(cè)數(shù)值的誤差為0.22%，遠(yuǎn)小于5%的合理范圍，說(shuō)明新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型可以用作數(shù)值灰色預(yù)測(cè)。

(2)經(jīng)過(guò)兩次殘差修正，新UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型生成的時(shí)間響應(yīng)方程隨著實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)緩慢趨于穩(wěn)定，其模擬的誤差逐步縮小，說(shuō)明了新模型適用于對(duì)變化平緩且逐漸趨于穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行模擬與預(yù)測(cè)。

(3)對(duì)于逐漸趨于穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，模型殘差修正是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。前期殘差修正是調(diào)整預(yù)測(cè)模型的時(shí)間響應(yīng)式的整體走勢(shì)；后期殘差修正則是進(jìn)行局部微調(diào)。

(4)新型UGM(1，1)模型數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的精度會(huì)隨著時(shí)間的延續(xù)而下降，初步分析預(yù)測(cè)與灰色預(yù)測(cè)模型的時(shí)效性有關(guān)。建議今后研究中引進(jìn)等維新息方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行新陳代換[15-16]，通過(guò)數(shù)據(jù)序列的不斷更新來(lái)提高灰色模型的預(yù)測(cè)精度。

結(jié)論分析表明，在數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方面，新型UGM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型具有一定的可行性和可靠性，對(duì)發(fā)展和優(yōu)化非等時(shí)距灰色預(yù)測(cè)模型具有一定的參考意義。