淺談大學(xué)數(shù)學(xué)教師如何有效使用教材

嚴(yán)冬梅

摘 要： 課程改革指出新課程要立足于學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來(lái)發(fā)展的需要，適應(yīng)21世紀(jì)科學(xué)技術(shù)和社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的需要，培養(yǎng)適合時(shí)代要求的高素質(zhì)的人才。為了更好地促進(jìn)新課程改革和提高教師業(yè)務(wù)水平，本文從領(lǐng)悟教材編寫(xiě)意圖，把握章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)；注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力；開(kāi)發(fā)、挖掘例題、習(xí)題資源，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法的滲透等幾方面來(lái)闡述高等數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何有效地使用教材。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)；有效使用；教材

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”有了越來(lái)越豐富的內(nèi)涵和更加廣泛的外延。數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式； 不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng)； 不僅是一門科學(xué)，而且是一種文化。數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)科技人才中具有其獨(dú)特的、不可替代的作用。對(duì)于高等學(xué)校的本科生而言，高等數(shù)學(xué)課程是一門非常重要的基礎(chǔ)課，它內(nèi)容豐富，理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)。不僅為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面奠定必要的基礎(chǔ)，而且在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)的能力，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力上都具有非常重要的作用。因此教師深刻理解教材，如何有效使用教材，用活教材是教學(xué)工作中一項(xiàng)重要的內(nèi)容。

同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)共有七章，包括極限，導(dǎo)數(shù)，積分，微分方程四大塊內(nèi)容。每一章中不僅有定義、性質(zhì)和定理的學(xué)習(xí)，又有鞏固知識(shí)、形成能力的例題和習(xí)題，更有培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力和抽象概括能力的大量資源。對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，本人認(rèn)為應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。

一、領(lǐng)悟教材編寫(xiě)意圖，把握章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

案例1：為什么把極限放在第一章？

首先極限的產(chǎn)生和發(fā)展歷史悠久，正是有了極限的概念，數(shù)學(xué)才從有限升華到無(wú)限。戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子-天下篇》有一句話：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。其含義是：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，千秋萬(wàn)代也截不完，也就是說(shuō)這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限地進(jìn)行下去。隨后，三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積。設(shè)有一圓，作圓的內(nèi)接6×2n-1正邊形，其面積記為An，當(dāng)n越大，An作為圓面積的近似值也越精確。當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，An也無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值就是一個(gè)極限值。

極限給“無(wú)窮逼近”的思想一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，沒(méi)有這個(gè)基礎(chǔ)，以后的微分、積分可以說(shuō)是不可信的，不牢靠的。在牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分時(shí)就受到過(guò)各種責(zé)難，其中影響最大的就是對(duì)“無(wú)窮小”的定義。由于當(dāng)時(shí)還沒(méi)有對(duì)極限的準(zhǔn)確定義，所以人們對(duì)這門學(xué)科實(shí)際上是持懷疑態(tài)度的，也就是認(rèn)為雖然微積分可以當(dāng)作一個(gè)工具使用來(lái)解決某些問(wèn)題，但它未必就是正確的。直到極限的準(zhǔn)確定義出現(xiàn)后，微積分才成為真正意義上的科學(xué)。

其次極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一章，是整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)。此概念貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)始末，導(dǎo)數(shù)、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)積分、級(jí)數(shù)等概念都是用極限來(lái)定義的。以定積分的定義為例，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)子區(qū)間 ，其中 ?？芍鲄^(qū)間長(zhǎng)度依次是：

，在每個(gè)子區(qū)間[xi-1，xi]中取一點(diǎn) ，作和式 。該和式叫做積分和，設(shè) （即λ是最大的區(qū)間長(zhǎng)度），如果當(dāng)λ→0時(shí)，積分和的極限存在，則這個(gè)極限叫函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]的定積分，記為 ，并稱函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積。[1]從此定義中可以看出定積分與極限之間的關(guān)系是很緊密的，可以用定積分來(lái)解決很多極限問(wèn)題。

只有理解了教材的編寫(xiě)意圖，把握了章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，才能更進(jìn)一步利用教材，才能更好地把知識(shí)傳授給學(xué)生。

二、注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在課堂教學(xué)中我們要善于創(chuàng)設(shè)教學(xué)環(huán)境，將學(xué)生的注意力引導(dǎo)到最佳的思維狀態(tài)。比如通過(guò)設(shè)疑讓學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、分析、比較來(lái)加深對(duì)知識(shí)的理解；通過(guò)加強(qiáng)思維訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法。

案例2：第五章第一節(jié)定積分概念的引入

定積分的概念是學(xué)生進(jìn)入“積分”世界必須跨過(guò)的第一道門檻，它上乘極限的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)、不定積分，下接定積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等其它學(xué)科中的應(yīng)用。

首先給出引例1、求曲邊梯形的面積。告知學(xué)生曲邊梯形的定義后，拋出問(wèn)題：如何求曲邊梯形的面積？引導(dǎo)學(xué)生把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的問(wèn)題，要計(jì)算的是曲邊梯形的面積，而學(xué)過(guò)的是規(guī)則幾何圖形的面積。設(shè)置問(wèn)題：怎樣把曲邊梯形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形呢？得出思路：曲邊梯形分割成若干小曲邊梯形，再把每個(gè)小曲邊梯形看成小矩形。再次拋出問(wèn)題：小矩形面積加起來(lái)和曲邊梯形面積相等嗎？最后得出求面積的四個(gè)步驟：分割，近似，求和，取極限，即 。

接著給出引例2、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。

設(shè)置問(wèn)題：和引例1的解題思路一樣嗎？得出求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程步驟：分割，近似，求和，取極限。先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再分小組討論、交流，總結(jié)出類似的問(wèn)題都可以通過(guò)這種方法來(lái)解決，得出 。

最后把問(wèn)題遷移，設(shè)置問(wèn)題：能不能將在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）的問(wèn)題歸結(jié)為這種類型的和式的極限？從而引出定積分的定義： 。

在提問(wèn)題時(shí)要抓住教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，問(wèn)題的內(nèi)容應(yīng)潛伏著教材內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和符合知識(shí)積累的邏輯順序，一環(huán)扣一環(huán)，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，叩開(kāi)學(xué)生思維的大門，使學(xué)生感到新穎，造成連續(xù)的思索，形成持久的內(nèi)驅(qū)力，引起學(xué)生思想上的共鳴，活躍課堂氣氛，有效地調(diào)動(dòng)每個(gè)學(xué)生的思維積極性，這樣可收到預(yù)想不到的效果。

在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師還需要把發(fā)散性思維和收斂性思維辨正地統(tǒng)一起來(lái)。運(yùn)用發(fā)散性思維，從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用全部信息，進(jìn)行放射性，多方位發(fā)散，多方位論證，多因素分析。例如，高數(shù)計(jì)算題的一題多解，就有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，爆發(fā)出創(chuàng)造思維的火花。但發(fā)散性若沒(méi)有收斂性思維作補(bǔ)充，容易發(fā)散無(wú)邊，變成幻想空想瞎想。因此，當(dāng)學(xué)生的思維發(fā)散到一定程度，就要適當(dāng)收斂。例如，學(xué)生對(duì)同一題進(jìn)行多種計(jì)算后，教師要啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些計(jì)算方法進(jìn)行比較和可行性檢驗(yàn)，從而尋求較好的計(jì)算方法，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

三、開(kāi)發(fā)、挖掘例題、習(xí)題資源，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法的滲透

同濟(jì)版教材中的例題和習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專家反復(fù)甄選而配置的，把例題和習(xí)題仔細(xì)分析講解給學(xué)生聽(tīng)，可以讓學(xué)生立即體會(huì)到剛剛學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)或強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)的熱情與興趣；可以幫助學(xué)生及時(shí)鞏固和記憶該知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容；可以讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)該知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際題目中的應(yīng)用類型，以及該知識(shí)點(diǎn)和其它知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系方式，從而幫助學(xué)生拓展眼界，并為以后解決該類型問(wèn)題提供示范和模板。同時(shí)，在講解題目時(shí)，滲透著分析問(wèn)題的基本方法和思路，以及解答和表述問(wèn)題的規(guī)范格式。

案例3：教材P271第4題，求極限

看上去這是一道求極限的題，有些學(xué)生可能會(huì)想到一些求極限的方法，比如：等價(jià)無(wú)窮小替換，兩個(gè)重要極限，洛必達(dá)法則，夾逼原理，單調(diào)有界原理……實(shí)質(zhì)上這是一道利用定積分的定義來(lái)求n項(xiàng)和數(shù)列極限的題，就是用連續(xù)來(lái)研究間斷的一種典型方法。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)函數(shù)連續(xù)與間斷的認(rèn)識(shí)也在深化，在一定條件下，實(shí)現(xiàn)了連續(xù)與間斷的相互轉(zhuǎn)化。

案例4： 教材P217例6

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如：未知向已知的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

設(shè) ，于是

最后再把u換回x，得

這是一個(gè)典型的應(yīng)用換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化的題目，為了去掉根號(hào)，把整個(gè)根號(hào)令為u。

我們教師要有從教材中跳出來(lái)并反過(guò)來(lái)駕馭教材的能力，還要有全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的能力。對(duì)于如何使用教材，不少教育工作者都在探討，如[2]，[3]，[4]等文獻(xiàn)，總之，如何更有效的用好教材，用活教材是我們一直要探討的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.226-227.

[2]王自華. 大學(xué)文科“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)改革初探——兼論文科高等數(shù)學(xué)教材建設(shè)[J]. 高等理科教育， 2003（2）：72-76.

[3]董薇薇， 李億江. 教師創(chuàng)造性使用教材存在的問(wèn)題及分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育， 2011（5）：6-9.

[4]王興國(guó). 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何合理使用教材—從“微積分基本公式”一節(jié)的教材使用談起[J]. 貴陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2009， 4（2）：78-80.